6

ЧАСТЬ I АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Лекция 1. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

План

1.Система прямоугольных координат на плоскости и в пространстве. Числовая ось. Координаты точки.

2.Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в заданном отношении.

3.Преобразование координат.

1. Аналитическая геометрия – это раздел математики, в котором свойства геометрических объектов (точек, линий, поверхностей, фигур, тел и т.п.) изучаются с помощью алгебры на основе метода координат.

Основоположником аналитической геометрии является Рене Декарт (1596-1650) – французский философ, математик, физик, физиолог. Он впервые в 1637 г. в своей книге “Геометрия” дал четкое изложение метода координат на плоскости. Декарт предложил положение точки на плоскости относительно заданной системы координат определять с помощью двух чисел – ее координат, а каждую линию на плоскости рассматривать как множество точек, заданных соответствующим геометрическим условием. Это условие записывается в виде уравнения, которое связывает переменные координаты точки, принадлежащей данной линии, и называется уравнением этой линии. Такой способ исследования геометрических объектов и называют методом координат.

Следующий важнейший вклад в аналитическую геометрию сделал французский математик и механик Жозеф Луи Лагранж (1736-1813), который впервые в 1788 г. в своей работе “Аналитическая механика” предложил определять положение вектора с помощью чисел – его проекций на координатные оси. Развитие идей Лагранжа привело к созданию векторной алгебры. Метод координат и аппарат векторной алгебры широко используется в современной аналитической геометрии.

Рассмотрим	в	пространстве точку	O	и три вектора i, j,k , где	i	=	j	=	k	=1,
(i, j) = ( j,k) = (i,k) =	π .	Система векторов	i, j,k	называется ортонормированным базисом
	2

(“орто” означает взаимную перпендикулярность, “нормированность” – одинаковую единичную длину, понятие “базис” будет точно определено в разделе “Линейная алгебра”).

Рис. 1. Прямоугольная декартова система координат

Совокупность точки и базиса называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве и обозначается через Oxyz . Точка O называется началом

7

координат, а оси, которые проходят через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат ( Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось

аппликат). Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями и обозначают Oxy,Oyz,Ozx . При изображении системы координат, как

правило, указывают оси и не указывают векторы i, j, k .

Пусть задана прямоугольная система координат Oxyz и произвольная точка M (рис.

1). Радиус-вектор r = OM этой точки записывают в виде
r = xi + y j + zk или r = (x; y; z) .	(1)

Координаты x, y, z этого радиус-вектора называются координатами точки M . Точка M с координатами x, y, z обозначается через M (x; y; z) .

Из ортогональности базисных векторов системы Oxyz следует, что координаты точки M равны соответствующим проекциям радиус-вектора этой точки на оси координат, т.е.

x = npOx OM , y = npOy OM , z = npOz OM ,

(2)

и определяются проектированием точки M на координатные оси (рис. 1).

Прямоугольные координаты точки на плоскости и на прямой определяются таким же образом, как и в пространстве. Прямоугольная система координат Oxy на плоскости задается

точкой O – началом координат и двумя взаимно перпендикулярными единичными векторами i, j – базисом системы координат; система координат на прямой задается точкой O и единичным вектором i . Понятно, что точка M (x; y) на плоскости имеет лишь две координаты (абсциссу и ординату), а точка M (x) на прямой – одну.

2. Пусть начало вектора a = AB находится в точке A(x1; y1; z1 ) , а конец – в точке B(x2 ; y2 ; z2 ) . Координаты этого вектора определяются как ax = x2 − x1 , ay = y2 − y1 , az = z2 − z1 , т.е.

			AB = (x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1 ) .						(3)
Тогда длина вектора AB :
	AB		= (x2 − x1 )2 +( y2 − y1 )2 +(z2 − z1 )2 .						(4)
Этой формулой пользуются для нахождения расстояния между точками A и B .
Например, нужно найти расстояние					между точками A(0;−1;2) и B(−1;1;4) .				В
соответствие с (3) и (4) имеем: AB = (−1;2;2) ;					AB		=	1+4 +4 = 3.
Пусть теперь необходимо найти на отрезке								AB такую точку M (x; y; z) , которая бы

делила этот отрезок в отношении λ , т.е. AM : MB = λ . Формула координат точки деления отрезка в заданном отношении λ имеет вид:

x =	x1 +λx2		,		y =	y1 +λy2				,	z =		z1 +λz2		.	(5)
							1+λ
	1+λ												1+λ
В частности, при делении отрезка пополам ( λ =1 ), получаем
x =		x1 + x2		,	y =		y1 + y2	,			z =	z1 + z2		.		(6)
2					2						2

3. При решении задач иногда нужно переходить от одной прямоугольной системы координат к другой. Выполняется такой переход с помощью формул преобразования координат.

Рассмотрим преобразование координат на плоскости. Возьмем две прямоугольные декартовы системы координат Oxy и O1 XY с разными началами координат и одинаково

направленными осями. Пусть точки O1 и M в системе Oxy имеют, соответственно,

	8
координаты (a;b) и (x; y) . Тогда координаты точки M	в системе O1 XY удовлетворяют
равенствам
X = x −a , Y = y −b .	(7)

Формулы (7) называются формулами преобразования координат при параллельном переносе осей. Они выражают координаты точек в системе O1 XY через координаты точек в системе

Oxy .

Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат Oxy и OXY , имеющие общее начало O , причем система OXY получена из системы Oxy поворотом осей

на положительный угол α . Тогда формулы преобразования координат при повороте осей

имеют вид

X = x cosα + y sinα , Y = −xsinα + y cosα .				(8)
Например, в системе координат Oxy точка M			имеет координаты (2;4) . Найдем ее
координаты в системе OXY , которая получена из системы Oxy				поворотом на угол π 2 .
Согласно (8), получим
X = 2cos π	+ 4sin π = 4 ,	Y = −2sin	π α + 4cos	π = −2 .
2	2		2	2

Заметим, что аналогичный результат можно получить геометрически, построив точку M и системы координат Oxy , OXY .