15

Лекция 3. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

План

1.Общее уравнение линии второго порядка.

2.Окружность и ее уравнение.

3.Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет.

4.Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты. Эксцентриситет.

5.Каноническое уравнение параболы.

1. Напомним, что линия второго порядка – это множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям вида

ax2 +by2 +cxy + dx +ey + f = 0 ,

(1)

где коэффициенты a,b,c, d,e, f – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел a,b,c

отлично от нуля, то есть a2 +b2 +c2 ≠ 0 . В частности, к линиям второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола. Заметим, что множеством точек (x; y) с

действительными координатами, удовлетворяющими уравнению (1), может быть не только одна из названых линий. Уравнение (1) может определять на плоскости Oxy также две

прямые ( x2 − y2 = 0 ), одну прямую ( x2 = 0 ), точку ( x2 + y2 = 0 ) или не определять ни одной точки ( x2 + y2 +1 = 0 ).

Линии второго порядка называют также коническими сечениями [конічними перерізами], так как их можно получить пересечением кругового конуса с плоскостью. Окружность образуется как линия пересечения плоскости, перпендикулярной к оси конуса и не проходящей через его вершину (рис. 1, а); эллипс – линия пересечения плоскости, пересекающей все образующие [твірні] конуса, не перпендикулярная к оси конуса и не проходящая через его вершину (рис. 1, б); если пересечь двуполостной [двопорожнинний] конус плоскостью, параллельной двум образующим, то получим гиперболу (рис. 1, в), а одной образующей – параболу (рис. 1, г).

а

б

в

г

Рис. 3.1. Конические сечения

Кривые второго порядка – важная составляющая окружающего мира.

1.Планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, имеющим общий фокус, в котором расположено Солнце.

2.Если в фокусе параболы разместить источник света, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно ее оси. На этом свойстве основывается конструкция прожектора.

3.Движение материальной точки под действием центрального поля силы тяготения осуществляется по одной из линий второго порядка.

16

2. Окружностью называют множество точек плоскости (рис. 2), находящихся на одинаковом расстоянии R (радиус окружности) от заданной точки плоскости O1 (a;b) (центра

окружности). Уравнение окружности имеет вид

(x −a)2 +( y −b)2 = R2 . (2)

Если в уравнении (2) раскрыть скобки, то получим общее уравнение окружности

x2 + y2 + Ax + By +C = 0 ,

(3)

где A = −2a , B = −2b , C = a2 +b2 − R2 . Поэтому окружность – линия второго порядка.

Рис. 2. Окружность

Уравнение окружности имеет следующие свойства. 1°. Коэффициенты x2 и y2 равны между собой.

2°. В уравнении отсутствует член с произведением xy .

Если центр окружности расположен в начале координат, то a = b = 0 и уравнение (2)

имеет вид
x2 + y2 = R2 .	(4)
Уравнение (4) называется каноническим уравнением окружности.
Пример 1. Найти центр и радиус окружности x2 + y2 +4x −6 y −23 = 0 .
Решение. Сгруппируем произведения с переменной x и переменной y	и дополним
полученные выражения до полных квадратов:
x2 +4x + y2 −6 y −23 = 0 ,
(x2 +4x +4) −4 +( y2 −6 y +9) −9 −23 = 0 ,
(x +2)2 +( y −3)2 = 36 .
Поэтому, точка (−2;3) – центр окружности, а R = 6 – его радиус.
3. Возьмем на плоскости две точки F1 и F2 , и разместим прямоугольную систему координат
так, чтобы ось Ox проходила через них, а начало координат делило отрезок F1F2	пополам.

Эллипсом называют множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых от данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и

больше расстояния между фокусами (рис. 3, а).

Расстояние между фокусами называют фокальным и обозначают через 2c : F1F2 = 2c . Сумму расстояний от произвольной точки эллипса M (x; y) до фокусов обозначим через 2a : F1M + F2 M = 2a . Тогда фокусы имеют координаты F1 (−c;0) и F2 (c;0) , и по определению эллипса 2a > 2c , то есть a > c .

17

а					б
Рис. 3. Эллипс и его свойства
Каноническим уравнением эллипса называется равенство
	x2	+	y2	=1 ,	(5)
	a2		b2
где					(6)
	a2 −c2 = b2 .

Отметим некоторые свойства эллипса.

1°. Эллипс симметричен относительно осей Ox и Oy , а также относительно точки

O(0;0) , которую называют центром эллипса.
2°. Эллипс пересекает оси координат в точках	A1 (a;0) , A2 (−a;0) ,	B1 (0;b) ,		B2 (0;−b) .
Эти точки называются вершинами эллипса (рис. 3,	б). Величины A1 A2	= 2a	и	B1B2 = 2b
называются, соответственно, большой и малой осями эллипса, а числа a		и b	– большой и
малой полуосями эллипса.
3°. Если a = b , то уравнение (5) принимает вид

x2 + y2 = a2 ,

то есть получается уравнение окружности. Поэтому окружность является частным случаем эллипса. При a = b имеем c = 0 , то есть окружность – это эллипс, у которого фокусы совпадают с его центром.

Мера отклонения эллипса от окружности характеризуется величиной ε , которая называется эксцентриситетом эллипса и равняется отношению половины его фокального

расстояния к длине большой полуоси:

ε =

c

,

(7)

a

причем 0 ≤ ε <1 , поскольку 0 ≤ c < a . Из формул (6) и (7) получим

b

=

a2 −c2

=

1−

c2

= 1−ε

2

.

a

a

a2

Итак, если ε = 0 , то b = a , то есть эллипс превращается в окружность; если ε

приближается

к единице, то отношение осей b a

уменьшается, то есть эллипс все больше растягивается

вдоль оси Ox .

4°. Пусть M (x; y)

– произвольная точка эллипса с фокусами F1 и

F2

(рис. 3, б).

Расстояния F1M = r1 и F2 M = r2

называются фокальными радиусами точки M .

Очевидно,

что r +r = 2a . Прямые

x = ± a

называются директрисами эллипса. Отношение фокальных

1

2

ε

18

радиусов произвольной точки эллипса к расстояниям от этой точки до соответствующих директрис есть величина постоянная и равна эксцентриситету эллипса, то есть

	r1	=	r2	=ε .	(8)
	d1
			d2
Пример 2. Составить каноническое уравнение					эллипса, фокусы которого

расположены на оси Ox симметрично начала координат, если расстояние между фокусами равно 14, а эксцентриситет равен 79 .

Решение. Поскольку 2c =14 , то c = 7 . Из формул (7) и (6) получим a = 9 и b2 = 32 . Поэтому искомое уравнение имеет вид

x2 + y2 =1. 81 32

4. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим через F1 и F2 фокусы гиперболы, расстояние между ними – через 2c , а

модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов – через 2a . По определению a < c . Возьмем на плоскости прямоугольную систему координат Oxy так,

чтобы ось Ox проходила через фокусы, а начало координат делило бы отрезок F1F2 пополам (рис. 4). Точка M (x; y) плоскости принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда

MF1 − MF2 = 2a .

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

	x2	−	y	2	=1,	(9)
	a2		b2
где						(10)
b2		= c2 −a2 .

Рис. 4. Гипербола и ее свойства

Рассмотрим некоторые свойства гиперболы.

1°. Гипербола симметрична относительно осей Ox , Oy и начала координат.

2°. Удаляясь в бесконечность, переменная точка M (x; y) гиперболы неограниченно приближается к одной из прямых

y = b x ,	y = −b x .	(11)
a	a

Такие прямые называются асимптотами гиперболы.

19

Оси симметрии называются осями гиперболы, а точка пересечения осей – ее центром. Ось Ox пересекает гиперболу в двух точках A1 (a;0) и A2 (−a;0) , которые называются

вершинами гиперболы. Действительной осью [дійсною віссю] называют отрезок A1 A2 ,

соединяющий вершины гиперболы, и его длину A1 A2 = 2a . Отрезок B1B2 , который соединяет точки B1 (0;b) и B2 (0;−b) , и его длина, называется мнимой осью [уявною віссю]. Величины a

и b , соответственно, называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы

[основним прямокутником гіперболи].

При построении гиперболы (9) удобно сначала построить ее основной прямоугольник (рис. 4), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого

прямоугольника, – асимптоты гиперболы и определить вершины A1 и A2					гиперболы.
Уравнение
	y2	−	x2	=1	(12)
	b2		a2

также определяет гиперболу, которая называется сопряженной гиперболе [спряженою до гіперболи] (9). Гипербола (12) показана на рис. 4 штриховой линией. Вершины этой гиперболы находятся в точках B1 (0;b) и B2 (0;−b) , а ее асимптоты совпадают с асимптотами

гиперболы (9).

3°. Эксцентриситет гиперболы определяется как отношение половины фокального расстояния к длине ее действительной полуоси:

ε =	c	.	(13)
	a

Поскольку c > a , то ε >1. Кроме того, из формул (10) и (13) следует, что

b	= ε2 −1 .
a

Поэтому эксцентриситет гиперболы характеризует ее форму: чем больше эксцентриситет,

тем больше отношение ba , то есть тем больше основной прямоугольник растягивается в

направлении оси Oy , а гипербола отклоняется от оси Ox ; чем ближе эксцентриситет к

единице, тем больше основной прямоугольник растягивается в направлении оси Ox и гипербола приближается к этой оси.

4°. Прямые x = ± a	, где a – действительная полуось гиперболы, а ε – ее
ε

эксцентриситет, называют директрисами гиперболы. Директрисы гиперболы имеют такое же свойство (8), как и директрисы эллипса.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ox симметрично начала координат, действительная ось равна 6, а

эксцентриситет ε =	5 .
	3
Решение. Поскольку 2a = 6 , то a = 3 . Из формул (10) и (13) находим, что b = 4 .
Искомое уравнение имеет вид
		x2	−	y2	=1.
	9			16

5. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой, и не проходит через фокус.