23

2. Из школьного курса известно, что скалярное произведение векторов обозначается (a,b ) или ab , и рассчитывается как произведение длин векторов на косинус угла ϕ между ними:

(a,

) =

a

cosϕ .

(1)

b

b

Введем скалярное произведение векторов из пространства Rn .

Определение 6. Скалярным произведением

векторов a и

называется

число

b

(a,

) = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn .

b

Перечислим основные свойства скалярного произведения:

1.

(a,

) =(

, a) ;

b

b

2.

(ka,

) = k(a,

) ;

b

b

3.

(a,

+ c) = (a,

) + (a, c) ;

b

b

4.

(a, a) > 0 , если a ≠

, и

(a, a) = 0 , если

a =

.

0

0

С помощью (1) можно ввести в пространстве Rn

понятие длины (модуля) вектора a :

a =

(a, a) =

2

2

2

,

(2)

x1 + x2

+... + xn

а также понятие косинуса угла ϕ между двумя ненулевыми векторами a и

:

b

cosϕ =

(a,b )

=

x1 y1 + x2 y2

+...

+ xn yn

.

(3)

a b

x12 + x22 +... + xn2

y12

+ y22 +... + yn2

Пример 1. Даны векторы a = (−2,2,0,1)

и

= (−1,1,1,−1) . Найти: 1)

− 2a +

; 2)

a

; 3)

b

b

(a,b ) ; 4) косинус угла ϕ между векторами a и b . Решение. Последовательно вычисляя, имеем:

1)− 2a +b = (4,−4,0,−2) + (−1,1,1,−1) = (3,−3,1,−3) ;

2)a = (−2)2 + (2)2 + (0)2 + (1)2 = 4 + 4 + 0 +1 = 3 ;

3)(a,b ) = −2 (−1) + 2 1 + 0 1 +1 (−1) = 3 ;

	b =			2	2	2	2						3			1	, ϕ = 60°.
4)		(−1)			+1	+1 + (−1)		= 1 +1 +1	+1	= 2 , cosϕ =				=
													3 2			2
	Пример 2. Предприятие выполняет заказ, для выполнения которого требуются
продукты пяти видов (см. табл. 1):
																		Табл. 1. Данные примера 2
			Наименование продукта								A		B			C			D	E
			Потребность в продукте, ед.								3		2			5			3	1
			Стоимость ед. продукта, тыс. грн.								10		6			2			5	11

Определить общие затраты на приобретение продуктов.

Решение. Введем два пятимерных вектора: вектор потребностей a = (3,2,5,3,1) и вектор стоимостей b = (10,6,2,5,11) . Тогда общие затраты – это скалярное произведение векторов a и b : (a,b ) = 3 10 + 2 6 +5 2 +3 5 +1 11 = 78 (тыс. грн.).

3. Операции сложения векторов и умножения вектора на число лежат в основе раздела высшей математики, называемого линейной алгеброй. Условимся называть произвольный

набор векторов a1 , a2 ,..., ak Rn системой векторов и будем ее обозначать {ai }i=1,...,k .

Определение 7. Пусть даны векторы a , a				,..., a		Rn . Любой вектор		вида
			2		k		b
1						(4)
		= λ1a1 + λ2 a2 +... + λk ak
	b

24

называется

линейной

комбинацией

векторов a1 , a2 ,..., ak , а числа λ1 , λ2 ,..., λk

коэффициентами этой линейной комбинации.

линейно выражается через векторы

При наличии равенства (4) говорят, что вектор

b

a1 , a2 ,..., ak

или что

разлагается по векторам a1 , a2 ,..., ak .

b

Пример 3. Даны векторы a1

= (2,2,3) ,

a2 = (0,−4,5) ,

a3 = (3,13,−8) . Рассмотрим

выражение:

3a1 −5a2 − 2a3 = (6,6,9) −(0,−20,25) −(6,26,−16) = (0,0,0) .

Следовательно, вектор (0,0,0) является линейной комбинацией векторов a1 , a2 , a3 .

Определение 8. Система векторов {a }

Rn

называется линейно зависимой, если

i i=1,...,k

существуют такие числа c1 , c2 ,..., ck ,

не равные одновременно нулю,

что

выполняется

равенство

c1a1 + c2 a2

+... + ck ak

(5)

=

.

0

В частности, система a1 , a2 , a3 из примера 3.1 линейно зависима.

Определение 9.

Если система

векторов

{a }

Rn

такова,

что

равенство (5)

i i=1,...,k

возможно только при c1

= c2 = ... = ck = 0 , то эта система называется линейно независимой.

Перечислим некоторые свойства линейной зависимости:

1.Система из одного вектора a линейно зависима a = 0 ;

2.Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима в том и только в том случае, когда среди данных векторов имеется такой, который линейно выражается через остальные;

3.Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима (из этого свойства следует, что система, содержащая вектор 0 , линейно зависима);

4.Если система {ai }i=1,...,k линейно независима, но при добавлении к ней еще одного вектора

a становится линейно зависимой, то вектор a линейно выражается через a1 , a2 ,..., ak .

Рассмотрим систему векторов {a }					=1,...,k	Rn ,		число которых k не превосходит число
				i i
координат n в каждом векторе (т.е. k ≤ n ). Пусть эта система имеет следующий вид:
a		=	(a ,	a ,	a	,	...,		a		)
	1		11	12	13				1n
a2		=	(0,	a22 ,	a23 ,		...,		a2n )			.	(6)
					a33 ,				a3n )
a3		=	(0,	0,			...,
				...	...		... ...
... ... ...
Эти векторы имеют координаты aij					, где i		( i =			) означает номер вектора в системе,
									1, k

а j ( j =	1, n	) означает номер координаты. Причем числа	a11 , a22 ,..., akk отличны от нуля.
Системы вида (6) называют лестничными.
5. Любая лестничная система векторов линейно независима.
Теорема 1. В пространстве Rn любая система из k			векторов, где k > n , линейно

зависима.

Пример 4. Из теоремы 1 следует, что взяв любые три (или больше) вектора, лежащие в одной плоскости (т.е. принадлежащие пространству R2 ), получим линейно зависимую систему векторов в R2 .

25

Лекция 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

План

1.Понятия линейного уравнения и системы линейных уравнений.

2.Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

1. Напомним, что линейным уравнением с неизвестными x1 , x2 ,..., xn называют уравнение

вида	(1)
a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b .
Числа a1 , a2 ,..., an называют коэффициентами при неизвестных, число b	– свободным

членом.

Определение 1. Систему алгебраических уравнений, каждое из которых имеет вид (1),

называют системой линейных уравнений или линейной системой.

Система k линейных уравнений с n неизвестными (далее система k ×n ) записывается в общем виде так:

a

x

+ a

x

2

+... + a

x

n

= b

11

1

12

1n

1

a21 x1 + a22 x2

+... + a2n xn

= b2

(2)

............................................

a

k1

x

+ a

k 2

x

2

+... + a

kn

x

n

= b

k

1

Коэффициенты уравнений нумеруют двумя индексами, первый из которых – номер уравнения, а второй – номер неизвестного.

Систему (2) удобно записывать в виде таблицы:

x1	x2	…	xn
a11	a12	…	a1n	b1
a21	a22	…	a2n	b2
…	…	…	…	…
ak1	ak 2	… akn		bk

Решением системы (2) является любой набор значений неизвестных x1 =α1 , x2 =α2 ,..., xn =αn ,

удовлетворяющий всем уравнениям системы. Система, не имеющая ни одного решения,

называется несовместной.

Две системы уравнений с одними и теми же неизвестными x1 , x2 ,..., xn называются

равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Для любой системы (2) возможны три случая:

1)система не имеет ни одного решения;

2)система имеет единственное решение;

3)система имеет бесконечное множество решений.

Множество всех решений системы (2) называют ее общим решением. Решить систему означает найти ее общее решение.

Над системой (2) можно совершать элементарные преобразования:

1)перестановка уравнений;

2)вычеркивание из системы уравнения вида

0 x1 + 0 x2 +... + 0 xn = 0

или, проще говоря, 0 = 0 ;

3)умножение обеих частей уравнения системы на число c ≠ 0 ;

4)прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число.

26

Пример 1. Решить систему уравнений

2x1 −3x2 = 3− x1 + 2x2 = −1

Решение. 1) Если не выходить за рамки школьной математики, то можно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и подставить в оставшееся уравнение:

2x −3x

= 3

2(2x

+1)

−3x

= 3

4x

+ 2

−3x

= 3

x

=1

1

2

2

2

2

2

2

− x1 + 2x2 = −1

x1

= 2x2 +1

x1

= 2x2 +1

x1 = 2 1 +1 = 3

2) Если же использовать элементарные преобразования над системой, то можно ко второму уравнению, умноженному на 2 , прибавить первое и, т.о., исключить из второго уравнения переменную x1 :

2x		−3x		= 3	2x			−3 1 = 3	x	= 3
	1		2			1			1
− x1 + 2x2 = −1					x2		=1		x2 =1

Продолжая дальше заниматься теорией линейных систем, заметим, что при выполнении элементарных преобразований может возникнуть уравнение вида

0 x1 + 0 x2 +... + 0 xn = b ,

где b ≠ 0 . Это уравнение не имеет решений и мы будем называть его противоречивым. Система, содержащая противоречивое уравнение, несовместна.

2. Для нахождения общего решения линейных систем вида (2) имеется универсальный

метод Гаусса – метода последовательного исключения неизвестных. Суть метода заключается в том, что с помощью элементарных преобразований системы (2) либо получают систему, содержащую противоречивое уравнение (и тогда система оказывается несовместной), либо система (2) приводится к некоторому специальному виду. Особенность этого вида заключается в том, что для каждого уравнения имеется неизвестное, которое входит в это уравнение с коэффициентом, не равным нулю, а в остальные уравнения – с коэффициентом 0 . Если для каждого уравнения зафиксировано такое неизвестное, то оно называется базисным, а весь набор базисных неизвестных – базисом неизвестных. Остальные неизвестные (если они есть) называются свободными.

Пример 2. Рассмотрим систему линейных уравнений

x1		+[x2 ]	− x3					+5x6		= 11
			+ 4x3					+[x5 ] −3x6		=	− 2
− 2x1
	x		+ x	3	+[x	4	]	− x	6	=	4
	1

Здесь x2 , x4 , x5 – базисные неизвестные (они выделены квадратными скобками), а x1 , x3 , x6 –

свободные. Заметим, что коэффициенты при базисных неизвестных равны 1. Этого можно добиться с помощью элементарных преобразований 3), 4).

Перепишем нашу систему в виде:

x2x5x4

= 11 − x1			+ x3	−5x6
=	− 2	+ 2x1	− 4x3	+3x6
=	4	− x1	− x3	+ x6

Базисные переменные помещены в левых частях уравнений, свободные – в правых. В итоге получено общее решение системы. Подставляя вместо свободных неизвестных x1 , x3 , x6

любые	числа,	находим значения		базисных	неизвестных x2 , x4 , x5 . Взяв, например,
x1 =1, x3	= 2, x6	= 0 , вычислим	x2	=12, x4 =1, x5	= −8 , а	значит получим частное (т.е.
конкретное) решение: x1 =1, x2			=12, x3 = 2, x4 =1, x5 = −8, x6			= 0 .

27

Замечание. При наличии хотя бы одного свободного неизвестного система имеет бесконечное множество решений. Если же свободных неизвестных нет (все неизвестные – базисные), то решение единственно.

Опишем алгоритм метода Гаусса.

Шаг первый. Одно из уравнений (например, первое) выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвестных (например, x1 ) за разрешающее неизвестное. Коэффициент

при разрешающем неизвестном должен быть отличен от нуля (удобно, когда он равен единице). Этот коэффициент называют разрешающим элементом. Из всех уравнений, кроме разрешающего, исключаем разрешающее неизвестное. Для этого к каждому из этих уравнений прибавляем разрешающее уравнение, умноженное на подходящее число. Из полученной системы удаляем уравнения 0 = 0 . Если в системе имеется хотя бы одно противоречивое уравнение, то система несовместна и работа с ней прекращается.

Шаг второй. Какое-то другое уравнение выбирается за разрешающее и одно из неизвестных в нем выбирается за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются два требования: 1) на предыдущих шагах это уравнение не было разрешающим; 2) в разрешающем уравнении коэффициент при разрешающем неизвестном должен быть отличен от нуля. Остальные действия такие же, как в шаге первом…

Процесс заканчивается, если ни одно из уравнений уже нельзя выбрать за разрешающее (т.е. все уравнения уже были в этой роли). Тогда для каждого уравнения имеется свое базисное неизвестное, входящее в это уравнение с коэффициентом, отличным от нуля, а в остальные уравнения – с коэффициентом 0 . Т.о., процесс прекращается после получения базиса неизвестных. Т.е. мы нашли общее решение системы.

Пример 3. Найти общее решение системы линейных уравнений

2х1 + х2 + 2х3 =12х1 − х2 + 3х3 =15х1 − х2 + 4х3 = −3

Решение. Последовательность действий будем записывать в виде таблиц. Разрешающие элементы отмечаются квадратными скобками. Конкретные действия комментируются в крайнем правом столбце таблицы. Например, запись {3}*(-2)+{1} означает, что третье уравнение системы, умноженное на число (-2), прибавлено к первому уравнению.

x1	x2	x3
2	[1]	2	1
2	-1	3	1	{1}+{2}
5	-1	4	-3	{1}+{3}
2	1	2	1	{2}*(-2)+{1}*5
4	0	[5]	2
7	0	6	-2	{2}*(-6)+{3}*5
2	5	0	1
4	0	5	2
[11]	0	0	-22	{3}*(1/11)
2	5	0	1	{3}*(-2)+{1}
4	0	5	2	{3}*(-4)+{2}
[1]	0	0	-2	{1}*(1/5)
0	5	0	5
0	0	5	10	{2}*(1/5)
1	0	0	-2
0	1	0	1
0	0	1	2
1	0	0	-2

28

Последней таблице соответствует система

	x2	=	1
		x3 =	2
x		=	− 2
	1

Подстановкой в исходную систему убеждаемся в правильности решения.

Ответ: система имеет единственное решение x1											= −2, x2 =1, x3 = 2 .
Пример 4. Найти общее решение системы линейных уравнений
			x	−	3x	2	+ 2x		3	+ 2x		4	= 1
			1
		3x1		−8x2			+8x3			+ 7x4			= 3
		2x		−	4x	2	+8x		3	+8x		4	= 0
			1
		2x		−	3x	2	+10x		3	+8x		4	= 1
			1
Решение.				x3
	x1	x2					x4
	[1]	-3		2			2			1
3		-8		8			7			3			{1}*(-3)+{2}
2		-4		8			8			0			{1}*(-2)+{3}
2		-3		10			8			1			{1}*(-2)+{4}
	1	-3		2			2			1			{2}*3+{1}
0		[1]		2			1			0
0		2		4			4			-2			{2}*(-2)+{3}
0		3		6			4			-1			{2}*(-3)+{4}
	1	0		8			5			1
0		1		2			1			0
0		0		0			2			-2			{3}*(1/2)
0		0		0			1			-1
	1	0		8			5			1			{3}*(-5)+{1}
0		1		2			1			0			{2}-{3}
0		0		0			[1]			-1
0		0		0			1			-1			{4}-{3}
	1	0		8			0			6
0		1		2			0			1
0		0		0			1			-1
0		0		0			0			0
	1	0		8			0			6
0		1		2			0			1
0		0		0			1			-1
Последней таблице соответствует система
			x				+8x				=		6
				1	x2			3			=		1
							+ 2x3
										x4	=		−1

Т.о., x1 , x2 , x4 – базисные неизвестные, x3 – свободное неизвестное. Поэтому общее решение задается формулами

x	= 6	−8x
1	=1	−		3
x2			2x3
	= −1
x4

29

Ответ: система имеет бесконечное множество решений x = (6 −8x3 ,1 − 2x3 , x3 ,−1) , где x3 – любое действительное число.

Пример 5. Самостоятельно убедиться в том, что система линейных уравнений несовместна

	2x	−3x	2	+ x	3	+ 2x	4	= 3
	1
	4x1	−3x2		+ x3		+ x4		= 5
		−9x2		+ 3x3		+ 2x4		= 2
14x1
	2x	− x	2	+ x	3	+ x	4	= 1
	1

30

Лекция 3. РЕШЕНИЕ РАЗНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ГАУССА

План

1.Применение метода Гаусса к задачам линейной зависимости систем векторов.

2.Индекс цен и индекс инфляции. Ортогональные векторы.

3.Базис пространства Rn .

4.Разложение векторов по базису Rn .

1. Мы уже говорили о том, что одной из важных задач линейной алгебры является выяснение факта – линейно зависима или независима в пространстве Rn система векторов a1 , a2 ,..., ak .

Метод Гаусса играет здесь решающую роль.

Определение 1. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется

однородной.

Однородная система k линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

a

x

+ a

x

2

+... + a

x

n

= 0

11

1

12

1n

a21 x1 + a22 x2

+... + a2n xn

= 0

(1)

............................................

a

k1

x

+ a

k 2

x

2

+... + a

kn

x

n

= 0

1

Однородная система всегда совместна, т.к. одним из ее решений является

x1

= 0, x2 = 0,..., xn = 0 .

Это решение называют нулевым. Важно знать имеет ли конкретная однородная система ненулевые решения.

Теорема 1. Однородная линейная система, в которой число уравнений меньше числа

неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.
Заметим, что система (1) может быть записана в векторном виде	(2)
x1a1 + x2 a2 +... + xn an = 0 .

В этой записи участвуют n векторов:

a
11
a21
a1 =	, a2
...
ak1

a		a
12		1n
a22		a2n
=	,..., an	=	.
...		...
ak 2		akn

Т.о., неизвестные x1 , x2 ,..., xn являются коэффициентами линейной комбинации векторов a1 , a2 ,..., an . Поэтому, решая методом Гаусса систему (1.3), мы ищем коэффициенты x1 , x2 ,..., xn . Если окажется, что решение единственное (т.е. нулевое), то система векторов a1 , a2 ,..., an линейно независима. В противном случае она линейно зависима.

Пример 1. Дана система из четырех векторов, принадлежащих R5 :

a1 = (−1;3;3;2;5) , a2 = (−3;5;2;3;4) ,

a3 = (−3;1;−5;0;−7) ,			(3)
a4 = (−5;7;1;4;1) .
Является ли эта система линейно зависимой в R5 ?
Решение. Запишем уравнение
x1a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 =		,
	0
которое в координатной записи представляет собой однородную линейную систему