20

Пусть заданы фокус F и директриса, причем расстояние Возьмем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы ось Ox перпендикулярно к директрисе, а ось Oy делила расстояние

между ними равно p . проходила через фокус, между фокусом F и

				p				а x = −	p
	директрисой	пополам. Тогда	фокус имеет координаты F		;0		,			–	уравнение
				2					2
	директрисы.	Пусть M (x; y)	– произвольная точка плоскости,			а		отрезки	MB		и MF –

расстояния от нее до директрисы и фокуса. Точка M тогда принадлежит параболе, когда

MB = MF (рис. 5).

Рис. 5. Парабола и ее свойства

Каноническое уравнение параболы имеет вид

y2 = 2 px .

(14)

Ось симметрии параболы называется ее осью; точка пересечения оси с параболой – вершиной параболы; число, равное расстоянию от фокуса до директрисы, – параметром параболы. Осью параболы, заданной уравнением (14), является ось Ox , вершиной – точка O(0;0) и параметром – число p .

Замечание. Используя свойство 4° эллипса и гиперболы и определение параболы, можно дать такое общее определение кривой второго порядка (кроме окружности): множество точек, для которых отношение ε расстояния до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина постоянная. Это эллипс при 0 <ε <1 , парабола при ε =1 или

гипербола при ε >1.
Пример 4. В параболу x2		= y 3	вписан равносторонний треугольник так, что одна из
вершин совпадает с вершиной параболы. Найти сторону треугольника и сделать рисунок.
Решение. Пусть точка	A(x0 ; y0 )		– одна из вершин треугольника. Тогда другими его
вершинами будут точки B(−x0 ; y0 ) и			O(0;0) . Поскольку треугольник равносторонний, то
AB = AO = BO , откуда 2x =	x2	+ y2 .	Решая это уравнение вместе с уравнением x2 = y	0	3 ,
0	0	0	0

находим x0 = 3. Поэтому сторона треугольника равна 2x0 = 6 .

21

Рис. 6. Иллюстрация к примеру 4.

22

ЧАСТЬ I I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Лекция 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ n-МЕРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

План

1.Векторы и действия над ними. Понятие векторного пространства.

2.Скалярное произведение векторов и его свойства.

3.Понятие линейной зависимости и независимости векторов.

1. Из школьного курса математики известно понятие вектора – направленного отрезка. Если

на плоскости	ввести прямоугольную систему координат, то каждому вектору a
соответствует	пара чисел x1 , x2 – координат этого			вектора. Этот факт записывают так
a = (x1 , x2 ) . Аналогично в трехмерном пространстве имеем a = (x1 , x2 , x3 ) .
Определение 1. Любая последовательность из				n действительных чисел			x1 , x2 ,..., xn
называется арифметическим n -мерным вектором.
Векторы обозначают: a ,			, a = (x1 , x2 ,..., xn ) ,			= ( y1 , y2 ,..., yn ) . Числа	x1 , x2 ,..., xn ,
		b			b

задающие вектор a , называют координатами вектора. Заметим, что n – любое натуральное число, т.е. n N .

Непосредственный геометрический смысл имеют только одномерные, двухмерные и трехмерные векторы. Первые изображаются направленными отрезками на числовой прямой, вторые – на координатной плоскости, третьи – в координатном пространстве.

Определение 2. Два вектора a и b с одинаковым числом координат считаются равными, если имеет место покоординатное равенство: a = b x1 = y1, x2 = y2 ,...,xn = yn .

Определение

3.

Суммой

векторов

a

и

b

называется

вектор

a +

= (x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn )

b

Определение

4.

Произведением

вектора

a

на

число

λ называется

вектор

λ a = (λx1 , λx2 ,..., λxn ) .

Для векторов выполняются следующие свойства:

1.a +b = b + a ;

2.(a +b ) + c = a + (b + c) ;

3.a + 0 = a , где 0 = (0,0,...,0) – нулевой вектор;

4.a + (−a) = 0 , где − a = (−x1 ,−x2 ,...,−xn ) называется противоположным вектору a ;

5.k(a +b ) = ka + kb , (k +l)a = ka +la ;

6.k(la) = (kl)a ;

7.1 a = a .

Определение 5. Множество всех n -мерных арифметических векторов, в котором введены операции сложения векторов и умножения вектора на число, называется

арифметическим n -мерным векторным пространством и обозначается Rn . Число n называется размерностью пространства.

Естественно, что реальный геометрический смысл имеют лишь пространства R1 , R2 , R3 . Пространство Rn при n > 3 – абстрактный математический объект. Этот объект удобен для описания реальных процессов, в том числе экономических.