2.8 Мощность и энергия сигнала.

Перейдем к рассмотрению понятия мощности и энергии сигнала. Важность этих понятий объясняется тем, что любая передача информации есть фактически передача энергии.

Рассмотрим произвольный комплексный сигнал f(t).

Мгновенная мощность сигнала p(t) определяется равенством

(18)

Полная энергия равна интегралу от мгновенной мощности по всему промежутку существования сигнала:

(20)

Мощность сигнала может быть рассмотрена также как функция частоты. При этом мгновенную частотную мощность обозначают как .

(21)

Полная энергия сигнала вычисляется по формуле

(22)

Полная энергия сигнала не должна зависеть от выбранного представления. Значения полной энергии, посчитанные из временного и частотного представления, должны совпадать. Поэтому, приравнивая правые части, получаем равенство:

(23)

Это равенство составляет содержание теоремы Парсеваля для непериодических сигналов. Строгое доказательство этой теоремы будет дано при изучении темы “Обобщенные функции”.

Аналогично, выражая энергию взаимодействия двух различных сигналов f(t) и g(t) во временном и частотном представлении, получим:

(24)

Выясним математический смысл теоремы Парсеваля.

С математической точки зрения интеграл есть скалярное произведение функций f(t) и g(t), обозначаемое как (f,g). Величина называется нормой функции f(t) и обозначается как . Поэтому из теоремы Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения относительно преобразования Фурье,т.е.

Мгновенная мощность сигнала, рассматриваемая как функция частоты,т.е. , имеет и другое общепризнанное название - спектр мощности. Спектр мощности является основным математическим инструментом спектрального анализа, позволяющего выяснить частотный состав сигнала. Кроме спектра мощности сигнала на практике используется амплитудный и фазовый спектры, определяемые, соответственно как: