∫								*
( ) = 1.
Физики пишут:	(		*) ( ) = ( *) = <						, >.
R∫		−		0,	1,		>		;	( ) = .
Рассматриваем плотности: ( ) = {						| |
растут при стягивании в точку.						| | ≤		2		R∫

5.4Действия с обобщенными функциями.

1.Умножение на гладкую функцию.

Рассмотрим обобщенную функцию ′( ); (∞)( ). Хотим построить ′( ). := .

1, ( ) = 1, ( ).

( ) :

< , > = < , > = Ω∫

( ) = Ω∫

( ) = < , > .

определяем как < , >:=< , >. Доказали для регулярных функционалов. Принадлежит ли множеству ′( )? Является ли линейным непрерывным?

:
	−→ −→< , >

Уже доказывали, что : ( ) → ( ) – линейный непрерывный, : ( ) → C

– линейный непрерывный, так что и – линеный непрерывный ( ) → C как их композиция.

Примеры : Рассмотрим сингулярный функционал. ( ) – ?

< , > = < , > = (0) (0) = (0) < , > = < (0) , >.

Таким образом, ( ) и (0) действуют одинаково = ( ) = (0) .

Утверждение : отображение ′ : −→( ) – линейный непрерывный оператор

′( ) → ′( ).

Доказательство. Линейность:

Рассмотрим ′( 1 1 + 2 2) = ( )( 1 1 + 2 2).

< ( )( 1 1 + 2 2), > = < 1 1 + 2 2, > =

= 1< 1, > + 2< 2, > = < 1 ( ) 1 + 2 ( ) 2, >,

т.е. ′							′			2 ′ 2.
	( 1 1 + 2 2)					1			1
	< 1, >					< 2, >
					=					+

Непрерывность:

64

{ } ′( ); → 0 в ′( ). Должно быть, что ′ → 0 в ′( ).

Верно ли, что ( )

< ′ , >→ 0?

< ′ , > =

< ( ) , > =

= <

, ( ) > = < , > 0

, т.к.

0

в

′( )

.

(Ω)

̃ →

→

̃

2. Дифференцирование.

∂ = ∂ 1 ∂ 2 . . . ∂ ,

= ( 1, 2, . . . , ).

1 2

| | := 1 + 2 + · · · + .

( )( ), ≥ | | ;

∂ ( −| |)( )

Хотим определить ∂ :

( ),

∂

= ∂ .

То есть < ∂ , > = < ∂ , > = ∫ ∂ .

Ω

Если 0(∞)( ), (1), то ∫		=	− ∫	+		∫	cos( , ) ( )
Ω			Ω			∂Ω

0, т.к. 0(∞)(Ω)

Но это верно только если ограничена и = ∂ (1). В общем случае придется вспомнить материал колобка и то, что делалось для плохой области с плохим носителем, что можно провести шарик фиксированного радиуса между носителем функции и границей области, что можно рассмотреть область ̃ , содержащую носитель, ограниченную и с хорошей границей. Для нее интеграл по границе действительно ноль и выкладка выше верна.

Утверждение : 0(∞)( ),		(| |)	∫	∂ = (−1)| |	∂ .
					∫
			Ω		Ω

Доказательство. Индукция. База – | | = 0. Переход – дифференцирование по .

Снова функционалы :
( )( ), ≥ | |.				( ).
∫	∂ = (−1)| | ∫	∂ , то есть			< ∂ , >	= (−1)| | < , ∂ >.

ΩΩ

Теперь можем определить ∂ так: пусть ′( ).

Тогда ( ) ∫ ∂ := (−1)| | ∫ ∂

ΩΩ

∂′( )? Линейный непрерывный функционал? Представим как композицию

линейных непрерывных отображений.

∂

( ) −→∂ ( ) −→< , ∂ > C.

∂ = (−1)| | ∂ – линейный непрерывный ( ) → C. Свойства :

65

(a) ∂ линеен в ′( ) : ∂ ( 1 1 + 2 2) = 1∂ 1 + 2∂ 2

< ∂ ( 1 1 + 2 2), > = (−1)| | < 1 1 + 2 2, ∂ > = = (−1)| | 1< 1, > + (−1)| | 2< 2, > = < 1∂ 1, > + < 2∂ 2, >

(b)∂ непрерывен в ′( ) .

→ 0 в ′( ) = ∂ → 0 в ′( ) ?

( ) < ∂ , >→ 0?

Т.к. → 0 в ′( ) , то ̃ < , ̃ >→ 0.

̃ := ∂ . < ∂ , > = (−1)| | < , ∂ >→ 0.

{

, ≥ 0

Пример : = 1, ( ) = , то есть ( ) = +.

0, < 0

:= R. ( )( ) = ?

+∞

< ′ , > = − < , ′ > = − ∫

( ) ′( ) =

+∞

+∞

−∞

+∞

+∞

=

∫

′( ) по частям ∫

− ( )

∫

[0;+∞]

0

0

0

=

( )

=

0

−∞

=

( ) =

1,

≥ 0

( ) =

Получили, что

′

+

, где

+

{ 0,

< 0

. Заметим, что

′

+ п.в.

Вторая производная:

+∞

+∞

+

+

< ′′, > = < , ′′ >

=

∫

′′ = − ∫

′ + ′

0

∞

= −

0

∞

= (0) = < , > .

0

0

0

+∞

То есть ′′ = .

< , > =

где – -мера.

,

∫

−∞

Третья производная: < ′′′, > = < ′, > = − < , ′ > = − ′(0).

3.Дифференцирование произведения:

Утверждение : Пусть (∞)( ); ′( ). Тогда ∂ ( ) = + ∂ .

Доказательство.

< ∂ ( ), > = − < , > = − < , > = − < , ( ) − > = = − < , ( ) > + < , > = < ∂ , > + < , > = < ∂ , > + < , >

66

Пример : (∞)(R {0}).

– однородная степени − : ( ) = − ( ), > 0.

( ) = | 1| · ( 0), 0 = | | 1 (единичная сфера).

| ( 0)| ≤ на единичной сфере (в R

она – компакт) =

| ( )| ≤

.

| |

Утверждение

: при < − 1

∂

= ∂ .

Доказательство. Когда-то было, что

1(| | < ) < .

| |

∂

– однородный степени −

( + 1)

.

∂

( )

+1

≤ | |̃ .

Так как < − 1, то

, ∂ 1, (R

).

∂

= ∂ .

=

R∫

=

(

)

−

По определению, < ∂

, >

=

< , ∂

>. Рассмотрим интеграл

( )

( ) .

Так

как

R ,

то

носитель

–

компакт

ограничен

= : : | | ≥ ( ) = 0.

< | | < }):

Так что интеграл равен ( := {

∫

( ) ( ) = Ω∫

−Ω∫

∂∫Ω

( ) ( ) =

+

cos( , )

| |<

То, что нужно

Лишнее, хотим 0

∂( ) = .

∂(Ω )

=

+ (

= 0, т.к. 0(∞)

=

= 0).

∫

∫

∫

Интеграл по :

| ( )| ≤

, | | = .

| |

∫

|

|

≤

|

|

∫

−→→

cos( , )

( )

= −( −( −1))

=

0.

0

Теорема.

≤

′( )

;

∂

= 0 =

– регулярный функционал,

=

.

Доказательство. Рассмотрим

= 1

′( ; ),

′ = 0 =

=

.

.

( ; )

< ′

, > =

−

< , ′ > = 0.

( ; )}. То есть состоит из функций,

Множество :

( ; ),

= { ′

некоторый определенный интеграл с переменным

верхним пределом от которых – гладкая

( ; ) = +

= 0

финитная функция.

= 0.

∩

,

– замкнутые линейные подпространства,

.

, где

( ; )

! ,

:

= + .

Что такое пространство ? Посмотрим, что есть, когда ( ) = 0.

67