Рассмотрим функционал действия:

			2		)2
			= ∫	(
					(	− ( ) →
					2
1		2	1				)
	= 1,		= 2 - начальное и конечное положения, - траектория.
							( )	2
			= ( , , ) =						− ( ).
							2

Уравнение Эйлера:

−			˙	= 0	− ( ) −			( ) = 0	− • = 0.

• = . = - второй закон Ньютона. Т.о. частицы подчиняются второму закону

Ньютона.

1.4Струна

Пусть имеется бесконечная нить. Ее движение происходит в одной плоскости.

( , ) - отклонение от положения равновесия в точке в момент времени . Будем считать, что струна натянута между точками и , сопротивляется растяжению и не сопротивляется изгибу.

Потенциальная энергия струны равна произведению силы натяжения (обозначим ) на удлинение.

√

∫

Удлинение = (

1 + ( )2 − 1)

.

длина кривой

Если оставить

удлинение таким, то ничего хорошего не получим. Поэтому считаем

| | 1, т.е. колебания струны вблизи положения равновесия малы.

( )2

√

( )2

∫

∫

Удлинение ≈

(

1 +

− 1 2

( → 0)), и потенциальная энергия =

2

2

2

нужно брать ∫

( ) 2

Кинетическая энергия: вместо

, ( ( ) - плотность).

2

2

= ( , ), а

вблизи положения

равновесия нулевое = 2

( )2, т.к. | | | |

9

Функционал действия:

2

= ( ) =

∫

( )2 −

( )2

∫1

·

2

·

вариация

дб

( + ) =0

(приращение)

=

( )

=

0

2

2

2

∫

·

2

·

∫1

( + )

( + )

( + ) =

−

2

( ) = ∫1

∫

( · − · )

(Коэффициент при в ( + ) − ( ))

Хотим интегрированием по частям (отдельно оба слагаемых) преобразовать в форму

∫ ∫ (. . . )

2

2

2

( ) =

(

−

( )

·

+ (

·

) ) +

·

+

·

∫

∫

∫

∫

1

1

1

Функции и заданы в прямоугольнике := [ ; ] × [ 1; 2]			( ; )
Требовали, чтобы струна была закреплена = =		= = = 0 (нет отклонения).
Также требуем, чтобы
(− ; ) ( + )	= ( + )		= 0
	=		=

Получается, что функция при = и = (т.е на краях) обращается в 0. Тогда вторая подстановка (выше в сумме интегралов) будет равна нулю. Так как начальное и конечное положения струны фиксированы, то

		= 2( )					= 1	= 2
= 2		= 1( )		=			=		= 0 (т.е. не может быть приращения)
= 1
Т.о. обе двойные подстановки равны 0. По ОЛВИ:
∫ ∫	(. . . ) = 0			1( ) :					∂ = 0 = − ( ) · + ( · ) ≡ 0

Получили уравнение колебаний: ( ) · − ( · ) = 0 (= , если есть внешние силы. - плотность сил, действующих на струну.)

Пусть ( ), − . Тогда уравнение примет простейший вид: − 2 = ̃ (= 0).

10

1.5Многомерное обобщение. = 2 - мембрана.

Есть контур , на который натянута резиновая пленка. = ∂

Потенциальная энергия пропорциональна изменению площади (пленка сопротивляется растяжению и не сопротивляется изгибу):

· ∫				− 1)	,			где ( )2 = 2		1 + 2
	( 1 + ( )2										2
Ω	√
			2
		( ) =		Ω∫			2	− · 2
		∫1				·		2

Если взять дифференциал и проинтегрировать по частям, то получим уравнение колебаний:

[ ]

( ) − ( 1 ) 1 + ( 2 ) 2 = 0

Если , − , то: − 2( 1 1 + 2 2 ) = 0 (= ).

1.6Постановка задачи для волнового уравнения.

1. Задача Коши

Есть волновое уравнение

− 2 = (уравнение выполняется во всем пространстве)

	= ( , );	R ;	≥ 0
	начальная форма: =0 = ;
Заданы:
	начальная скорость: =0 =
2. Начально-краевая (смешанная)
− 2 = (уравнение выполняется в ограниченной области )
= ( , );	R (ограниченная область);			≥ 0

11

Должно быть:	= ;		= – (условия Коши)
=0			=0

+ граничные условия:

= 0( , ), = ∂ – условие Дирихле (положение края).

Другие граничные условия:

∂

Условие Неймана : = 1

∂

Вспомним дифференциал (в S 1.4), который дб равен 0 для любого приращения :

2

( ) = ∫

∫

( − =1

) =

(по частям) =

1

Ω

∑

2

2

= ∫

∫

∫

1

− ∫

∫

cos( , ))

( )

(− + =1( ) ) +

( =1

1

Ω

∑

Ω

2

1

∑

Двойная подстановка равна 0, т.к.

∂

= 1

= = 2

= 0 = (∫

) 1

= 0

2

Ω

Нужно рассматривать естественные граничные условия (либо один, либо другой интеграл

равен нулю): Рассматриваем любое приращение на границе = ∂ = 0 - условие

∂

свободного края (можно давать любое приращение на границе).

Если рассматривать силы, которые тянут край куда-то в сторону, то получаем равенство не нулю, а плотности сил.

Третье граничное условие: рассмотрим ситуацию струны.

(a) Конец свободно (b) Есть пружинка болтается вдоль стержня; условие свободного конца

12

Потенциальная энергия:

2 ∫			+ 2 2					=
		( )2
1			1
					пружина

- сила натяжения, - жесткость пружины. Нужно включить “внеинтегральное слагаемое”:

2
1	( + )
∫		= (Взяли дифференциал, а потом проитегрировали по частям).

∫

Внеинтегральное, поскольку не под . Естественное условие на правом конце:

+ = = 0 | ·	1

+ = ;	( =
		)
̃	̃

Рассматриваем ̃ ≥ 0, ̃ 1 (Если жесткость очень мала).

Тогда = 0 (условие свободного края (пружина исчезает))

=

Рассматриваем ̃ 1. Тогда

		( + )				= = 0 = = = 0
		1
			̃
Итак, начально-краевая задача:
− 2 = ;		= ( , );				;	≥ 0;
=0 = ; =0 = ;
= ∂	Пусть = 1 2 3						+ ) 3
1) 1	= 0; 2)	∂∂ 2			= 1;	3) (∂∂		= 3.

(В любой точке границы должно быть условие, причем ровно одно).

3. Стационарная задача

Нет движения, динамики. Мембрана прогнулась и замерла.

= ( ),

R

= – уравнение Пуассона (Лапласа при = 0)

Граничные условия (могут быть):

1. = 0 - условие Дирихле (тогда задача Дирихле)

13