2.	∂∂ = 1 - условие Неймана (задача Неймана, соответственно)
3.	(∂	+ )		=	- “третья” краевая задача
	∂			2

Эти же задачи можно было получить для уравнения теплопроводности − 2 = .

Влюбой точке температура собственная и постоянная. Аналогично уравнения колебаний и Лапласа.

1.7Классификация уравнений второго порядка.

( )( ) =

∑,

( )

+

∑

( )

+ ( ) = .

=1

=1

старшая часть

младшие члены

= ( ); R ;

( ) = ( ( )) × ;

2 = ( ) = ( ); рассмотрим сумму двух членов:

( ) + ( ) = ( ( ) + ( )) .

Поэтому считаем = .

( ) - симметричная матрица. = * =

Фиксируем ; у ( ) есть собственных чисел 1( ), 2( ), . . . , ( )

Определения:

1.Если в точке все с.ч. одного знака, то уравнение в точке эллиптического типа.

2.Если одно с.ч. имеет знак, отличный от остальных, то уравнение в точке гиперболического типа.

3.Если одно с.ч. равно нулю, а остальные с.ч. одного знака, то уравнение в точке параболического типа.

Пусть R . Тогда
		( ( ) ,	) =		( )
Примеры:				,∑
					=1
1. Лаплас: =
		∑			= ;			=		; ( ) = .
			=1

С.ч. = 1 = уравнение эллиптического типа. 2. Волновое уравнение: ( ) := − 2 =

14

	= (. . . )( +1)×( +1);		R ; R
− 2	∑	= (нет смешанных производных)
	=1

10 . . . 0

= 0	− 2 . . . 0 - гиперболический тип

...	... ... ...

00 . . . − 2

3. . Уравнение теплопроводности: − 2 =

00 . . . 0

= 0	− 2 . . .	0	1 = 0;	2 = · · · = = − 2. Параболический тип
		...
... ... ...

00 . . . − 2

Замечание: при = 2 классификация полная (т.е. любое уравнение принадлежит одному из указанных типов). Если оба собственных числа равны нулю, то все хорошо, поскольку такого уравнения нет (оно вырожденное).

1.8Замены переменных.

Рассмотрим уравнение = , = ( )

	;	= ( ),		2	= −1				2	( −1	, потому что замена невырожденная.						)
	→
						( 2) 1				( 2) 2		. . . ( 2)
							( 1) 1			( 1) 2		. . . ( 1)
			′( ) =			...				...		... ...
							( ) 1			( ) 2		. . . ( )
		det ′ = 0;
					( ) :		( ( )) = ( );					=		= .
			̸		̃		̃						−→̃		̃	̃

̃( ( )) = ( ) - дифференцируем по всем -ам:

		∂ ( ( )) = ( )			∂
	∂ :		=1	( )		=
					∂
			∑
		̃		̃

15

Рассмотрим вторые производные:

∂

∂ :

=1 ∂

( ( )∂ ) = ( )

∑

̃

∂

∂

∂2

∑ ∑ ̃

∑

̃

( )

+

( )

=

( )

∂

∂

∂ ∂

=1 =1

=1

∑,

=

( ) + младшие члены =

=1

∂

∂

∑,

∑

∑

∂

∂

+ . . . =

( )

+ . . . .

̃

̃

̃

=1 , =1

, =1

=

( ) ∂

∂

̃

,∑

∂

∂

=1

∑

R ; , =1

- квадратичная форма в “ ”

̃

,∑

R ;

- квадратичная форма в “ ”

=1

				∂				∂
	̃	∑	∑,
					∂			∂
	( , ) =
		, =1	=1			( 2) 1
								( 1) 1
			′	=		...
								( ) 1
	′	- транспонированная. = ′ ·

				(
=	∑,			∑
	=1			=1
( 1) 2 . . .				( 1)
( 2) 2 . . .				( 2)
.	.	.		.
.			.	.
.				.
( ) 2 . . .				( )

∂		)( =1	∂	)
	∂		∂
		∑

(видно из формулы выше).

( , ) = ( ; ) = ( ′ ,						′	) = ( ′ ′ , )
̃
			∂		∂	влево
=	( )							= ′ ′
̃	∑,		∂ ∂					̃
	=1

Теорема. Тип уравнения не меняется при невырожденной замене независимых переменных.

Доказательство. В линейной алгебре был закон инерции квадратичной формы:

Если матрица перехода ′ не вырождена, то у матриц ̃ и количества отрицательных, положительных и нулевых собственных чисел совпадают.

dim ′ ( ) = dim , где - линейное пространство в R

16

Обозначим множества векторов, на которых формы положительны:

+ = { : ( , ) > 0, ̸= 0}

̃+ = { : ( ̃ , ) > 0, ̸= 0}

Тогда + = ′ ( ̃+)

1.9Постановка задачи Коши.

Рассмотрим волновое уравнение:
− 2 = 0.
	=0 = ;		=0 = .

Рассмотрим уравнение теплопроводности:

	− 2 = 0.					=0 =
	∑					∑
(1) =					+				+	=
	, =1					=1

Нет выделенной под время переменной. Как звучит задача Коши для (1)?

Пусть - поверхность. dim = − 1;				R
			=
	∂		=
				- задача Коши.
	∂

Производная по нормали - аналогия с производными по . Главное, чтобы было поле нормалей

(нормали смотрят по одну сторону относительно рассматриваемой поверхности).

Можно задать производную в другом направлении: ∂ =

∂

Утверждение.

∂

=

и - транверсально

∂

=

∂

=

∂

=

некасательно

̃

Т.е., если задаем производную по нормали, то это то же самое, что и производная по

некасательному направлению.

17