3.3Задача ШЛ и интегральное уравнение.

= ;		( )	≥ , то есть
Пусть –		произвольная функция. Существует такое, что, если ( )

единственность решения (правильные знаки коэффициентов граничных условий при = 0)

Добавим к обеим частям дифференциального уравнения слагаемое:

= =	+ * = + * ,	* 1
		( ) + * ≥

̃ = + * .

Для ̃ = 0, ( ) = (̃) – есть единственность.

Есть теорема существования:

	∫
( ) =		( , )( ( ) + * ( ))		( , ) – функция Грина для
				̃
Введем оператор:
		( )( ) = ∫
			( , ) ( )	= ( ) + * ( )

Теорема. Решение задачи ШЛ равносильно решению в 2( ; ) интегрального уравнения.

Доказательство. = – есть. Только что доказали (вывели уравнение).

=: Пусть – решение интегрального уравнения. Тогда [ ; ] ( ( , ) непрерывна). Рассмотрим новую задачу Штурма-Лиувилля. - решение интегрального уравнения

= + *		[ ; ],			( ) = ( )
̃					̃

Для ̃ решение единственно и записывается через функцию Грина:

∫

( ) = ( , )( ( ) + * ( ))

Правые части одинаковые = ≡ = решает задачу ШЛ.

* - обеспечивала единственность.

	=	= * +
	( )		∫
		( )( ) =	( , ) ( )

35

: ( ) ←→ ̃ : ( ) + *

Упражнение: Если для задачи ШЛ нет теоремы единственности, то что с теоремой существования? // Использовать: интегральное уравнение и теорему Фредгольма.

3.4Задача на собственные числа.

= ( ) C – собственное число, - собственная функция ( ̸≡0). ( )

- комплекснозначная функция.

Теорема. Свойства собственных векторов и функций:

1)В 2( ; ) существует полная онс { } из собственных функций.

2)( ) - можно выбрать вещественными

3){ } - вещественные

4)→ +∞

5)Все собственные числа – простые.

// Кратность собственного числа равна dim{ = ; ( )}

Доказательство. Было: при хороших ограничениях на коэффициенты

∫	≥ 0 ∫	( ′)2 ,	( )

Комплексный случай (рассуждения те же самые):

∫			≥ 0 ∫	| ′|2

Теперь коэффициент ( ) – произвольный. 0, 1, 0, 1, - правильные знаки. ( ) →( ) + *

>0

∫				∫
					| ′|2
		≥ 0
	̃

(3) (2) Все собственные числа – вещественные. Можно выбрать вещ полную онс из сф

=					( )		= ( + *)
							̃2
∫	≥ 0 ∫						| ′|	≥ 0
	̃
( + *) ∫				| ′|2			+ * > 0

36

		( ) = * + ( )				1
= ,
= ( + *) .			= , где = ( + *)−
				∫
	( )( ) =				( , ) ( )

1)( , ) ( ≤ , ≤ ) = T – компактен в 2( , )

2)( , ) = ( , ) - вещ. = = *

T – компактный самосопряженный в 2( ; ) = в 2( ; ) существует полная онс { } из собственных функций (по спектральной теореме из фана).

(4)→ ∞

= → 0, - вещественные. > 0 = убывают

	=	−	* + −1	=		→ ∞

(2) { } - вещественные? Проверим, что если - с.ф., то и - с.ф.:

= −( ′)′ + =

{

( ) =

0 ( ) − 1 ′( ) = 0

0 ( ) + 1 ′( ) = 0

=

=

=

−

( ( )′)′

+ =

=

( 0

− 1

) = = 0

( )

′( )

0

+ 1

( )

′( )

= 0

=

(

)

Таким образом,

- с.ф.

- с.ф.

,

,

−→

(5)собственные числа простые (от противного):

- с.ч. 0, 1 - линейно независимые с.ф.

0,1 = 0,1

0,1 ( )

( − )( 0,1) = 0. Уравнение – линейное второго порядка. Тогда

{ 0, 1} - ФСР для ( − ) = 0

= Общее решение ( ) = 0 0( ) + 1 1( )

( ) =

( ) =

( )

−

′( ) = 0

0,1

0

1

(

−

) = 0

( ) =

,

′( ) =

,

!

{ } - сф для ШЛ.

∞

Для любой 2( ; )

∑

– ряд Фурье. = ( , ) =

∫

( ) =

=1

37