Глава 2

Интегральные операторы.

2.1Фан фанский.

Рассморим отношение :			→ . - линейный оператор (функционал, если = R, C)
-	непрерывный,	если	→ = →	(‖ − ‖ → 0 = ‖ − ‖ → 0)

непрерывен в точке u непрерывен в любой точке.- непрерывный : ‖ ‖ ≤ ‖ ‖

‖ ‖ = inf = sup ‖ ‖ ‖ ‖

, - полные пространства (банаховы): { } - фундаментальная = она имеет предел:

‖

−

′

‖

→

‖

−

‖

→

0 =

:

0

= ( ), ( ) (1 ≤ < ∞)

∫

Скалярное произведение: ( , ). Например, в 2( ) : ( , ) =

( ) ( )

Ω

Полное пространство со скалярным произведением - Гильбертово (обозначаем ).

Теорема Рисса. - линейный непрерывный функционал в
= ! :			= ( , )	‖ ‖ = ‖ ‖
Определение: (нормированное).
1.	- компакт. , - открытые. Тогда 1, . . . , :					=1
2.	- компакт, если { } = { } : → (секвенциальная компактность)
Оба определения равносильны.

25

- компакт = - замкнутое и ограниченное

:: = ∞ Тогда существует - замкнутое и ограниченное, но не являющееся

компактом. =

{ } - о.н.с. = { : ‖ ‖ ≤ 1}

( ,

′

) = 0;

‖

‖ ≤

1;

( = ′)

̸

‖ − ′‖2 = ‖ ‖2 + ‖ ′‖2 = 2

Т.е. последовательность не фундаментальна в C = не сходится.

- компактный оператор ( → ),

если для любого ограниченного

- компакт:

{ } :

‖ ‖ ≤

=

{ } : - сходится.

- компактный =: - непрерывный. Пример: = , dim = ∞

Сопряженный оператор *:

( ) - множество линейных непрерывных операторов.

( ) =

! *

( ) :

, ( , ) = ( , * ).

‖

‖

=

‖

*

‖

– компактный

* – компактный.

Теорема Фредгольма (Альтернатива Фредгольма). − =

(*) - уравнение

относительно . - комп. в гильберотовом . Альтернатива Фредгольма:

1.существует единственное решение решение существует для любого

2.единственности нет ( ( − ) ̸= {0}):

a)dim ( − ) = dim ( − *) < ∞

b)уравнение (*) разрешимо : − * = 0

(Множество решений этого уравнения { } = ( − *) )

Т.о. единственность решения эквивалентна существованию решения для любой правой части. Аналогия в алгебре: = ; (R, × )

1.det ̸= 0 = !

2.det = 0 = : * = 0

- сепарабельно существует счетное всюду плотное множество.

Спектральная теорема. - компактный самосопряженный ( = *) оператор в гильберотовом

сепарабельном пространстве	= в существует о.н.с. из собственных векторов .
Собственные числа { } R,	−→→∞	0
Кратность с.ч. = dim{ | = }. Она конечна ( ̸= 0).
- комплексное, т.е. C : ̸= 0:		=
о.н.с: ( , ′) = ′
			с.ч.	с.в.

{ } - полная о.н.с. = ( = 0)

26

Теорема (О рядах Фурье).

		∞
{ } - полная о.н.с. в	= =	∑
		( , ) ( - ряд Фурье).
		=1

2.2Ограниченность интегральных операторов

= 2( )

R

( )( ) = Ω∫

ядро инт.

(*)

( , ) ( )

оператора

Теорема.

=

п.в.

Ω | ( , )| ≤ 0

п.в.

∫

|

( , )

≤

1

∫

|

Ω

( )

a) интеграл (*) абсолютно сходится для п.в.

, если

2

b) ( )( ) 2( ),

‖ ‖2 2

≤ 0 1 ‖ ‖2 2 ,

‖ ‖ ≤ √

0 1

Доказательство.

∫

| ( , )| )2

a) Рассмотрим (

Ω

Неравенство Гельдера:

∫

| | 2

≤ ∫

| |2

∫

| |2

В нашем случае:

Ω

1

Ω

Ω

1

| ( )|

( ) := | ( , )|

2

,

( ) := | ( , )|2

(Ω∫

| ( , )| · | ( )| )2 ≤

Ω∫

| ( , )|

Ω∫

| ( , )| · | ( )|2

≤

∞ п.в.

2(Ω))

∫

0

( )<

(т.к.

b) ? ( ) < ∞ ?

Ω

Ω∫

( ) =

Ω∫

(Ω∫

| ( , )| · | ( )|2 ) =

=

Ω∫

(Ω∫

| ( , )| · | ( )|2 ) ≤ 1 Ω∫

| ( )|2 = 1 ‖ ‖2

|( )( )| = Ω∫

| ( , ) ( )| ;

|( )( )|2 ≤ 0 ( )

Ω∫

|( )( )|2 ≤ 0 Ω∫

( ) ≤ 0 1

Ω∫

| |2

27

‖ ‖2 ≤ 0 1 ‖ ‖2 .

2.3Операторы со слабой особенностью.

( , ) – ядро со слабой особенностью, если

	( , )
( , ) =			,		где | ( , )| ≤ 0,			<
	| − |
( ) = Ω∫						( , )
							( )
						| − |
Лемма 1.
- огр = Ω∫
						≤ равномерно по на
	| − |

Доказательство. Рассмотрим шар ( , ) : ( , )

∫

| − |

Ω

∫

≤

интеграл ( , ) по большему

множеству

			=	∫
			=
| − |		−		(0, )	| |

min ≤

sup | − | = =

, Ω

∫

| |

=

| |

=

(

| | = | 1| · − −1)

∫0

∫

( )

1

( , )

| |=

(

)

−

0

= | 1

|

−

( < )

= | 1| ∫

− −1 = | 1| ·

0

−

−

Теорема.	- интегральный	оператор со		слабой	особенностью, - ограничено
= - ограниченный в 2( ) (не превосходит по модулю некой константы).
Доказательство.		Ω∫ || − | |			Ω∫	| − | + Лемма.
Ω∫	| ( , )| ≤ 0			≤ 0
			( , )

28

( , ) - непрерывный в × . ограничено в R

∫

( )( ) = ( , ) ( ) - компактен в 2( )?

Ω

{ ( )} - компакт в ( )? Равномерно сходящаяся последовательность компактных операторов удовлетворяет лемме Асколи-Арцела.

{ } 2( ) : ‖ ‖ ≤ 0 = { } : { } равномерно сходится.

|( )( ) − ( ′ )( )| 0 (равномерно на

) (

‖ − ′ ‖ 2 → 0)

Теорема. Пусть есть последовательность компактных операторов { } в гильбертовом

пространстве . Пусть существует : ‖ − ‖ −→ 0. Тогда компактен.

→∞

Теорема. - интегральный оператор со слабой особенностью, - огр = - компактен.

Доказательство. ( , ) ( ̸= ). Построим последовательность компактных операторов: → по норме.

( ) =

{

0, >

2

;

0 ≤ ≤ 1;

= 1 − .

1, <

←→

| ( , )|

←→

| ( , )|

(

−

)

| − |

| − |

|

|

непрерывное ядро.

- компактные. ‖ − ‖ −→ 0?

→0

:= | ( , )| (| − |) ( = 1 − , – числитель − )

| ( , )| ≤ 0; | − | > 2 = ( , ) = 0.

- ядро со слабой особенностью. Имеется ограниченность интегрального оператора:

| − |

‖ − ‖2 ≤

0 1

( ,

0 = 1 ≥ Ω∫

зависит от

|| − | |

(или )

)

∫

( , )

∫

( , )

1 (2 ) −

|

|

≤

|

|

=

0| |

– см. док-во леммы предыдущего §

| − |

| − |

−

Ω| − |≤2

‖ − ‖2 ≤ 2 (2 ) − −→ 0

→0

29