- •1. Некоторые сведения о флуктуациях
- •1.1 Флуктуации давления газа в камере
- •1.2. Флуктуации скорости частицы при движении в вязкой среде. Переход от механики Ньютона к статистической механике.
- •1.3. Флуктуации электрических величин и шумы в радиофизике
- •2. Способы описания шумов
- •2.1. Статистические характеристики случайного процесса
- •2.1.1. Математические характеристики шума.
- •2.1.2. Автокорреляцинная функция
- •2.1.3. Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса
- •2.1.4. Tеорема Винера-Хинчина
- •2.2. Широкополосные и узкополосные случайные процессы. Б171
- •2.3. Импульсные случайные процессы
- •2.4. Взаимная корреляционная функция и взаимный энергетический спектр
- •2.5. Коэффициент корреляции между двумя случайными напряжениями
- •2.6. Метод Ланжевена
- •3. Краткие сведения о флуктуациях в электронных приборах. Физические источники шумов в твёрдых телах
- •3.1. Тепловой шум.
- •3.1.1. Вывод формулы Найквиста
- •3.1.2. Обобщенная теорема Найквиста для линейного двухполюсника
- •3.1.3. Формула Гупта.
- •3.1.4. Квантовая модификация формулы Найквиста
- •3.1.5. Мощность тепловых шумов
- •3.1.6. Флуктуационно-диссипационная теорема
- •3.2. Шум горячих электронов (диффузионный шум).Шумовая температура.
- •3.3. Дробовой шум. Связь между дробовым шумом и зарядом носителей.
- •3.4. Генерационно-рекомбинационный шум в полупроводниках.
- •3.5. Шум вида 1/f (фликкер-шум)
- •3.6. 1/F шум
- •3.7. Взрывной шум или шум в виде случайного телеграфного сигнала.
- •3.8. Шумы, обусловленные равновесными температурными флуктуациями
- •3.9. Фотонный шум
- •3.10. Магнитные шумы.
- •3.10.1. Скачки Баркгаузена.
- •3.10.2. Изучение эффекта Баркгаузена.
- •3.10.3. Ограничение чувствительности магнитных датчиков и считывающих устройств из-за шумов Баркгаузена
- •3.11. Равновесные и неравновесные флуктуации
- •4. Некоторые сведения о флуктуациях в физиологии и других природных системах.
- •4.1. Магнитные флуктуации в природе
- •4.2. Флуктуации в биологии и физиологии
- •4.3. Стохастический резонанс
- •5. Преобразование шума в линейных цепях
- •6. Эквивалентные шумовые схемы
- •6.1. Эквивалентные шумовые схемы пассивного двухполюсника
- •6.2. Эквивалентные шумовые схемы четырехполюсников
- •6.3. Коэффициент шума усилителя и методы его измерения
2.1.4. Tеорема Винера-Хинчина
Энергетический спектр S(f) и автокорреляционная функция K() стационарного случайного процесса x(t) связаны друг с другом парой преобразования Фурье (теорема Винера - Хинчина). При этом энергетический спектр Sx(f) стационарного случайного процесса x(t) определяется как преобразование Фурье от автокорреляционной функции:
, (2.16)
где = 2f – угловая частота, i – мнимая единица.
Автокорреляционная функция в свою очередь есть обратное преобразование Фурье от спектральной плотности мощности шума Sx (f).
(2.17)
Поскольку автокорреляционная функция стационарного случайного процесса K() является четной функцией временного сдвига , последнее выражение можно преобразовать к виду, удобному для расчетов:
(2.18)
Отсюда при = 0 (и при ) получим выражение для дисперсии случайной величины x(t):
=, (2.19)
которая есть не что иное, как среднеквадратичное значение случайной величины x(t), а для случая электрических сигналов – мощность шума, выделяемая на сопротивлении 1 Ом.
Автокорреляционная функция K() и энергетический спектр S(f) стационарного случайного процесса, как пара преобразования Фурье, обладают всеми присущими этому преобразованию свойствами. В частности, чем шире эффективная ширина спектра, тем быстрее изменяется значение флуктуирующей переменной, и тем быстрее процесс забывает свое начальное состояние, т.е. с увеличением ширины полосы частот энергетического спектра время корреляцииуменьшается. Т.е., чем меньше ширина функции корреляции случайного процесса на оси временного сдвига, тем шире его спектр. Для всех процессов с одинаковой формой энергетического спектра и, следовательно, с корреляционной функцией одного вида произведение является некоторой константой.
2.2. Широкополосные и узкополосные случайные процессы. Б171
Стационарный случайный процесс с непрерывным энергетическим спектром называют узкополосным, когда спектр его сосредоточен в относительно узкой полосе частот около некоторой фиксированной частоты0 =2f0(рис. 2.4а), так что условие узкополосности случайного процесса имеет вид ,или широкополосным, когда указанное условие не выполняется (рис. 2.4б).
S0 S0/2
Рис. 2.4. Энергетические спектры узкополосного (а) и широкополосного (б) случайных процессов.
Если узкополосный шум подать на осциллограф и развертку синхронизировать на частотах, кратных центральной частоте полосы f0, то реализация узкополосного случайного процесса на экране осциллографа будет похожа на синусоиду фиксированной частотыf0(при малой ширине полосы частот для узкополосного шума= 2-5 Гц). Близость к синусоиде имеет место на протяжении довольно большого числа периодовT = 1/f0.
Для энергетического спектра широкополосного случайного процесса S() = 2S0 = const в широком диапазоне частот. Хорошим примером широкополосного случайного процесса является белый шум, который называют иногда дельта-коррелированным случайным процессом, в связи с тем, что функция корреляции для белого шума согласно (2.17) является дельта-функцией, δ(τ):
=δ(τ), (2.20)
где δ(τ) - функция равная нулю при всех значениях τ иδ(0) = ∞.
Замена реального случайного процесса на δ-коррелированный в различных физических системах означает, что граничная частота спектра шумов не вводится в рассмотрение, поскольку она гораздо больше всех других частот, существенных для рассматриваемой системы.
Вместе с тем для практики наиболее важное значение имеет ограниченный по полосе частот белый шум, энергетический спектр которого согласно формуле (2.13) аппроксимируется прямоугольником в полосе частот ,как показано на рис. 2.5.
Рис. 2.5. СП белого шума в ограниченной полосе частот . |
Для ограниченного по полосе частот белого шума автокорреляционная функция, рассчитанная по формуле (2.17), дается соотношением:
, (2.21)
B=
Рис. 2.6. Автокорреляционная функция ограниченного по полосе частот белого шума.