2.3. Импульсные случайные процессы

Многие задачи, получившей широкое развитие в последние годы, приводят к исследованию спектров последовательностей идентичных импульсов. Основные параметры, характеризующие геометрическую форму или положение этих импульсов (амплитуда, длительность, моменты возникновения и окончания импульсов), являются случайными функциями времени. Это может иметь место, когда импульсы искажаются случайными помехами, и электрическими шумами или когда модуляция импульсной последовательности может рассматриваться как случайный процесс. Последовательность импульсов, параметры которых являются случайными функциями времени, называют импульсным случайным процессом. Приведем один пример.

Любой электрон, преодолевающий потенциальный барьер в полупроводниковом приборе, или выходящий из термокатода вакуумного прибора, создает импульс тока, площадь которого на оси времен равна заряду электрона. При этом полный ток прибора слагается из большого числа подобных импульсов, которые являются случайными функциями времени.

В общем случае импульсный случайный процесс определяется бесконечным множеством реализаций, каждая из которых представляет собой последовательность импульсов.

Шумовые процессы в твердотельных и других электронных приборах, создаваемые флуктуациями плотности носителей тока или флуктуациями эмиссии, часто можно представить в виде последовательностей случайных импульсов тока. Применительно к этим процессам вводят функции распределения для дискретной переменной n(n= 1, 2, …). Если отдельные импульсы возникают независимо и случайно со средней частотойимпульсов в секунду, тогда вероятность того, что за 1 секунду происходитnтаких событий (например, протекаетnимпульсов тока), определяется распределением вероятности Пуассона:

P(n) = ()ⁿ exp(-)/n!. (2.21)

Из-за дискретности носителей тока в термоэлектронных и полупроводниковых приборах возникают флуктуации тока относительно его среднего значения, которые называют дробовым шумом (см. раздел 3.2). Для описания этих процессов используют распределению вероятности Пуассона (2.21).

Процесс испускания фотонов лазером также является пуассоновским, поскольку излучение фотонов – это также последовательность независимых событий, происходящих в случайные моменты времени.

2.4. Взаимная корреляционная функция и взаимный энергетический спектр

Во многих практических задачах приходится изучать одновременно два или большее число случайных процессов. Для двух случайных переменныхxиy, совместная функция плотности вероятностиf (x,y) должна удовлетворять следующим соотношениям:

(2.22)

При рассмотрении двух стационарных случайных процессов простейшим совместным моментом распределения является взаимная корреляционная функция двух случайных процессов. Пустьx(t) иy (t) – стационарные и стационарно связанные (т.е. их связь не меняется со временем) случайные процессы. Заметим, что из стационарностиx(t) иy(t), вообще говоря, не следует их стационарная связанность.

Количественной характеристикой степени статистической связи двух случайных величин служат взаимные корреляционные функции этих процессов K_xy() иK_yx(), которые удовлетворяют следующим соотношениям:

K_xy() = (2.23)

K_xy() =K_yx(-). (2.23а)

Хотя взаимные корреляционные функции двух стационарно связанных случайных процессов зависят только от разности моментов времени, каждая из этих функций не является четной (в отличие от корреляционной функции стационарного случайного процесса), т.е.

K_xy()K_xy(-). (2.24)

Процессы, для которых взаимные корреляционные функции равны постоянной величине (или, в частности, обращаются в нуль), называют некогерентными.

Для двух стационарных и стационарно связанных случайных процессов можно вычислить взаимный энергетический спектр по теореме Винера–Хинчина (2.16), подставив в него вместо автокорреляционной функцииK() взаимную корреляционную функцию этих процессовK_xy(). При этом для взаимных энергетических спектров случайных процессовx(t) иy (t) имеем следующие соотношения:

, (2.25)

, (2.25а)

Взаимные корреляционные функции в свою очередь можно выразить, через обратное преобразование Фурье от взаимных энергетических спектров по формулам:

(2.26)

(2.26а)

Следует отметить, что в отличие от энергетического спектра стационарного случайного процесса, который является действительной четной функцией, взаимный энергетический спектр для двух процессов – комплексный, действительная часть которого четна, а мнимая нечетна. Это следует из того, что взаимная корреляционная функция этих процессов не является четной.

Величина

R_xy(, (2.27)

называется взаимным коэффициентом корреляции двух случайных процессов. Здесь –средние значения случайных величин x(t) и y (t), и– их дисперсии соответственно. Если средние значения случайных процессов равны нулю, тогда

R_xy(, (2.27а)

а при отсутствии временного сдвига (τ=0) между случайными величинами x(t) и y (t) для коэффициента корреляции имеем простое соотношение:

R_xy, (2.27б)

где -1.

Если случайные величины x(t) и y (t) не коррелированны, тогда и R_xy = 0.