u

В момент и, и > t, цена задается просто в виде

−

exp

∫ ru du .

t

Теорема 5.5. При предположениях 5.11, если т

Р (S) = 0, то:

а) lim

1

ln

P(u,u +

=

ru по мере т

Р ;

−

h

h)

h→ 0

r

L1(Ω

б) если

max

, FТ, Q), тогда для каждого и < Т мы имеем

0≤

u≤ T

u

1

lim

−

ln P(u, u +

h) =

ru почти всюду.

h

h→ 0

Доказательство этой теоремы опускаем из-за громоздкости.

Соотношение lim		−	1	ln P(u,u +		=	ru	допускает интерпрета-
			h		h)
h→ 0

цию rи как процесса мгновенной процентной ставки. Это также показывает, что отсутствие арбитража возможно между «краткосрочными» облигациями и сберегательными счетами.

Единственность была необходима только для получения единственного выражения для стоимости Р [и, (и + h) Т]. Если Q не единственная и мы согласны вычислять цену всех этих облигаций с той же мерой, тогда может быть доказана аналогичная теорема. К сожалению, если Q не является единственной, то нет экономического смысла производить вычисления с одинаковой вероятностной мерой.

§ 3. СЛУЧАЙ, КОГДА МГНОВЕННАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА ЯВЛЯЕТСЯ ДИФФУЗИОННЫМ ПРОЦЕССОМ

Предположим, что мгновенная процентная ставка следует диффузионному процессу, и сопоставим получающиеся результаты с обычным дифференциальным подходом в финансовой экономике, соблюдая математический уровень строгости при определениях и доказательствах. Основным результатом будет получение дифференциального уравнения в частных производных для цены облигаций как функции только от мгновенной процентной ставки. Для простоты доказательств, мы рассмотрим только стационарный случай. Докажем, что при условиях регулярности:

а) процесс сберегательного счета квадратично интегрируемый;

227

б) процесс цены облигации – не более чем зависящая от времени детерминированная функция процесса мгновенной процентной ставки, если и только если то же верно для цены процесса риска;

в) при предположениях дифференцируемости детерминированная функция пункта б) удовлетворяет параболическому уравнению в частных производных, а процесс цены облигации – тоже диффузионный процесс.

Из предположения диффузии следует, что процесс мгновенной процентной ставки (rt)t является марковским. Не будем использовать каноническое представление, которое становится неизбежным для более строгого анализа. Марковское свойство выражается здесь в следующем виде.

Марковское свойство. Для всякой ограниченной измеримой функции g на Ω , зависящей от rи, для t ≤ и ≤ Т при заданном t, т. е. g, измеримой относительно σ-алгебры σ(rи; t ≤ и ≤ Т), имеет место ра-

венство Е[g|Ft] = Е[g|rt].

Для простоты принимаем, что коэффициенты дрейфа и диффузии для drt принадлежат классу С∞ , и, что более важно, за конечное время процесс rt никогда не достигает ни 0 ни + ∞ .

Предположение 5.12. Процесс (rt)t следует стационарному диффузионному процессу

drt = а(rt) dt + b(rt) dВt,

где а, b являются С∞ функциями на (0,+∞ ) и b < 0. Кроме того, для каждой стартовой точки r0 = х

Р{0 < inf rt ≤	sup rt < + ∞} = 1.
0≤ t≤ T	0≤ t≤ T

Условия на а и b, гарантирующие отсутствие взрывного изменения rt, известны как условия Феллера. Известно, что для данных а и b

их > 0 имеется только одно строгое решение дифференциального

уравнения предположения 5.12, такое, что r0 = х.

Из единственности решения следует, что предположения 5.2, 5.3

и5.9 вытекают из предположения 5.12. Докажем это. У нас имеется

функция g: (0, + ∞ ) → R из С∞ с g′= 1/6 f; процесс Хt = g (rt) удовлетворяет уравнению

dХt = (g′(rt) а (rt) + g″(rt) b2(rt)/2) dt + g′(rt) b (rt) dВt,

но так как g′≠ 0, функция g имеет обратную h, т. е. rt = h(Хt) и dХt = α (Хt) dt + dВt

228

для некоторой функции α из С∞ . Последнее уравнение показывает, что для 0 ≤ и ≤ s процесс (Ви)0 ≤ и ≤ s может быть регенерирован из процесса

(Хи)0 ≤ и ≤ s, а значит, и из процесса (rи)0 ≤ и ≤ s. Разности (Ви − Вt )t ≤ и ≤ s могут быть также регенерированы из (rи)t ≤ и ≤ s. Наконец, очень важное замечание для последующего использования: как бы ни определялся

стохастический интеграл ∫ts f (u, ru ) dBu , эти функции зависят только

от (rи)t ≤ и ≤ s.

Тот факт, что b < 0, может показаться странным, поскольку обычно b интерпретируется как стандартное отклонение. Однако знак b является неважным, потому что, если заменить Вt на − Вt, b изменяет свой знак. Для дальнейшего использования лучше, чтобы коэффициент диффузии цены Р (t, Т) был положительным, и так как оказывается, что последний имеет знак, противоположный к знаку b, принимаем b < 0. Тот факт, что b не обращается в нуль, является существенным при описании функционирования рынка.

Достаточные условия интегрируемости сберегательного счета

Диффузионное предположение 5.12 о процессе мгновенной процентной ставки не обязательно влечет свойство интегрируемости предположения 5.4 для процесса цены облигации. Приводимая ниже теорема устанавливает достаточное условие выполнения предположе- ния 5.4, которое имеет разумное экономическое дополнение: ограниченность коэффициента дрейфа при drt должна быть следствием экономических сил, возвращающих мгновенную процентную ставку обратно к «нормальным» значениям, если случается, что она становится достаточно высокой. В конкретных моделях даже обычно предполагается а (х) < 0 для достаточно больших х.

Теорема 5.6. Если в предположении 5.12 коэффициент диффузии b(.) является ограниченным и коэффициент дрейфа а(.) ограничен сверху на бесконечности, тогда для всякого γ > 0 и х > 0 процесс, стартующий из х (т. е. r0 = х), удовлетворяет неравенству

				< ∞ .
Е exp		γ max ru
		0≤ u≤ T
		229

В частности, для каждого начального значения r0 мгновенной процентной ставки финальное значение сберегательного счета

	T		2
exp	∫ ru du		является элементом L (Ω , FТ, Р).
	0

Доказательство. а) Для доказательства теоремы нам нужно показать, что процесс с положительными значениями Xu = exp(γru) удовлетворяет неравенству E(max 0 ≤ u ≤ T Xu2) < ∞ .

б) Формула Ито позволяет записать уравнение

ln Xu

1

2

2

ln Xu

ln Xu

dXu =

γa

+

γ b

Xudu + γb

XudBu

γ

2

γ

γ

или

dXu = α ( Xu ) Xudu + β( Xu ) XudBu

для некоторых функций α и β из С∞ на (0, ∞ ), где для некоторых K > 0 |β(x)| < K, и для некоторых чисел x > exp(γx0) функция α (х) ≤ K для всех х ≥ x . Покажем, что ограниченность α (х) на бесконечности ком-

пенсирует возможные большие значения Xs в ∫0uα (X s ) ds .

в) Пусть и будет произвольным моментом времени между 0 и Т. Тогда для ω Ω такого, что Xu(ω ) > x , введем последний момент времени перед и, когда выполнялось равенство Xs = x , соотношением

и = e(u, ω ) = sup{t | t < u, Xt(ω ) ≤ x }.

(Так как и = e(u, ω ) не является временем остановки, с ним надо обращаться внимательно.) Для такого ω получим

u			u
Xu (ω ) ≤ X0(ω ) + ∫ α (X s (ω ))X s (ω )ds + K ∫ X s (ω )ds +
0			0
u
	∫		(ω ) .
+		β(X s )X sdBs
	0

Так как

e(u,ω )		t
∫ α (X s (ω ))X s (ω )ds = X e(u, ω )(ω ) − X0(ω ) −		∫		,
			β(X s )X sdBs
0		0	(t = e(u,ω ),ω )

230

выполняются следующие неравенства:

u

t

Xu(ω

) ≤

x + K ∫ X s (ω

)ds + 2 max

∫ β

(ω )

,

( X s )X sdBs

0

0≤ t≤ u

0

2

2

u

2

t

2

(ω ) ≤

3 x

2

(ω

)ds + 12 max

(ω )

,

Xu

+ 3K Т ∫ X s

∫ β(X s )X sdBs

0

0≤

t≤ u

0

последнее из которых имеет место для ω′

таких, что Xи(ω′ ) ≤

x.

г) для любых N введем величины

τN ≡ inf{t | Xt > N} T, Yu ≡

Xu τ N .

Тогда из последнего неравенства пункта в) будем иметь, что

Yu2 = Xu2 τ N ≤ 3 x 2 + 3K 2Т

u τ N

X s2 (ω )ds + 12

t

2

∫

max

∫β(X s )X sdBs

,

0

0≤ t≤ u τ N

0

которое показывает, что упомянутое неравенство остается справедливым, когда Х заменяется на Y. Кроме того, правая часть неравенства возрастает с увеличением и, что дает

2

2

2

u

2

t

2

≤ 3 x

+ 3K

ds + 12

max

(ω

)

.

maxYs

Т ∫Ys

∫ β(X s )X sdBs

s≤ u

0

0≤ t≤ u τ N

0

д) По неравенству Дуба имеем

t

2

u

2

2

u

2

max

∫ β(Ys )YsdBs

≤

≤

4 K

∫

]ds .

E

4 E

∫β(Ys )YsdBs

E[Ys

0≤ t ≤ u

0

0

0

Последнее неравенство следует из свойства изометрии и из неравенства |β(x)| ≤ K.

е) Таким образом, для ϕ (и) ≡ Е{ maxY 2			} получаем мажоранту
	s≤ u	s
	u			u
ϕ (и) ≤ 3 x 2 +3ТK 2	∫ E[Ys2 ]ds + 48 K 2			∫ E[Ys2 ]ds.
	0			0
	231

Функция ϕ (и) ограничена величиной N 2 и удовлетворяет неравенству

u

ϕ (и) ≤ 3 x 2 + (3ТK 2 + 48K 2) ∫ ϕ (s) ds,

0

следовательно, по неравенству Гронволла

ϕ (и) ≤ 3 x 2 ехр {(3ТK 2 + 48K 2)и},

т. е.

Е{ maxYs2 }≤ 3 x 2 ехр {LТ},

s≤ u

где L не зависит от N.

Переходя к пределу при N → ∞ , получим неравенство из пункта а), а значит, и утверждение теоремы.

Условие детерминированной зависимости (t, Рt) от (t, rt)

Исследуем возможность представления процесса цены облигации просто как детерминированной функции процесса мгновенной процентной ставки. Оказывается, это эквивалентно наличию той же самой возможности для процесса «цены риска».

Предположение 5.13. Справедливы предположения 5.11 и 5.12. Теорема 5.7. При предположении 5.13 можно выписать следую-

щее представление процесса цены облигации:

		−
Р(и, Т) = Е exp

T

T

q dB

− 1

T

F

∫

r ds

exp

∫

∫

q2ds

.

s

s s

2

s

u

u

u

u

Если:
а) имеет место равенство qs(ω ) = q (s, rs(ω		))	для некоторой изме-
римой функции q : [0, Т] ×	Р+ → Р, тогда				Р такая, что
б) существует измеримая функция h: [0, Т]			×	Р+ →
Р(и, Т) = h(и, rи).
Обратно, если б) имеет место, тогда
в) существует измеримая функция q : [0, Т]			×	Р+ →	Р такая, что
qs(ω ) = q (s, rs(ω )) на множестве (s, ω ) с σ s(ω ) ≠		0.
Доказательство а) →	б). Из представления
	232

−

T

T

q(s, r ) dB −

1

T

q 2

F

Р(и, Т) = Е exp

∫

r ds

exp

∫

∫

(s, r ) ds

s

s s

2

s

u

u

u

u

и из марковского свойства (rs)0 ≤ s ≤

Т

можно получить

		−
Р(и, Т) = Е exp

T

T

q(s, r )dB

−

1

T

r

∫

r ds

exp

∫

s

∫

q 2 (s, r )ds

=

s

s

s

u

u

u

2 u

= h(и, rи).

Доказательство б) → в). Из теоремы ции дрейфа Р (см. § 2) по мере т Р имеем

Ри и = lim 1 E[P((u + ε) T,T) −

ε↓0 ε

представления для функ-

P(u,T ) Fu] .

Так как Р((и + ε) Т, Т) является r(и+ε) Т измеримым, марковское свойство (rи)и гарантирует, что

Ри и = lim 1 E[P((u + ε) T,T) − P(u,T ) ru],

ε↓0 ε

которое дает Ри и как детерминированную функцию (и, rи). Коэффициент диффузии σи идентифицируется коэффициентом дрейфа в

Pu e− ru , равным по формуле Ито

e− ru Pu ( u − a − bσu ) ;

так как qиσи + и − rи = 0, из этого следует утверждение в).

Заметим, что функцию «цены риска» q можно рассматривать как функцию, отражающую поведение агента и гарантирующую жизнеспособность модели.

Процесс цены облигации как диффузия

Рассмотрим связь результатов гл. 5 с подходами, использующими обычный дифференциальный подход в финансовой экономике (см., например, Vаsičеk, 1977). Путем предположения о дифференци-

233

руемости функции «цены риска», изученной в предыдущем подразделе, математически выведем уравнение в частных производных, связывающее два процесса r и Р.

Теорема 5.8. Если при предположении 5.13 в выражении процесса цены облигации в утверждении 5.1 (§ 2) функция q задается в форме

qи = q (и, rи) – функция q пространства С ∞ : (0, Т) (0, ∞ ) → Р,

тогда:

а) существует функция из С∞ h: (0, Т) (0, ∞ ) → Р такая, что цена

Р(и, Т) = h(и, rи);

б) функция h является решением параболического уравнения в

частных производных
∂h + (а + b q )	∂h	+ 1	b2 ∂2h	−	х h = 0,
∂t	∂x	2	∂x2
где t (0, Т), х (0, ∞ ); а, b −	коэффициенты диффузионного процес-

са (rt)t; q − функция цены риска;

в) имеется только одна «нейтральная к риску» вероятностная мера Q, для которой имеет место теорема 5.2; другими словами, множество S, определенное в § 2, имеет нулевую вероятностную меру т Р. Более точно, σs(ω ) > 0 для всякой пары (s, ω );

г) процесс (Р(и, Т))0 ≤ и ≤ Т сам является диффузионным и, следовательно, марковским процессом.

Доказательство. а), б). Для вероятностной меры

Q

, где

T

q(s, r ) dB −

1

T

q 2

dQ dP = exp

∫

∫

(s, r ) ds

s s

2

s

0

0

T

−

Fu и (rt)0

(см. § 2), имеем равенство

Р(и, Т) = EQ

≤ и ≤ Т

exp

∫ rs ds

u

все еще является диффузионным процессом с новыми коэффициентами дрейфа и диффузии.

Как и в § 2 здесь мы используем теорему Гирсанова, которая га-

~		u
рантирует, что процесс B и = Ви −	∫0 q(s, rs ) ds является броуновским
движением при вероятностной мере			, и тогда имеем
		Q
drt = а dt + bdВt =	~
	(а + b q ) dt + b d B t.

234

Рассмотрим уравнение в частных производных

∂f	+	(a + bq) ∂f	+	1 b2 ∂2 f		− xf = 0 , 0 ≤	t ≤ Т, х > 0,
∂t		∂x		2	∂x2
с условием, что для каждого					х > 0,	lim f (t, x) =	1. Так как а, b, q яв-
						t↑T

ляются функциями t и х из С∞ , находим единственное решение h из

С∞ , задаваемое формулой Фейнмана – Каца (см., например, Duffie 1992), как условное математическое ожидание exp(− ∫tT rs ds) при фик-

сированной ставке rt = х, вычисленное по вероятностной мере, пре-

~

вращающей dr = (а+b q )dt + b d B в диффузионный процесс, т. е. по вероятностной мере Q . Поэтому Р идентифицируется как решение h

рассматриваемого уравнения.

в) Формула Ито, примененная к Р(и, Т) = h(и, rи), дает

∂h

+ а

∂h

+

1

b

2 ∂2h

dи + b

∂h

dВи,

dР(и, Т) =

2

∂и

∂x

2

∂x

∂x

которое показывает, что коэффициент диффузии в dР равен b ∂h∂x , отсюда условие σи(ω ) ≠ 0 эквивалентно условию ∂ h(и, rи(ω ))/∂х ≠ 0. Докажем теперь, что ∂h∂x < 0 на (0, Т) × (0, ∞ ) (результат, согласую-

щийся с интуицией), и это будет гарантировать σи > 0 и единственность нейтральной к риску вероятностной меры Q.

в') Сначала покажем, что ∂h∂x ≤ 0. Если rsх и rsу являются

двумя решениями уравнения drt = а dt + bdВt такими, что r0х = х, r0у = у и х > у, тогда результаты, вытекающие из невырожденности, показывают, что почти для всех ω имеет место неравенство rsх(ω ) > rsу(ω ) для всех s ≤ Т; интегральное представление цены Р(t, Т) тогда обеспечива-

ет, что h(t, х) < h(t, у).

в") Так как функция h является убывающей по х, ∂h∂x = 0 вле-

чет, что ∂2h∂x2 = 0 и ∂3h∂x3 ≤ 0; вычисляя производные дифференциального уравнения в частных производных, имеем

∂

∂h

∂h

1

∂2h

+ (a + bq)

+

b2

2

−

xh

= 0,

∂t

∂x 2

∂x

∂x

235

∂2h

+

∂(a + bq) ∂h

+ (a + bq)

∂2h

+

∂t

∂x

∂x2

∂t∂x

+

1 ∂(b2 ) ∂2h

+

1

b

2

∂3h

− h −

x

∂h

= 0.

2 ∂t ∂x2

2

∂x3

∂x

Для точки (t, х), в которой ∂h ∂x =0, получим

∂2h

+

1

b

2 ∂3h

−

h =

0

∂x∂t

2

∂x3

и, следовательно, ∂2 h∂x∂t > 0. Отсюда при ∂h(t, x)∂x = 0 и достаточно малом ε > 0 имеем, что ∂h(t + ε, x)∂x > 0, т. е. противоречие с результатом в'). Мы вынуждены принять, что ∂h∂x < 0 и поэтому Q определяется единственным образом.

г) Для любого t функция х → h(t, х) может быть инвертирована, т. е. существует g(t, р) такая, что

g (t, h(t, х)) = х;

теорема о неявных функциях гарантирует, что g принадлежит С∞ , и можно записать

dР(t, Т) = d h(t, rt) = (t, Р(t, Т)) dt + σ (t, Р(t, Т)) dВt,

где и σ являются функциями из С∞ . Таким образом, Р следует диффузионному процессу и поэтому является марковским процессом.

Заметим, что мы могли бы получить и σ в пункте г) и путем подстановки х = g (t, р) по формуле Ито (см. начало пункта в)).

Строгая монотонность h(t, х) по х уже доказывает марковский характер Р, так как она гарантирует существование функции g, которая дает с точностью до множества меры нуль:

Ft = σ(Р (и, Т)| и ≤ t), σ(rt) = σ(Р(t, Т)) для всех t ≤ Т.

236