С другой стороны, можно также рассмотреть ситуацию, когда никакие дивиденды не реинвестируются в акции. Тогда придем к интуитивной формуле:

S(0)	= E	t	e− ru S(u)ρ du +	e− rt S(0); h * .	(6.32)
		∫
		0

Чтобы доказать справедливость представления (6.32), изменим порядок вычисления математического ожидания и интегрирования в правой части и используем формулу

Е [S (и) ехр {−δ и} ; h*] = S (0) ехр {−ρ и} .

Таким образом,

	t
правая часть = S(0)	∫ e− ru S(u)ρ
	0

du + e	− ρ t	= S (0) = левая часть.

Формулу (6.30) можно использовать для определения цены опциона обмена валюты, когда S (t) обозначает текущий обменный курс в момент времени t, r – местную процентную ставку, а ρ − иностранную процентную ставку. В этом контексте выражение (6.31) известно как формула Гармана – Колхагена (Garman – Kohlhagen formula).

§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНЫ БЕССРОЧНОГО АМЕРИКАНСКОГО ОПЦИОНА

При помощи применения теоремы опционного выбора мы получим формулы для определения цен бессрочных американских опцио- нов-пут на акции. Сделаем предположения относительно цен акций и дивидендов, которые были введены в § 6. При определении цены бессрочного американского опциона-пут дополнительно предположим, что убывание цены акции не происходит скачкообразно. Аналогично, когда определяется цена бессрочного американского опциона-колл, предположим, что возрастание цены акции не происходит скачкообразно. При этих предположениях, принимаемых для удобства, могут быть получены достаточно простые формулы.

Сначала рассмотрим бессрочный американский опцион-пут с це-

ной исполнения K. Временно предположим, что K <S(0), чтобы исключалось немедленное исполнение опциона. Владелец опциона ис-

265

полняет его в соответствии с некоторой стратегией в момент останов-

ки Т. Тогда в момент Т получим (K − S (Т))+, где х+ = mах { х, 0} . Таким образом, стоимость опциона в момент 0, ассоциированная со

стратегией равна

Е [(K − S (Т))+ ехр{− rТ} ; h*].

Чтобы максимизировать это выражение, можно ограничиться стационарными стратегиями вида

ТL = inf { t | S(t) ≤ L} , L ≤ K.

Опцион исполняется в первый же момент времени, когда цена акции становится равной или меньше уровня L, если это происходит. Цена опциона является максимальным значением

Е [ехр{− rТL} (K − S (ТL))+; h*].	(6.33)
В предположении, что процесс цены { S (t), t ≥ 0}	не может

уменьшаться скачкообразно, цена акции в момент, когда опцион исполняется, равна L, т. е.

L = S(ТL) = S(0) ехр{ Х(ТL)} .	(6.34)
Для простоты обозначим текущую цену акции S (0)	через S, а
выражение (6.33) – через V(S, L) . Так как L ≤ K
V (S, L) = (K − L) Е [ехр{− rТL} ; h*].	(6.35)

Математическое ожидание в равенстве (6.35) является преобразованием Лапласа в точке ТL и может быть вычислено с помощью следующих классических рассуждений.

Рассмотрим стохастический процесс { ехр [− rt + θ Х(t)], t ≥ 0} . Для t ≤ ТL он является ограниченным мартингалом по отношению к нейтральной к риску мере Эсшера, если коэффициент θ – отрицательное решение уравнения

Е [ехр{− rt + θ Х(t)} ; h*] = 1 или М(θ , 1; h*) = ехр{ r} . (6.36)

Уравнение (6.36) имеет два вещественных корня: один является отрицательным, а другой – больше единицы. Чтобы увидеть это, рассмотрим функцию φ(θ ) = М(θ , 1; h*) = Е [ехр{θ Х(1)} ; h*]. Так как

266

φ′′(θ ) = Е [Х(1)2 ехр{θ Х(1)} ; h*],

функция φ(θ ) является выпуклой. Следовательно, уравнение (6.36)

φ(θ ) = ехр{ r}

имеет не более двух решений. Заметим, что φ(0) = 1 <ехр{ r} , и из

представления (6.28) следует, что φ (1)	= ехр{ r − ρ}			< ехр{ r} .
Предположим, что рrоb { Х(1) <0}	>	0 и рrоb { Х(1) >			0} >	0, отку-
да следует, что φ(θ ) → + ∞ для θ →		− ∞	и для	θ →	+ ∞	. Таким
образом, уравнение (6.36) имеет два корня:			θ 0 <0 и θ 1 >		1.

По теореме опционного выбора (optional sampling theorem) мы имеем Е [ехр{− rТL + θ 0 Х(ТL)} ; h*] = 1, которое согласно соотношению (6.34) превращается в равенство

Е [ехр{− rТL} ; h*] = (L/S) − θ 0 .	(6.37)
Применение равенства (6.37) к выражению (6.35) дает для	S ≥ L
и K > L,
V(S, L) = (K − L) (L/S) − θ 0 .	(6.38)

Для данной текущей цены акции S ищем максимальное значение стоимости (6.38), варьируя границу исполнения опциона L. Пусть VL обозначает частную производную V по L. Тогда решение уравнения VL(S, L) = 0 даст оптимальную границу исполнения опциона

~		− θ 0K / (1 − θ 0).
L = L =
Таким образом, максимальное значение
~		K				− Kθ	0		− θ 0
V(S, L ) =								.
	1	− θ	0			S(1− θ	)
							0

Оно является ценой бессрочного американского опциона-пут при ус-

ловии, что S ≥

~

~

L . Для S

< L

опцион исполняется немедленно и цена

его составляет K − S. Следовательно, цена опциона равна

K

−

Kθ

0

− θ 0

~

, если

S ≥ L,

(6.39)

− θ 0

S(1− θ 0)

1

~

если

K − S,

S <L.

267

Может показаться удивительным, что r и ρ явно не содержатся в формуле (6.39). Однако они были использованы при определении θ 0 .

Теперь рассмотрим определение цены бессрочного американского опциона-колл с ценой исполнения K и временно предположим, что K > S. Для М ≥ K определим

ТМ = inf { t | S(t) ≥ М}

и
W (S, М) = Е [ехр{−δ ТМ} (S (ТМ) − K)+; h*].	(6.40)
В предположении, что процесс цены акции { S (t), t ≥ 0}	не изме-

няется скачкообразно вверх, цена акции будет равна М в момент, когда исполняется опцион, т. е. S (t) = М. Так как М ≥ K, формула (6.40) превращается в следующую:

W(S, М) = (М − K)Е [ехр{− rТМ} ; h*].

(6.41)

Математическое ожидание в формуле (6.41) вычисляется тем же самым способом, как и выше, исключая тот факт, что теперь используется θ 1, положительный корень уравнения (6.36), чтобы быть уверенными в том, что (ехр{− rt + θ 1Х(t)} ) является ограниченным мартингалом (по отношению к нейтральной к риску мере Эсшера) для t ≤ ТМ. Окончатель-

ная формула имеет вид Е [ехр{− rТМ} ; h*] = (S/М) θ 1 .

Для заданной текущей цены S максимальное значение

достигается при	W(S, М) = (М −			K)(S/М)θ 1				(6.42)
	~
поэтому	М = M = θ 1K / (θ 1 − 1),
				S(θ 1 −		1) θ 1
	~	K
	W(S, M ) =						.
		θ 1 − 1
				Kθ 1

Это дает цену бессрочного американского опциона-колл при условии,
~	~
что S ≤ M . Для S >	M опцион исполняется немедленно и цена равна
просто S − K. Таким образом, цена опциона определяется выражением
		K				1)		θ 1		~
					S(θ 1 −
								, если	S ≤	M ,	(6.43)
		θ 1 −
			1 Kθ 1							~
			K,					если	S >
	S −									M .

268

Когда доходность дивидендов ρ стремится к~нулю, корень	θ 1
стремится к 1, граница оптимального исполнения M стремится к	∞ ,

а цена бессрочного американского опциона-колл стремится к S, текущей цене акции. Эти предельные результаты можно проверить прямым вычислением: для ρ = 0, θ 1 = 1 формула (6.42) сводится к следующей

W(S, М) = (1 − K / М) S, М ≥ K.

Так как эта функция строго возрастает от М, ее наибольшее значение не достигается при конечных значениях М и максимальным значением (стоимостью опциона) является S. Таким образом, если ρ = 0, бессрочный американский опцион-колл никогда не будет исполняться, но несмотря на это, он будет иметь положительную стоимость. Чтобы избежать этой аномалии, можно модифицировать выплату опционаколл следующим образом

[( S(ТМ) − K)+] α , 0 < α <1.

Тогда

W(S, М) = (М − K) α (S/М),
~	− α ).
которая принимает максимальное значение при M = K / (1

Условие гладкого склеивания

ции

и

Каждая из формул (6.39) и (6.43) как функция текущей цены ак- S имеет непрерывную первую производную, поскольку

~	~	~	~	~	(6.44)
V( L	, L ) = K −	L ,	VS ( L	, L ) = − 1
~	~ ~		~ ~		(6.45)
W( M	, M ) = M − K,		WS ( M , M ) = 1.

Формулы (6.44) и (6.45) являются частными случаями так назы-

ваемого условия качественного контакта (high contact condition) Са-

мюэльсона; в литературе о задачах оптимальной остановки использу-

ется термин условие гладкого склеивания (smooth pasting condition), или принцип гладкой аппроксимации (principle of smooth fit), который приписывается Колмогорову.

Р. Мертон (1973) получил условие гладкого склеивания как необходимое условие оптимальности первого порядка. При некоторых

269

слабых условиях обратное также имеет место – решение оптимальной задачи остановки, удовлетворяющее условию гладкого склеивания, является на самом деле оптимальным решением задачи. Легко прове-

рить, что условие (6.44) определяет оптимальную границу исполнения

~

L, в то время как условие (6.45) определяет оптимальную границу ис-

~

полнения M .

Теперь получим формулу, объясняющую, как соотносятся условие гладкого склеивания (6.44) и оптимальность V(S, .). Пусть

λ (S, L) = Е [ехр{− rТL} ; h*].

Из равенства (6.37) или просто из интерпретации следует, что для

0 <х <S − L,

λ (S, L) = λ (S, L + х) λ	(L + х, L).	(6.46)
Дифференцируя равенство (6.46) по х и подставляя х = 0, получаем
0 = λ L(S, L) + λ (S, L) λ S(L, L).		(6.47)
Теперь пусть
π(х) = (K −	х)+	(6.48)

обозначает функцию платежа. Тогда формула (6.35) приобретает вид

V(S, L) = π(L) λ (S, L).	(6.49)
Дифференцирование (6.49) по L и применение (6.47) дают
VL (S, L) = πL (L) λ (S, L) + π(L) λ L (S, L) = πL (L) λ (S, L) −
– π(L) λ (S, L) λ S (L, L) = λ (S, L) {πL (L) − VS (L, L)} .	(6.50)

Формула (6.50) может также быть получена с помощью равенства (6.38). Так как λ (S, L) является положительной, VL (S, L) = 0, если и только если

VS (L, L) = πL (L).

(6.51)

Выражение (6.50) явно показывает, что граница оптимального

~

исполнения L не зависит от текущей цены акции S. Заметим, что равенства (6.49), (6.50) и (6.51) имеют место и для функций платежей π(.) более общих, чем функция (6.48).

Аналогично можно получить формулу

270