ГЛАВА

3

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

МАРТИНГАЛЫ И АРБИТРАЖ НА РЫНКАХ ЦЕННЫХ БУМАГ

§1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Вглаве излагаются некоторые основополагающие проблемы, которые возникают в связи с арбитражной теорией определения цен финансовых производных (ФП). В этой теории, начало которой было положено Ф. Блэком и М. Шоулсом (Black, Scholes, 1973) и Р. Мертоном (Merton, 1973), принимается заданной динамика цен некоторых ценных бумаг (securities) типа акций (stocks) и облигаций (bonds). На их основе с помощью арбитражных рассуждений предлагается определять цены других зависимых выплат (contingent claims), т. е. ФП типа опционов (options) на акции. Это неявно предполагает, что существует единственная цена за конкретную ФП, которая вместе с заданными ценами на ценные бумаги (ЦБ) исключает возможность получения арбитражной прибыли.

Вглаве содержится достаточно общая теория определения цен ФП по этому способу. Вначале (см. § 2) рассматривается общая теория арбитража в стохастической экономике с двумя датами, за которые принимаются t = 0 и t = T. Задается вероятностное пространство

(Ω , F, P), где элементы ω Ω представляют собой состояния среды. Исходная вероятностная мера P при необходимости может интерпретироваться как множество субъективных оценок вероятностей относительно состояний среды. Считается, что имеется только одно потребление товаров, и рыночные агенты заинтересованы в определенном детерминированном потреблении в дату t = 0 и заявляют случайное потребление в дату t = T. Таким образом, мы будем рассматривать в основном пары потребления вида (r, x) R × X, где R − множество вещественных чисел и X − пространство случайных величин на (Ω , F). Здесь пара (r, x) представляет собой r единиц потребления в дату t = 0 и x(ω ) единиц потребления в дату T в состоянии ω .

Рыночные агенты определяются своими предпочтениями в R × X, которые интерпретируются как предпочтения среди векторов чистой

116

торговли (net trade vectors). Более явно предпочтения агентов задаются полным и транзитивным бинарным отношением ! на R × X, которое считается выпуклым, непрерывным и строго возрастающим в смысле, который будет уточнен.

Система цен (price system) для такой экономики определяется как пара (M, π ), где М − подпространство X и π − линейный функционал на М. Интерпретацией является то, что агенты могут купить любую пару потребления (r, m) R × М по цене r + π (m) (в единицах потребления на дату t = 0). Задавая М как подпространство и π как линейный функционал, принимаем отсутствие вязкости рынка (frictionless market), т. е. отсутствие каких-либо операционных затрат (transaction costs) и ограничений на короткие продажи (short sales). Система цен (М, π ) считается жизнеспособной (viable), если существует агент (представленный отношением предпочтения ! ) и пара потребления (r*, m*) R × М, удовлетворяющие условиям

r* + π (m*) ≤	0 и (r*, m*) ! (r, m) для всех (r, m) R × М
	таких, что r + π (m) ≤ 0.	(3.1)
Так как (r, m) −	вектор чистой торговли, условие r + π (m) ≤	0 яв-

ляется ограничением бюджета агента. Таким образом, соотношение (3.1) есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы система цен (M, π ) была жизнеспособной как модель экономического равнове-

сия (model of an economic equilibrium). Эквивалентное условие уста-

новлено в теореме 3.1. Система цен (M, π ) будет жизнеспособной, если и только если существует непрерывное и строго положительное расширение π на все X.

При заданной жизнеспособной системе цен (M, π ) и ФП x X какую цену потребления в дату t = 0 можно было бы назначить для x? Если x продается за цену p, агенты могли бы купить любую ФП вида т + λ x по цене π (m) + λ p (для т М и вещественной λ ). Поэтому естественно говорить, что цена p для ФП x совместима (is consistent) с (M, π ), если эта расширенная система цен жизнеспособна. Говорят,

что цена ФП x определяется через арбитраж (priced by arbitrage),

если имеется единственная цена за x, которая совместима с (M, π ): в этом случае такая совместимая единственная цена называется арбитражной стоимостью (arbitrage value) x. Как следствие теоремы 3.1, цена x будет определяться через арбитраж, если и только если она

117

имеет одинаковую стоимость при всяком непрерывном и строго положительном линейном расширении на все X, в таком случае эта общая стоимость является арбитражной стоимостью ФП.

В § 3 эти общие концепции применяются к моделям многопериодного рынка ЦБ. При заданных (Ω , F, P) и T модель рынка ценных бумаг (securities market model) состоит из множества торговых дат

(trading dates) T [0, T], информационной структуры (information structure), представленной увеличивающимся семейством под-σ - алгебр, и векторного стохастического процесса Z = {Z (t); t T}, который определяет цены конечного множества торгуемых ценных бумаг для каждой даты t T и каждого состояния ω Ω . Предположим, что одна из этих ЦБ является безрисковой облигацией и что ставка доходности облигации равна нулю. (Это не влечет за собой какойлибо значительной потери общности, как показано ниже в § 7.)

Далее будет рассмотрено, как агенты могут использовать торгуемые ценные бумаги, чтобы изменять потребление между нулевой датой и T. Мы потребуем (несколько произвольно), чтобы агенты поль-

зовались только «простыми торговыми стратегиями» (simple trading strategies). Ключевое ограничение – это то, что агент может изменять содержание своего портфеля ЦБ только в конечном числе N предварительно определенных торговых дат, хотя N может быть произвольно большим (если T неограниченно). Простая торговая стратегия называется самофинансирующей (self-financing), если стоимость любой покупки ЦБ после нулевой даты точно равна доходу, произведенному одновременной продажей некоторых других ценных бумаг, и если любая продажа аналогично согласована с некоторой покупкой. Поскольку эти торговые стратегии не получают и не производят финансирования между нулевой датой и T, они представляют средства, доступные агентам, для изменения потребления между нулевой датой и T, а также порождают пространство М неявно торгуемых ФП и цен π на эти ФП, к которым могут применяться результаты из § 2.

Таким образом, модель рынка ЦБ жизнеспособна, если соответствующая система цен (M, π ) жизнеспособна, и цена ФП определяется через арбитраж из жизнеспособной модели рынка ценных бумаг, если ее цена определяется из соответствующей (M, π ), и т. д.

Для вышеописанной модели рынка ЦБ эквивалентная мартин-

гальная мера (equivalent martingale measure) является вероятностной мерой Q на (Ω , F), имеющей три свойства. Первое − формальное. Второе − это то, что P и Q эквивалентные, когда Q(B) > 0, если и толь-

118

ко если P(B) > 0. Третье свойство заключается в том, что процесс цен Z становится (векторным) мартингалом, когда P заменяется на Q. Таким образом, переход от P к Q представляет собой перераспределение вероятностной массы, которое заставляет каждую ЦБ зарабатывать (в среднем) по безрисковой нулевой ставке без изменения множества событий, имеющих положительную вероятность. Пусть (M, π ) будет системой цен, соответствующей заданной модели рынка ЦБ. Теорема 3.2 устанавливает взаимно однозначное соответствие между эквивалентной мартингальной мерой Q и теми непрерывными и строго положительными линейными функционалами, которые расширяют π на все X. Это соответствие задается соотношениями

ψ (х) = E*(x) для x X и Q(B) = ψ (1B) для B F,

где E* − оператор математического ожидания по мере Q.

Объединяя это с более ранними результатами, приходим к следующему. Модель рынка ЦБ жизнеспособна, если и только если существует, по крайней мере, одна эквивалентная мартингальная мера для нее. Для жизнеспособной модели рынка ЦБ цена ФП x определяется через арбитраж, если и только если x имеет одинаковое математическое ожидание по каждой эквивалентной мартингальной мере. В таком случае арбитражная стоимость x является общим математическим ожиданием.

Чтобы проиллюстрировать эти рассуждения, применим их в § 4 к случаю, когда Ω и T будут конечны. В § 5 будет рассмотрен гораздо более сложный случай, когда T = [0, T] и Z – векторный диффузионный процесс. При умеренных предположениях регулярности (теорема 3.3) существует единственная эквивалентная мартингальная мера. Таким образом, модель жизнеспособна и цена каждой ФП (в зависимости от прошлого развития цены произвольным способом) определяется через арбитраж. Преобразование к эквивалентной мартингальной мере выполняется просто обнулением дрейфа первоначальной модели. Таким образом, все арбитражные стоимости, в принципе, могут быть вычислены.

На теорию, развитую в § 3, сильно влияет принятое ограничение классом простых торговых стратегий. Это ограничение сделано по техническим причинам и не может быть полностью оправдано экономическими соображениями. В § 6 обсудим различные альтернативные подходы, которые могли бы быть приняты, и проиллюстрируем ло-

119