(S − mах[С, K])+ = S I (S > С и S > K) −

− [СI (S > С > K) + KI (S > K > С)].

В заключение покажем, что американский опцион-колл на максимум из n акций, не выплачивающих дивиденды, лучше не исполнять до их даты погашения. Следовательно, стоимость американского опциона определяется следствием 6.4 при k = 1. Доказательство достигается посредством двойного применения неравенства Иенсена:

Е[ e− rt (mах{ Sj (t)} − K)+; h*] ≥ (Е [ e− rt mах{ Sj (t)} ; h*] − e− rt K)+ ≥ ≥ (mах Е [ e− rt { Sj (t)} ; h*] − e− rt K)+ =

= (mах { Sj (0)} − e− rt K)+ ≥ (mах { Sj (0)} − K)+ .

Для t > 0 и r > 0 последнее неравенство является строгим, если в текущий момент опцион в деньгах, то есть если mах { Sj (0)} > K.

§ 5. ЛОГАРИФМЫ ЦЕН АКЦИЙ КАК МНОГОМЕРНЫЙ ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС

В финансовой литературе обычно предполагается, что цены лежащих в основе активов порождаются геометрическими броуновскими движениями. Другими словами, предполагается, что { Х(t)} является n-мерным винеровским процессом. Теперь покажем, что многие результаты по опционам и финансовым производным, имеющиеся в литературе, непосредственно следуют из теоремы 6.1 (§ 4) и ее следствий.

Пусть µ = (µ 1, µ 2,…, µ n)Т и V = (σ ij) обозначают соответственно вектор средних и ковариационную матрицу { Х (1)} . Предполагается, что V невырожденная. Для t > 0 плотность вероятностей { Х(t)}

f (x, t) =	1					exp[−	(x − tµ )T (2tV )− 1(x −	tµ )], х	Rn.
	(2π)n 2		tV		1 2
Можно показать, что
	М(z, t) = ехр{ t(zТµ + zТVz/2)} , z							Rn.
Таким образом, для h Rn							имеет место равенство
М(z, t; h) = М(z + h, t) / М(h, t)							= ехр{ t(zТ( + Vh) + zТVz/2)} ,		z Rn,

257

которое показывает, что преобразование Эсшера с параметром h n- мерного винеровского процесса является опять n-мерным винеровским процессом с модифицированным вектором средних за единицу

времени µ + Vh	и прежней ковариационной матрицей на единицу
времени V . Из уравнения (6.5) следует, что для j = 1, 2,…, n
	r = 1jТ(µ + Vh*) + 1jТV 1j/2,
откуда мы получаем
µ + Vh* = (r − σ 11/2, r − σ 22/2, … , r −		σ	nn/2)Т.	(6.23)
Следовательно, вектор средних за единицу времени модифици-
рованного процесса с параметром h* + 1j
	µ + V(h* + 1j) =
= (r + σ 1j −	σ 11/2, r + σ 2j − σ 22/2, … , r + σ	nj −	σ nn/2)Т.	(6.24)

Заметим, что правые части равенств (6.23) и (6.24) не содержат какихлибо элементов вектора µ .

Чтобы получить основной результат статьи Маргрейба (1978), вычислим математическое ожидание

Е( e− rτ [S1(τ ) − S2(τ )]+; h*),

которое по следствию 6.1 равно
S1(0) рrоb { S1(τ ) > S2(τ ); h* + 11} −			S2(0) рrоb { S1(τ ) >					S2(τ ); h* + 12} =
= S1(0) рrоb { Y < ξ ; h* + 11}			− S2(0) рrоb { Y <ξ ; h* + 12} ,
где Y = Х2(τ ) − Х1(τ ) и ξ = ln[S1(0)/S2(0)].
Случайная величина	Y является нормальной по отношению к
любому преобразованию Эсшера:
Е(Y; h* + 11) = [(r + σ		21 − σ	22/2) −		(r + σ	11 −	σ	11/2)] τ	=
= (−	σ	11/2 + σ	21 −	σ	22/2) τ
и
Е(Y; h* + 12) = [(r + σ		22 − σ	22/2) −		(r + σ	12 −	σ	11/2)] τ	=
= (σ		11/2 + σ	12 + σ	22/2) τ .

Дисперсия Y не зависит от вектора параметров; она равна

(σ 11 − 2σ 12 + σ 22) τ .

258

Введя для краткости

v2 = σ 11 − 2σ 12 + σ 22

(дисперсию за единицу времени процесса { Х2(τ ) − Х1(τ )} ), получим

Е(Y; h* + 11) = − v2τ /2, Е(Y; h* + 12) = − v2τ /2, vаr(Y) = v2τ .

Таким образом, стоимость (в момент времени 0) опциона на обмен S2(τ ) на S1(τ ) в момент времени τ равна

S	(0) Φ		ξ + v2τ	2		−	S		(0) Φ		ξ − v2τ	2		,	(6.25)
								2
1			v τ								v τ

которая и является формулой Маргрейба.

Немного удивительно, что формула (6.25) не зависит от безрис-

ковой процентной ставки r. Заметим также, что при S2 (t) = Ker(t − τ ) формула (6.25) превращается в формулу Блэка – Шоулса (6.12).

Теперь подсчитаем стоимость (в момент времени 0) опциона для получения большего из S1(τ ) и S2(τ ) в момент времени τ . Из равенства

mах [S1(τ ), S2(τ )] = S2(τ ) + [S1(τ ) − S2(τ )]+

получаем стоимость опциона в виде

S2 (0) + e− rτ Е ([S1(τ ) − S2(τ )]+; h*),

что с учетом выражения (6.25) равно

S

(0) Φ

ξ + v2τ

2

S

(0)

−

Φ

ξ − v2τ 2

=

+

2

1

1

v

τ

v

τ

=

S

(0) Φ

ξ + v

2τ 2

+

S

(0) Φ

−

ξ + v2τ 2

=

2

1

v

τ

v

τ

=

S

(0)

Φ

ln[S

(0) S

2

(0) ]+

v2τ

2

+

1

1

v τ

ln[S

2

(0)

S

(0) ]+

v2τ

2

+

S

2

(0) Φ

1

.

(6.26)

v

τ

259

Этот результат можно также получить с помощью применения след- ствия 6.3 при n = 2. Снова примечательно, что выражение (6.26) не зависит от r.

Аналогичным образом из следствия 6.4 также можно получить результаты Шталца для цены европейского опциона-колл на минимум из двух рисковых активов с известными ценой и датой исполнения и Джонсона для цены европейских опционов на максимум и минимум из n рисковых активов с известной ценой исполнения.

§ 6. ЦЕНЫ АКТИВОВ, ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫ

Определение цены американских опционов с конечной датой истечения является исследованной проблемой в области финансовой экономики. Основную трудность составляет определение оптимальной границы исполнения. Здесь начнем изучать проблему определения цены американского опциона без даты истечения и теоремы опционного выбора остановки с помощью метода преобразований Эсшера. Эта проблема решаема, поскольку оптимальная граница исполнения бессрочного американского опциона не изменяется по отношению к временной переменной. Мы получим простую, но достаточно общую формулу для цены бессрочного американского опциона-пут на акцию, уменьшение которой не происходит скачкообразно. Аналогично получаем формулу для цены бессрочного американского оп- циона-колл на акцию, увеличение которой не происходит скачкообразно. В последнем параграфе главы мы представим семейство стохастических процессов для моделирования таких изменений цены акции. Это семейство включает винеровский процесс, гамма-процесс и обратный гауссовский процесс, а также комбинацию таких процессов.

В классических предположениях о том, что цена акции является геометрическим броуновским движением, проанализируем общий бессрочный американский зависимый платеж и получим формулы для бессрочного опциона и русского опциона. Мартингальный подход избегает использования дифференциальных уравнений. Мы также объясним соотношение между условиями гладкого склеивания Самюэльсона и условием оптимальности первого порядка.

260

M (h, t)

Нейтральное к риску преобразование Эсшера

Для t ≥ 0 символ S(t) обозначает цену не выплачивающей дивиденды акции или ценной бумаги в момент t. Предположим, что имеется стохастический процесс { Х(t), t ≥ 0} , Х(0) = 0, со стационарными и независимыми приращениями такой, что

S (t) = S(0) ехр { Х(t)} ,

t ≥ 0.

Для каждого t случайная величина Х(t), которую можно интерпретировать как непрерывно конвертируемую ставку доходности по t периодам, имеет неограниченно делимое распределение. Пусть ее функция распределения

F(х, t) = рrоb [Х(t) ≤ х],

а ее ПФМ

М(z, t) = Е [ехр{ zХ(t)} ]

Путем предположения, что М(z, t) является непрерывной в точке t = 0,

можно доказать, что

М(z, t) = [М(z, 1)]t.

Преобразование Эсшера случайной величины – уже установившееся понятие, а здесь рассмотрим преобразование Эсшера случайного процесса, которое удовлетворяет равенству (6.2). Преобразование Эсшера с параметром h случайного процесса { Х(t), t ≥ 0} снова является процессом со стационарными и независимыми приращениями; модифицированное распределение Х(t) теперь приобретает вид

		x
	F(x, t; h) = prob[X (t) ≤ x; h ]=	∫ ehydF(y, t)
		− ∞
		∞
		∫ ehydF(y, t)
		− ∞

		1	x
	=		∫ ehydF(y, t) .
		M (h, t)
			− ∞

M (z, t; h) = M (z + h, t) .

Из (6.2) следует, что
	t
М(z, t; h) = M (z + h,t)		= [М(z, 1; h)] t.
M (h, t)

261

Поскольку экспоненциальная функция положительная, модифицированная вероятностная мера является эквивалентной по отношению к первоначальной вероятностной мере, т. е. обе вероятностные меры имеют одни и те же множества меры нуль. Соответствующий параметр h = h* определяется согласно принципу нейтрального к риску определения стоимости (см. гл. 2) или, используя терминологию гл. 3 и гл. 4, мы ищем h = h*, чтобы получить эквивалентную мартингальную меру.

Предположим, что безрисковая процентная ставка является постоянной и обозначается символом r, а также, что рынок является невязким и торговля непрерывная. Не имеется налогов, издержек на сделки и ограничений на займы или короткие продажи. Все ценные бумаги совершенно делимы. Далее предположим, что акция выплачивает непрерывный поток дивидендов с нормой, пропорциональной ее цене, т. е. имеется неотрицательная константа ρ такая, что дивиденд, выплачиваемый между моментами времени t и t + dt, равен S (t) ρ dt. Ищем параметр h = h* так, чтобы процесс { S(t) ехр{− (r − ρ ) t} , t ≥ 0} являлся мартингалом по отношению к вероятностной мере, соответствующей h*. В частности,

S(0) = Е [S(t) ехр{− (r − ρ ) t} ; h*];

(6.27)

отсюда по формулам (6.1) и (6.2)

ехр{ (r − ρ ) t} = Е [ехр{ Х(t)} ; h*] = [М(1, 1; h*) ] t,

или

ln [М(1, 1; h*)] = (r − ρ ).

(6.28)

Назовем преобразование Эсшера с параметром h* нейтральным к риску преобразованием Эсшера, а соответствующую эквивалентную мартингальную меру нейтральной к риску мерой Эсшера. Цена фи-

нансовой производной, чьи платежи зависят от { S(t)} называется дисконтированной ожидаемой стоимостью, где математическое ожидание вычисляется по нейтральной к риску мере Эсшера.

При некоторых условиях регулярности уравнение (6.28) имеет единственное решение. Чтобы показать это, рассмотрим функцию

G(h) = ln [М(1, 1; h)] = ln [М(1 + h, 1)] − ln [М(h, 1)].

262

Формула

dhd E[X (1); h ]= var[X (1); h ]

показывает, что Е [Х(1); h] – возрастающая функция h. Отсюда

dhd g(h) = E[X(1) ; 1+ h ]− E[X (1); h ]

является положительной, показывая, что g (h) – возрастающая функция. Это и обеспечивает единственность решения уравнения (6.28), которым является

g(h) = r − ρ .

Чтобы рассмотреть проблему существование решения, обозначим через М ≤ + ∞ и т ≥ − ∞ соответственно правую и левую конечные точки интервала возможных значений величины Х(1). Предположим, что т + ρ <r <М + ρ , или т <r − ρ <М, поскольку в противном случае был бы возможен арбитраж. Пусть (а, b) обозначает интервал значений h, для которого существует g(h). При некоторых условиях регулярности

lim g(h) = m,	lim g(h) = M ,
h↓ a	h↑ b

и в этом случае уравнение (6.27) имеет решение. Следует заметить, что хотя нейтральная к риску мера Эсшера является единственной, могут быть и другие эквивалентные мартингальные меры (например, в работе F. Delbaen, J. Haezendonck (1989) изучаются эквивалентные меры составных пуассоновских процессов).

Цена финансовой производной принимается как математическое ожидание ее дисконтированных выплат по нейтральной к риску мере Эсшера. Например, рассмотрим европейский опцион-колл на акцию с ценой исполнения K и датой истечения t, t > 0. Пусть I(.) обозначает индикаторную функцию и k = ln[K/S(0)]. Цена опциона в момент 0

e− rt Е [(S(t) − K)I(S (t) > K) ; h*] =

= e− rt Е [S(t)I(S (t) > K); h*] − e− rt KЕ [I (S (t) > K); h*]. (6.29)

Математическое ожидание во втором слагаемом правой части равенства (6.29) равно

рrоb [S (t) > K; h*] = 1 − F (k , t; h*).

263

Чтобы оценить математическое ожидание в первом слагаемом правой части (6.29), заметим, что для каждой измеримой функции g(.)

	E[g(S(t));h] =	E[g(S(t))ehX (t) ]	=	E[g(S(t))S(t)h ]	.
		E[ehX (t) ]		E[S(t)h ]

Используя эту формулу, можно доказать следующий результат. Лемма 6.1. Пусть h и k являются двумя вещественными чис-

лами. Предположим, что преобразования Эсшера с параметрами h и h + k существуют. Тогда для каждой измеримой функции ψ (.)

Е [S (t)k ψ (S(t)); h] = Е [S (t)k; h] × Е [ψ (S(t)); h + k].

Применяя лемму при k = 1, ψ (х) = I (х > K) и h = h* и представление (6.27), получим

Е[S(t) I(S(t) > K) ; h*] = Е[S(t) ; h*] Е[I(S(t) > K) ; h*+ 1] = = S(0) e(r− ρ )t рrоb [S(t) > K ; h* + 1].

Таким образом, цена европейского опциона-колл равна

S(0) e− ρ t [1 − F (k, t; h* + 1)] − e− rt K [1 − F(k, t; h*)]. (6.30)

Если { Х(t)} является винеровским процессом с дисперсией за единицу времени σ 2, тогда согласно формуле (6.30)

	−	k + (r − ρ + σ	2 2)t	−		−	k + (r −	ρ − σ	2 2)t	, (6.31)
S(0) e− ρ tΦ					e− rτ KΦ
		σ t					σ	t

где Ф обозначает функцию стандартного нормального распределения. При ρ = 0 этот результат становится классической формулой Блэка – Шоулса (6.12) для определения цены опциона. Формула (6.31)

впервые другим способом была получена С. Смитом (1976).

Теперь предположим, что акция выплачивает дивиденды с постоянной пропорциональной нормой ρ . Если все дивиденды реинвестируются в акции, тогда каждая доля акции в момент времени 0 вы-

растает до eρ t долей в момент времени	t. Это дает следующую ин-
терпретацию для формулы (6.27):
S (0) = Е [ехр{− rt} S (t) ехр {ρ	t} ; h*].

264