WМ (S, М) = µ (S, М) {πМ (М) − WS (М, М)} , |
(6.52) |
где
µ(S, М) = Е [ехр{− rТМ} ; h*].
§8. ЛОГАРИФМ ЦЕНЫ АКЦИИ КАК ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Случайный процесс со стационарными и независимыми приращениями и выборочными траекториями, которые не могут скачкообразно увеличиваться и уменьшаться (т. е. непрерывны), является винеровским процессом. Предположим, что { Х(t), t ≥ 0} – винеровский процесс; тогда S(t) становится классической моделью геометрического броуновского движения для изменений цены акции (см. Samuelson, 1965). Пусть µ и σ 2 обозначают соответственно среднее и дисперсию процесса Х (t) за единицу времени. В терминах стохастических дифференциальных уравнений предположением является
dS(t) |
|
|
|
σ 2 |
|
|
|
= |
|
µ + |
|
dt + σ dW (t), |
t ≥ 0, |
|
|
S(t) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
где { W(t), t ≥ 0} обозначает стандартный винеровский процесс. Так как
М(z, t) = ехр{ (µ z + σ 2z2/2) t} ,
из равенства (6.4) следует, что
ln [М(z, t; h)] = [(µ + hσ 2) z + ½ σ 2z2] t.
Это показывает, что преобразованный процесс имеет модифицированное среднее за единицу времени µ + hσ 2 и прежнюю дисперсию за единицу времени σ 2. Из представления (6.28) мы получаем
(µ + h*σ 2) + σ 2/2 = r − ρ .
Таким образом, для определения стоимости ФП используем винеровский процесс со средним за единицу времени
µ + h*σ 2 = r − ρ − σ 2/2.
Из равенства (6.36) получаем
или |
|
(r − |
ρ |
− |
σ 2/2)θ |
+ σ |
2θ 2/2 = r, |
|
|
|
|
σ 2θ |
2 + (2r − 2ρ |
− |
σ |
2)θ |
− |
2r = 0. |
|
(6.53) |
|
|
|
Корнями этого квадратного уравнения являются |
|
|
|
θ |
= − |
(2r − |
2ρ |
− |
σ |
2)− |
(2r − |
2ρ |
− |
σ |
2) 2 + |
8σ |
2r |
(6.54) |
и |
|
|
|
|
|
|
2σ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2r − |
|
|
|
2)+ |
(2r − |
|
|
|
2) 2 + |
|
|
|
θ |
= − |
2ρ |
− |
σ |
2ρ |
− |
σ |
8σ |
2r . |
(6.55) |
|
|
|
|
|
|
|
2σ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Формула (6.55) получена Х. МакКином (1965), который изучал определение цен опционов, хотя, конечно, он не решал задачу в терминах меры, нейтральной к риску. При нулевой доходности дивидендов (ρ = 0) формула (6.54) превращается в равенство θ 0 = − 2r / σ 2, которое впервые получено Мертоном (1973) методом МакКина, как стоимость бессрочного американского опциона-пут.
В финансовой анализе формулы для определения цены бессрочных американских опционов выводятся следующим образом. Пусть D обозначает стоимость ФП. Из рассуждений по хеджированию, впервые данных Блэком и Шоулсом (1973), следует, что D удовлетворяет уравнению в частных производных
σ 2S 2DSS/2 + (r − ρ ) S DS − r D + Dt = 0 |
(6.56) |
при наличии соответствующих краевых условий. В случае бессрочного опциона Dt = 0 и уравнение (6.56) становится однородным линейным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка по S
σ 2S 2DSS/2 + (r − ρ ) S DS − |
r D = 0. |
(6.57) |
Функция D = S θ |
является решением (6.57), если показатель θ |
удовлетворяет квадратичному уравнению |
|
|
σ 2θ (θ |
− 1)/2 + (r − ρ )θ − |
r = 0, |
|
которое является тем же, что и уравнение (6.53). Тогда общее решение уравнения (6.57) имеет вид
D = c S θ 0 |
+ |
c S θ 1 |
, |
(6.58) |
0 |
|
1 |
|
|
272 |
|
|
|
где с0 и с1 не зависят от S.
Здесь мы используем мартингальный подход и избегаем дифференциальных уравнений. Дополнительная интерпретация решения (6.58) дается ниже (см. формулу (6.64)).
Бессрочные зависимые платежи
Рассмотрим определение цены бессрочных зависимых исков с U- образными функциями платежей, такими как
π(х) = а1(K1 − х)+ + а2(х − K2)+ .
Для а1 = а2 = 1 зависимый платеж называется бессрочным американским стрэнглом, если K1 < K2, и бессрочным американским стрэддлом, если K1 = K2. Предположение о процессе { Х(t), t ≥ 0} остается прежним, т. е. он остается винеровским процессом.
Пусть S = S (0) обозначает текущую цену акции. Рассмотрим стратегии исполнения, связанные со временами остановки вида
ТL, М = inf { t | S(t) = L или S (t) = М} ,
где 0 ≤ L ≤ S ≤ М.
Стоимость зависимого платежа, соответствующего такой стратегии
|
V(S, L, М) = Е [π(S (ТL, М)) ехр{− rТL, М} ; h*]. |
|
Пусть |
(S, L, М) = Е [I(S (ТL, М) = L) ехр{− |
rТL, М} ; h*] |
|
λ |
|
и |
(S, L, М) = Е [I(S (ТL, М) = М) ехр{− |
rТL, М} ; h*]. |
|
µ |
|
Тогда |
|
|
|
V (S, L, М) = π(L) λ (S, L, М) + π(М) µ (S, L, М). |
(6.59) |
Процесс { ехр(− rt + θ Х(t))} является ограниченным мартингалом (по отношению к мере, нейтральной к риску) для t ≤ ТL, М, когда θ = θ 0 или θ = θ 1 (корни уравнения (6.53)). Применение теоремы опционного выбора к этим двум мартингалам дает соответственно уравнения
λ (S, L, М) (L/S) θ 0 + µ (S, L, М) (L/S) θ 0 = 1
и
λ (S, L, М) (L/S) θ 1 + µ (S, L, М) (М/S) θ 1 = 1,
решая которые, мы получаем |
|
|
|
|
λ (S, L, М) = |
M θ 1 S θ |
0 |
− M θ 0 S θ 1 |
и µ (S, L, М) = |
S θ 1 Lθ 0 |
− S θ 0 Lθ 1 |
. |
M θ 1 Lθ |
|
− M θ 0 Lθ 1 |
M θ 1 Lθ 0 |
|
|
0 |
|
− M θ 0 Lθ 1 |
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
lim λ (S, L, M) = |
(S/L) θ 0 = (L/S) − θ 0 , |
|
|
|
M → ∞ |
|
|
|
|
|
|
которое подтверждает равенство (6.37), и
lim (S, L, M) = (S/М) θ 1 ,
L↓ 0
которое подтверждает формулу (6.42).
Оставшейся задачей является оптимизация платежа V(S, L, М), |
рассматриваемой как функция границ исполнения L и |
М. Условиями |
|
|
~ |
~ |
оптимальности первого порядка являются равенства VL (S, L , |
M ) = 0 |
~ |
~ |
|
|
и VМ (S, L |
, M ) = 0. |
|
|
Эти условия не зависят от S (пока S находится между L и М). Сначала этот факт кажется удивительным, но он следует немедленно из формул
VL(S, L, М) = λ |
(S, L, М) {πL (L) − |
VS (L, L, М)} |
(6.60) |
и |
|
|
|
VМ (S, L, М) = µ |
(S, L, М) {πМ (М) − |
VS (М, L, М)} , |
(6.61) |
которые обобщают соответственно формулы (6.50) и (6.52). Таким образом, условия первого порядка приобретают вид
|
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
и |
VS ( L |
, L |
, M ) = πL ( L ) |
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
VS ( M , L , M ) = πМ ( M ), |
что является условиями гладкого склеивания. Оптимальные границы |
исполнения |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
L |
и |
M определяются путем совместного решения |
|
|
|
~ |
≤ |
S ≤ |
~ |
|
|
уравнений (6.62) и (6.63). Для L |
M цена бессрочного зависимо- |
го платежа |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
V(S, L |
, M ) = π( L ) λ (S, |
L |
, M ) + π( M ) µ |
(S, L |
, M ) = |
= (S |
θ 0 |
θ 1 |
|
~θ |
L |
0 |
|
S |
|
~ |
θ 0 |
|
) |
|
|
|
|
M |
|
~θ 1 |
|
− 1 |
~ |
|
|
L |
θ 1 |
|
|
π(L) |
|
(6.64) |
~ |
|
|
~ |
. |
M |
|
|
|
π(M) |
|
Чтобы вывести уравнение (6.60), рассмотрим равенства
λ (S, L, М) = λ (S, L + х, М) λ (L + х, L, М)
и
µ (S, L, М) = µ (S, L + х, М) + λ (S, L + х, М) µ (L + х, L, М), |
|
где 0 <х <S − L. |
|
|
Дифференцирование этих выражений по х и подстановка |
х = 0 |
дает соответственно |
|
|
0 = λ L (S, L, М) + λ |
(S, L, М) λ S (L, L, М) |
(6.65) |
и |
|
|
0 = µ L (S, L, М) + λ |
(S, L, М) µ S (L, L, М). |
(6.66) |
Дифференцируя равенство (6.59) |
по L и применяя соотношения |
(6.65) и (6.66), получаем |
|
|
VL (S, L, М) = πL (L) λ (S, L, М) + π(L) λ L (S, L, М) + π(М) µ L (S, L, М) = = λ (S, L, М) {πL (L) − π(L) λ S (L, L, М) − π(М) µ S (L, L, М)} =
= λ (S, L, М) {πL (L) − VS (L, L, М)} ,
что совпадает с уравнением (6.60). Вывод уравнения (6.61) аналогичен. Для общих функций платежей может быть несколько непересе-
кающихся оптимальных интервалов неисполнения.
Бессрочный опцион “down-and-out”
Рассмотрим определение цены бессрочного американского оп- циона-колл «down-and-out» с ценой исполнения K. Опционный контракт становится нулевым и неисполняемым, если цена акции уменьшается до нокаутной цены (knock-out price) L, L <K. Когда это встречается, дается скидка или возмещение суммой R. Для М ≥ K из равенства (6.59) следует, что стоимость стратегии для исполнения опционаколл, когда цена опциона впервые увеличивается до М, равна
V(S, L, М) = R λ (S, L, М) + (М − K) µ (S, L, М), L ≤ S ≤ М. (6.67)
Заметим, что нижняя граница исполнения L фиксирована и задачей является максимизация V как функции верхней границы исполнения М.
275
