вушки, которых следует избегать, если моделировать непосредственно непрерывную торговлю (или, иначе, расширять класс торговых стратегий, допустимых для агентов).

Обобщения изложенной теории обсуждаются в § 7, где указывается, как применять рассмотренные результаты, когда не имеется безрисковой ЦБ с нулевой процентной ставкой, ФП могут оплачиваться в многократные и/или изменяющиеся даты и желательно определить цену опциона (такого как американский пут), когда владелец имеет некоторый свободный выбор относительно времени и/или размера выплаты. Обсуждается также технический вопрос относительно топологии, в которой предпочтения агентов предполагаются непрерывными.

§ 2. ЖИЗНЕСПОСОБНОСТЬ И АРБИТРАЖ

Как сказано в § 1, вероятностное пространство (Ω , F, P) и две даты (t = 0 и t = T) являются заданными. В качестве пространства ФП X, погашаемых в дату T, возьмем пространство F-измеримых интегрируемых в квадрате случайных величин, т. е. X = L2(Ω , F, P). Это ограничение об интегрируемости в квадрате ФП сделано для наглядности и математической простоты. Оно не является необходимым для большинства выводов, обобщение которых рассмотрено в § 7.

Агенты характеризуются своими предпочтениями в пространстве чистых сделок R × X. Такие предпочтения представлены математически полными и транзитивными бинарными отношениями ! на R × X. (Обычным способом ! ! обозначается строгое предпочтение, определенное из ! .) Предпочтения агентов в этой экономике принимаются, чтобы удовлетворить три требования. Во-первых, они выпуклы.

––––––––––––––––––––––––––––––
Для всех (r, x) R × X, множество
{(r', x') R × X : (r', x') ! (r, x)}	(3.2)

является выпуклым.

––––––––––––––––––––––––––––––

Во-вторых, они непрерывны в следующем смысле. Пусть τ будет топологией произведения на R × X, полученной из евклидовой топологии на R и топологии с L2 нормой на X.

120

––––––––––––––––––––––––––––––
Для всех (r, x)	R × X множества
{(r', x') R × X: (r', x') ! (r, x)}
и {(r', x') R ×	X: (r, x) ! (r', x')}
являются τ	замкнутыми.	(3.3)

––––––––––––––––––––––––––––––

В-третьих, они строго возрастают в следующем смысле. Пусть X+ будет множеством ФП x, для которых P(x ≥ 0) = 1 и P(x > 0) > 0.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Для всех (r, x) R ×	X, r' (0, ∞ ) и x' X+
(r + r', x) ! ! (r, x)	и (r, x + x') ! ! (r, x).	(3.4)

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Другими словами, если мы начинаем с чистой торговли (r, x) и добавляем к этому или положительную сумму потребления в нулевой момент времени, или ФП x X+, которая не уменьшает потребление в момент времени T, но может увеличивать его, тогда результирующий вектор чистых сделок является строго предпочтительным по отношению к исходному. Множество полных и транзитивных бинарных отношений ! на R × X, которые удовлетворяют условиям (3.2), (3.3) и (3.4), обозначается через A. Таким образом, А представляет класс по-

тенциальных агентов.

Для того чтобы проиллюстрировать роль вероятностной меры P в разрабатываемой теории, рассмотрим следующий частный случай. Предположим, что существует вероятностная мера Q на (Ω , F) и

функция u: R ×		R → R такая, что ! задается соотношением
(r, x)	!	(r', x'), если ∫u(r, x(ω	′ ′
			)) Q(dω ) ≥ ∫u(r , x (ω )) Q(dω ).

(Это предполагает, что u и Q достаточно хорошо ведут себя, поэтому все интегралы приведенного вида существуют и конечны.) Для того чтобы ! принадлежало А, достаточно, чтобы u была вогнутой, строго возрастающей и возрастала по абсолютной величине, но не сильнее, чем, как квадрат, чтобы Q и P имели одинаковые пустые множества и чтобы производная dQ/dP была ограниченной. Этот пример показывает, что мера P выполняет три функции: определяет пространство X ФП, определяет требование непрерывности для предпочтений ! A,

121

ичерез свои пустые множества она формулирует требование, чтобы

!A строго увеличивалось.

Система цен – это подпространство М из X и линейный функционал π на М. Интерпретацией является то, что в этой экономике агенты способны покупать и продавать какие-либо ФП по стоимости потребления в нулевую дату. Рынки, в которых так можно сделать, являются невязкими (frictionless). Это означает, что там нет никаких операционных затрат и никаких ограничений на короткие продажи. Таким образом, М представляет собой подпространство торгуемых ФП (которое будет меньше, чем X, если рынки неполные) и π задает цены для ФП т М в единицах потребления в нулевую дату.

При заданной системе цен (М, π ) действительно ли эта система жизнеспособна как модель экономического равновесия для агентов из класса A? Формально говоря, система цен (М, π ) является жизнеспособной, если существуют какие-либо ! А и (r*, т*) R × М, удовлетворяющие условиям

r* + π (m*) ≤ 0 и (r*, m*) ! (r, m) для всех (r, m)	R × M
таких, что r + π (m) ≤ 0.	(3.5)

Это соответствует тому, что имеется некоторый агент из класса А, который, выбирая наилучшие чистые сделки, ограниченные его бюджетом r + π (m) ≤ 0, способен найти оптимальную торговлю. Необходимость этого условия очевидна. Оно также достаточно в следующем смысле. При заданном агенте ! А и (r*, т*) R × М, удовлетворяющем (3.5), определим отношение ! ' на R × X:

(r, x) ! ' (r', x'), если (r + r*, x + m*) ! (r' + r*, x' + m*).

Тогда ! ' A, и агент с предпочтением ! ' слабо предпочитает (0, 0) каждой чистой сделке (r, m) R × М, такой что r + π (m) ≤ 0. Таким образом, (M, π ) является системой цен равновесия для экономики, населенной агентами из класса А. В экономике, где все агенты имеют предпочтение ! ', при ценах π каждый агент удовлетворен, оставаясь в своей точке вклада.

Следующая теорема характеризует жизнеспособные системы цен в терминах непрерывных (по топологии, порожденной нормой в L2) линейных функционалов на Х. Такой линейный функционал ψ называется строго положительным, если ψ (х) > 0 для всех х Х+. Пусть

122

Ψ обозначает множество всех непрерывных и строго положительных линейных функционалов на Х.

Теорема 3.1. Система цен (М, π ) является жизнеспособной, если и только если существует расширение π на все Х, которые принадлежат Ψ . (В дальнейшем будем использовать символику ψ | М для обозначения условия, что ψ берется из М, и поэтому условие теоремы может быть перефразировано следующим образом: существует ψ Ψ такой, что ψ | М = π .)

Доказательство. Предположим, система цен (М, π ) является та-

кой, что существует ψ	Ψ , удовлетворяющий условию ψ | М = π . То-
гда определим на R ×	Х отношение ! в виде

(r, х) ! (r′, х′), если r + ψ (х) ≥ r′ + ψ (х′).

Легко видеть, что таким образом определенное отношение ! принадлежит А и что это ! и выбор (r*, т*) = (0, 0) удовлетворяют условию (3.5). Следовательно, (М, π ) жизнеспособна.

Предположим, что (М, π ) является жизнеспособной. Пусть ! А и (r*, т*) будут такими, что условие (3.5) имеет место. Предыдущее обсуждение показывает, что без потери общности можно принять равенство (r*, т*) = (0, 0). Определим множества:

G = { (r, х) R × Х: (r, х) ! ! (0, 0)}

Н = { (r, т) R × М: r + π (т) ≤ 0} .

Множества G и Н являются непересекающимися ввиду условия (3.5), выпуклыми (G – поскольку предпочтения выпуклые) и G – открытое, поскольку предпочтения непрерывные. Таким образом, суще-

ствует нетривиальный непрерывный линейный функционал ϕ	на R ×
М такой, что ϕ (r, х) ≥ 0 для (r, х) G и ϕ (r, х) ≤ 0 для (r, х)	Н. Это
одна из версий теоремы об отделимости гиперплоскости.

Мы утверждаем, что ϕ (1, 0) > 0. Чтобы увидеть это, заметим, что имеется некоторое (r′, х′) такое, что ϕ (r′, х′) > 0, поскольку ϕ является нетривиальным. Так как ! А, имеем (1, 0) ! ! (0, 0). Таким образом, ввиду непрерывности ! существует достаточно малое λ > 0 такое, что (1 − λ r′, − λ х′ ) ! ! (0, 0). Поэтому

ϕ (1 − λ r′, − λ х′ ) = ϕ (1, 0) − λ ϕ (r′, х′) ≥ 0

123

и ϕ (1, 0) ≥ λ ϕ (r′, х′) > 0. Нормируем ϕ так, чтобы ϕ (1, 0) = 1, и запишем ϕ (r, х) = r + ψ (х), где ψ является непрерывным линейным функционалом на Х.

Мы утверждаем, что функционал ψ строго положителен. Действительно, для ФП х X+ имеем (0, x) ! ! (0, 0). Таким образом, су-

ществует λ > 0 такое, что (−			λ , x) ! ! (0, 0). Отсюда следует, что ψ (x)
− λ	≥	0 или ψ (x) ≥ λ > 0.	| М = π . Для ФП т М заметим, что как
		Мы утверждаем, что ψ
(−	π	(m), m), так и (π (m), −	m) принадлежат H. Значит, справедливы

равенства 0 = ϕ (π (m), − m) = π (m) − ψ (m), или π (m) = ψ (m), что и завершает доказательство.

Эта эквивалентная характеризация жизнеспособности имеет частичное равновесие − общее равновесие, благоприятное к ней. Представим экономику, где рынки существуют для всех исков x X, одна часть этой экономики является рынком, где иски т М могут быть куплены или проданы по ценам π . Тогда эти цены должны быть частью общей равновесной системы цен ψ для всего X. И поскольку агенты принадлежат классу A, эти общие равновесные цены должны быть непрерывными и строго положительными.

Предположим, что задана жизнеспособная система цен (М, π ). За какие цены могли бы быть проданы другие ФП, т. е. ФП x М? Если бы ФП x продавалась по цене p, рыночные агенты могли бы купить любую ФП т + λ х sраn(М {x}) по цене π (m) + λ р. Обозначая символом М' расширение sраn(М {x}) и символом π ' расширенный линейный функционал π '(т + λ х) = π (m) + λ р, естественно говорить, что цена p для x совместима с системой цен (М, π ), если (М', π ') жизне-

способна. Непосредственно из теоремы 3.1 имеем следующее следствие.

Следствие 3.1. Если система цен (М, π ) жизнеспособна, тогда для всех x X существует цена, которая совместима с системой (М, π ). Кроме того, для жизнеспособной (М, π ) множество цен для x, совместимых с (М, π ), является множеством {ψ (x): ψ Ψ и ψ | М = π }.

Когда имеется единственная цена за иск x, совместимая с (М, π ),

мы говорим, что цена x определяется арбитражем (determined by arbitrage) из (М, π ), и эта единственная цена иска x называется арбит-

ражной стоимостью (arbitrage value) ФП x, определяемой из (М, π ).

124