- •Глава 7. Вероятностная оценка существенности надежности установления) параметров тренда и колеблемости
- •7.1. Оценка надежности параметров тренда
- •Среднегодовая температура воздуха в Санкт-Петербурге, °с
- •Определение отклонений логарифмов уровней от логарифмов тренда
- •7.2. Доверительные границы тренда
- •7.3. Вероятностная оценка показателей колеблемости
- •Расчет вероятностей рисков (неурожаев) зерновых во Франции
Определение отклонений логарифмов уровней от логарифмов тренда
Год |
ln |
ln |
Отклонения |
|
|
|
1950 |
7,835 |
7,849 |
-0,014 |
0,000196 |
-2,5 |
6,25 |
1960 |
8,026 |
8,027 |
-0,001 |
0,000001 |
-1,5 |
2,25 |
1970 |
8,223 |
8,206 |
+0,017 |
0,000289 |
-0,5 |
0,25 |
1980 |
8,396 |
8,384 |
+0,012 |
0,000144 |
0,5 |
0.25 |
1990 |
8,564 |
8.562 |
+0,002 |
0,000004 |
1,5 |
2,25 |
2000* |
8,726 |
8,741 |
-0,015 |
0,000225 |
2,5 |
6,25 |
Σ |
49,770 |
49,770 |
0 |
0,000859 |
0,0 |
17,50 |
* Оценка |
Средняя ошибка логарифма коэффициента изменения:
Табличный критерий Стьюдента при четырех степенях свободы и значимости 0,01 равен 4,60. Полученное значение критерия много больше табличного, так что вероятность нулевой гипотезы можно считать равной нулю, а рост населения Земли -достоверным. Понятно, что столь очевидное явление и не требовало проверки, пример приведен для показа методики надежности экспоненциального тренда, а не для проверки самого факта роста населения, как это имело место в примере с ростом среднегодовой температуры.
Для кривых, не имеющих постоянного основного параметра, вышеизложенный метод проверки надежности неприменим. В таких случаях можно, во-первых, проверять сам факт наличия какого-либо тренда путем сравнения средних уровней за первую и за вторую половины периода, во-вторых, с помощью обычной методики проверки надежности различия двух средних величин в теории выборочного метода. Если различие средних уровней в более ранний период и в более поздний период надежно (нулевая гипотеза отвергается), значит, тренд существует. А о форме уравнения тренда судим по тем методикам и показателям, которые изложены в гл. 5.
7.2. Доверительные границы тренда
Если уравнение тренда рассматривается как выборочное, имеющее ошибки репрезентативности своих параметров, то можно рассчитать доверительные границы, внутри которых с заданной, достаточно большой вероятностью, проходит линия тренда в генеральной совокупности. Рассмотрим этот случай на примере простейшего, линейного тренда. Оба его параметра - свободный член а и среднее изменение за единицу времени b имеют ошибки репрезентативности выборочных оценок. Свободный член уравнения тренда - это выборочная средняя величина уровней временного ряда, средняя ошибка репрезентативности кото рой определяется по формуле
Средняя ошибка репрезентативности параметра b, как упоминалось выше, равна:
Свободный член уравнения линейного тренда и среднее изменение за единицу времени - величины независимые, а следовательно, согласно теореме сложения дисперсий независимых величин, дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых, а среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка) - корню квадратному из суммы дисперсий, т.е. из суммы квадратов ошибок т2a и т2b. Однако мы рассматриваем ошибку не в статике, а в динамике. Средняя ошибка положения линии тренда за счет ошибки свободного члена - это константа для любой точки линии тренда, а средняя ошибка изменения уровня тренда за счет ошибки параметра b - это величина переменная, ибо в разных точках линии тренда его уровень равен а + b, и ошибка параметра b возрастет в раз по сравнению с ошибкой в точке, где= 1. Следовательно, ошибка линии тренда минимальна в середине базы его расчета - в середине временного ряда. В этой точке, гдеt = 0, средняя ошибка положения линии тренда равна ошибке его свободного члена, т.е. S(t)/ , а в любой иной точке тренда его средняя ошибка вычисляется по формуле
- для однократного выравнивания и при = 0 в середине ряда. При нумерации периодов времени от начала ряда вместов формулу следует подставить величину
При многократном скользящем определении параметра b второе слагаемое подкоренного выражения примет вид:
где п - длина одной базы расчета тренда;
l - число баз.
Рассчитаем среднюю ошибку тренда среднегодовой температуры воздуха в Санкт-Петербурге:
Для середины ряда - 1977 г. - средняя ошибка тренда составила:
А для крайних уровней-1957г. и 1997г.-
Таким образом, ошибка тренда возрастает от середины базы его расчета (середина ряда) к его краям, образуя конусообразную зону вероятных значений генерального тренда.
Если эту зону мы хотим определить с достаточно большой вероятностью, то среднюю ошибку следует умножить на величину t-критерия Стьюдента для соответствующей вероятности. Границы доверительной зоны тренда среднегодовой температуры с вероятностью 0,95 изображены на рис. 7.1.
Чем сильнее колеблемость уровней и чем меньше база расчета тренда, тем шире доверительная зона генерального тренда и тем быстрее она расширяется от середины ряда к его концам. Зона для параболического тренда расширяется при этом гораздо сильнее, чем для линейного тренда.
Рис. 7.1. Доверительные границы генерального тренда среднегодовой температуры воздуха в Санкт-Петербурге
——— средний тренд
——— границы тренда с вероятностью 0,95