7.3. Вероятностная оценка показателей колеблемости

Для сравнения показателей колеблемости разных времен­ных рядов необходимо использовать известные в математичес­кой статистике методы вероятностной оценки среднего квадратического отклонения или коэффициента вариации. Их можно применять для вероятностных оценок среднего квадра­тического отклонения уровней ряда от тренда и коэффициента колеблемости.

Средняя ошибка репрезентативности выборочной оценки генерального среднего квадратического отклонения от тренда при их нормальном распределении имеет вид [19, с. 499-500]:

где S(t) - среднее квадратическое отклонение уровней от тренда;

п - число уровней.

Критерий Стьюдента - отношение среднего квадратического отклонения уровней от тренда к его средней ошибке - при­мет вид: Так как эту величину, как и табличное значение критерия Стьюдента для вероятностей 0,95 и 0,99, мож­но свести в одну таблицу, получаем готовую таблицу для оцен­ки надежности отличия генерального среднего квадратического отклонения уровней от нуля (табл. 7.3).

Таблица 7.3

Вероятность отличия колеблемости S(t) от нуля

п	•jin	Табличный критерий t для вероятности				Вывод о надежности отличия
		0,90	0,95	0,99
2	2,20	2,92	4,30	9,92	Значительно ниже 0,9
3	2,45	2,35	3,18	5,84	Выше 0,9, но ниже 0,95
5	3,16	2,02	2,57	4,03	Выше 0,95, но ниже 0,99
8	4,0	1,86	2,30	3,35	Выше 0,99
9	4,24	1,83	2,26	3,25	То же
10	4,47	1,81	2,23	3,17
12	4,90	1,78	2,18	3,06
15	5,48	1,75	2,13	2,95	Практически достоверно
18	6,00	1,73	2,10	2,90	То же
20	6,32	1,72	2,09	2,84
25	7,07	1,71	2,08	2,79
30	7,75	1,70	2,04	2,75
40	8,94	1,64	2,03	2,72
50	10,00	1,64	1,98	2,70
100	14,14	1,64	1,96	2,62

Таким образом, если обнаружена колеблемость уровней ряда, число уровней которого более 5, то можно считать достаточно надежно установленным, что отличие S(t) от нуля не случайно.

Доверительная граница среднего квадратического откло­нения уровней от тренда с заданной вероятностью равна

Например, доверительный интервал средней силы колебаний среднегодовой температуры воздуха в Санкт-Петербурге за 1957-1997 гг. с вероятностью 0,95 составил:

Доверительный интервал среднего квадратического от­клонения урожайности зерновых культур во Франции за 1970-1995 гг. (см. табл. 6.5) с вероятностью 0,99 составляет:

Ввиду довольно значительной силы колебаний, доверительный интервал оценки генерально­го среднего квадратического колебания также довольно широк, Ошибка возрастает прямо пропорционально силе колеблемос­ти и росту надежности оценки, а уменьшается обратно пропор­ционально корню квадратному из числа уровней ряда.

Средняя ошибка репрезентативности выборочной оценки генерального коэффициента колеблемости имеет вид [20]:

где V(t) - коэффициент колеблемости, %.

Например, коэффициент вариации урожайности зерновых во Франции за 1970-1995 гг. составил 6,9%. Если рассматри­вать этот показатель как выборочный для Франции вообще на больший период, то средняя ошибка коэффициента как оценки генерального равна:

С вероятностью 0,95 при 25 степенях свободы вариации до­верительные границы генерального коэффициента вариации составят 6,9% ± 2,06 • 0,96%, или от 4,94 до 8,86%. Таким обра­зом, почти наверняка колеблемость слабее 10%.

Не менее, а может и более, важной задачей, чем вероятнос­тная оценка генеральных параметров колеблемости, является вероятностная оценка крайних отклонений от тренда, напри­мер, сильных неурожаев, экстремальных температур и влажно­сти воздуха, скорости ветра и т.п. Эти экстремальные отклонения определяют производственные риски, а оценка ве­роятности рисков - одна из главных задач менеджмента в лю­бой отрасли народного хозяйства.

Вероятностная оценка отклонений от тренда возможна в том случае, если известен закон вероятностей их распределения по величине отклонений. Хотя ни в одном реальном временном ряду отклонения не подчиняются абсолютно точно ка­кому-то теоретическому распределению вероятностей, во мно­гих процессах распределение вероятностей отклонения от тренда близко к нормальному закону. В нашем примере распределение отклонений от тренда среднегодовой температуры воздуха в Санкт-Петербурге близко к нормальному (табл. 7.4).

Таблица 7.4

Проверка близости распределения колебаний температуры к нормальному закону: (t) = 1,121

Отклонение, градус	fi	-критерий	Вероят­ность Pi
Ниже -1,2° От -1,2 до -0,4° От -0,4 до 0,4° От 0,4 до 1,2° Выше 1,2°	5 8 15 8 5	от -до -1,07 от-1,07 до-0,36 от -0,36 до 0,36 от 0,36 до 1,07 от 1,07 до +	0,1423 0,2171 0,2812 0,2171 0,1423	5,8 8,9 11,5 8,9 5,8	0,11 0,10 1,06 0,10 0,11
Итого	41	-	1	40,9	1,48
- нормированное отклонение границ интервала от среднего отклонения, рав­ного нулю.

Вероятность попасть в интервал при условии нормального распределения отклонений по их величине Pi - это половина

разности интегральных функций нормального распределения:

- значения критерия для границ интер­вала. Для среднего интервала от вероят­ность Теоретические частоты

есть произведение n • Pi., где п = 41.

Итог последней графы - это критерий (хи-квадрат). Таб­личное значение критерия для значимости 0,10 равно 4,60 при двух степенях свободы, а фактическое - много ниже таблично­го. Следовательно, вероятность сходства распределения откло­нений температуры от тренда с нормальным много больше, чем 0,1, и гипотеза о нормальном распределении не отвергается.

Другие временные ряды, рассмотренные в данном учебном пособии, слишком коротки для проверки по . В 1976-1980 гг. кафедрой статистики Ленинградского сельскохозяйственного института (ЛСХИ) было проведено по договору с Управлени­ем статистики сельского хозяйства Центрального статистичес­кого управления (ЦСУ) СССР изучение колебаний урожайности по многим культурам в областях и краях РСФСР. Среди дру­гих был получен вывод о близости распределения отклонений урожайности от трендов по величине отклонений к нормаль­ному закону распределения [19, с. 3-9].

Этот эмпирический вывод подкрепляется теоретическими соображениями: колебания урожайности зависят от очень большого числа сравнительно независимых факторов, каждый из которых не играет определяющей роли. Следовательно, ко­лебания урожайности отвечают условиям «предельной теоре­мы Ляпунова», которая устанавливает, когда случайная переменная имеет нормальное распределение вероятностей. На этом основании будем считать, что и колебания урожайности зерновых во Франции подчинены нормальному закону. Сред­нее квадратическое отклонение, согласно данным табл. 6, равно 3,54 ц/га. Находим вероятности рисков, т.е. что отклонение от тренда вниз (неурожай) превышает уровни -5 ц/га; -7 ц/га; -10 ц/га; -12 ц/га (табл. 7.5).

Вероятность Р равна половине разности между единицей и F(t), т.е. применяется односторонний критерий (иногда в лите­ратуре приводится готовая таблица вероятностей именно этого критерия). Поясним определение этой вероятности с помо­щью графика (рис. 7.2), из которого ясно и то, что у нас обозна­чено как F(t).

Таблица 7.5