- •Глава 10. Дисперсионный анализ измерений (1 а.Л.).
- •10.1. Задачи дисперсионного анализа
- •10.2. Критерий Фишера
- •10.3.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •10.3.1.1. Равночисленные наблюдения в сериях
- •10.3.1.2. Неравночисленные наблюдения в сериях
- •10.4. Технология проведения двухфакторного дисперсионного анализа
10.3.1.2. Неравночисленные наблюдения в сериях
Постановка задачи в общем виде состоит в следующем.
Дано. Имеется m независимых нормально распределенных величин xi, каждая из которых наблюдалась ni раз. Всего имеется наблюдений. В результате получили выборкуxij из наблюдений, гдеi=1, 2,…, m; j=1,2, …, ni.
Задача. Проверяется нулевая гипотеза H0 , согласно которой центры распределения величин xi равны, то есть . Предполагается, что все xi выполнены с одним стандартом σ.
Решение.
Обозначим среднее арифметическое изi-й серии наблюдений
Средние каждой серии будут различаться вследствие как случайных погрешностей наблюдений, так и вследствие влияния исследуемого фактора. Для оценки значимости этого различия поступаем так.
Вычисляем общее среднее из наблюдений .
Находим общую эмпирическую дисперсию по известной формуле .
Находим дисперсию, обусловленную влиянием фактора и дисперсию, какая остается после исключения влияния этого фактора.
Получим выражения для нахождения дисперсий: факторной и остаточной. Для этого разложим эту сумму в формуле общей дисперсии по частным средним:
Ниже написать
10.4. Технология проведения двухфакторного дисперсионного анализа
Задача анализа в том, чтобы выявить:
A. Существенно ли влияние некоторого фактора?
B. Если существенно, то какое изменение этого фактора можно признать несущественным?
Ф |
А |
К |
Т |
О |
Р |
|
Вj |
Средние xi | |
Ф |
r\v |
1 |
2 |
3 |
... |
j |
... |
v |
x1 |
А |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
К |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
Т |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
i |
|
|
|
|
xij |
|
xiv |
xi |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аi |
r |
|
|
|
|
xrj |
|
xrv |
xr |
средние xj |
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
xj |
|
xv |
x |
1. Вычисляем: среднее в каждой j-ой строке , среднее в каждом i-ом столбце , а также общее среднее .
2. Вычисляем общую, факторные и остаточную дисперсии ,(дисперсия строк),(дисперсия столбцов),
3. Сравниваем дисперсии
А. Если, то факторы не влияют. Оценка дисперсии выборки будет, а ее доверительный интервал
B. Если , то фактор влияет. Тогда вычисляем отношения .
Затем по F-распределению, задаваясь доверительной вероятностью β, находим значения критерия по числам свободы меньшей и большей дисперсии.
Если , то влияние фактора существенно. Тогда оценка, а доверительный интервал этой оценки
Далее, при , делаем следующее.
4. Оцениваем меру систематической изменчивости.
если , то наблюдения неоднородные, имеется влияние фактора.
5. Группируем по оптимальным значениям факторов . Для этого
А. Определяем доверительные интервалы:
для строк А, состоящих из v столбцов (xi - xj ) tqS3ост(2/v),
для столбцов В, состоящих из r строк (xi - xj ) tqS3ост(2/r).
tq определяем по распределению Стьюдента, задавая число степеней свободы (r-1)(v-1) и доверительную вероятность β.
tq=1.96 для (r-1)(v-1)=36
Если разность двух значений попадает внутрь интервала, то она - несущественна, если вне интервала - существенна.
Б. Анализируем: сравниваем по фактору xi с xj. Попадает в вычисленный интервал –«+», вне интервала- «-».
Если xj- отличается от всех, то- это брак ?xпосл
-
1
2
3
4
5
6
1
+
-
-
+
-
+
2
+
-
+
-
+
3
+
4
+
5
+
6
+
Выводформулы оценки значимости расхождений. Нулевая гипотеза Ho: две выборки Х1 и Х2 объёмом n1 и n2 принадлежат одной и той же нормально распределённой совокупности N(x,2).
-
Решение для Х1
разность
Решение для Х2
при r=0!
некоррел.
Математическое ожидание расхождения .
Оценка его дисперсии .
ищем оценки выборочные, а не генеральной совокупности, т.е. по n1 и по n2 (а не (n1-1) и (n2-1)), то
, то .
Если выборки равны n1=n2=n, то 2n/n2=2/n и .
По доверительной вероятности выбираем t=1, (или 1.5, или 2). В доверительный интервал попадают те пары, для которых выполняется условие.
Добавить формулы сделанные для компактных вычислений,( видимо в лекции старой).