10

Лекция 4. Наиболее употребительные законы распределения случайных величин

Вопросы лекции

3.4.1. Биномиальное распределение

3.4.2. Распределение Пуассона

3.4.3. Нормальное распределение Гаусса-Лапласа

3.4.4. Распределения Рэлея и Максвелла

3.4.5. Равномерное распределение

3.4.6. Пример антимодального распределения

3.4.7. Распределение ² (хи -квадрат)

3.4.8. Распределение Стьюдента

3.4.9. F-распределение Фишера-Снедекора

Сл. Тема: интервальные оценки. (из гл. GО4)Требование ГОСТ

4.2.3.4. Метод доверительных интервалов

4.2.3.4.1. Доверительный интервал отдельного наблюдения

4.2.3.4.2. Доверительный интервал дисперсии и стандарта отдельного наблюдения

4.2.3.4.3. Доверительный интервал оценки асимметрии

4.2.3.4.4. Доверительный интервал оценки эксцесса

4.3. Определение параметров предполагаемого закона распределения по представительной выборке

==================================================

Оценки любых характеристик мы вычисляем по набору значений СВ, полученных из наблюдений. Поэтому оценки СВ суть функции СВ. Функция СВ есть также СВ, смонтированная по какой-то формуле из реально наблюденных значений СВ. Новой информации она не несет, но делает явными особенности поведения наблюденной СВ. Так как эта функция (оценка) вычислена по формуле, т.е. получена по детерминированному правилу, то и закон ее распределения другой, отличный от закона наблюдаемой СВ. Он характеризуется другими параметрами и оценками. Чтобы убедиться в том, что основные требования к оценкам СВ: состоятельность, несмещенность и эффективность - выполняются, необходимо для каждой из оценок СВ найти в свою очередь их оценки или параметры их распределения. Эта процедура обязательна, она закреплена ГОСТами измерений.

Прежде всего, мы должны уяснить, что есть

(1) законы распределения, коим следуют реальные физические величины («считать ворон»),

(2) законы, коим следуют различного вида измерения этих величин («стрелять по воронам»), то есть полученные экспериментально наборы числовых значений, по которым мы вычисляем оценки («рассказ о стрельб е по воронам»), отсюда

(3) законы распределения этих вычисленных оценок этих наборов.

Распределения (1) в принципе нам неизвестны. Мы пользуемся такой моделью величины, которая не противоречит известным нам свойствам этой величины. Например, высоты рельефа, оптические плотности, населенные пункты, ориентиры на карте - в каждом конкретном случае следуют своему распределению.

Распределения (2) обычно строятся на основе свойств измерений. Технологию линейных и угловых измерений стремятся организовать так, чтобы они были близки к нормальным.

Распределения (3) выводятся из распределений (2); как правило, для измерений линий, углов и т.п. – из нормального.

Законы распределения, по сути, это безразрывные положительные неубывающие функции СВ, принимающие значения от нуля до единицы. Вы можете придумывать свои законы. Важно только, чтобы им не противоречило на практике поведение хотя бы одной СВ.

Мы вспомним некоторые общеупотребительные законы распределения, часто используемые в практике математической обработки фотограмметрических измерений, а именно,

1) некоторые законы, которым следуют непосредственно наблюдаемые СВ,

2) законы, применяемые для математической обработки наблюдений этих СВ.

В первой группе рассмотрим следующие законы: биномиальный, распределения Пуассона и Гаусса (нормальное), распределения Рэлея, Максвелла и равномерное.

Во второй группе -t- распределение Стьюдента, распределение-² Хелмерта, F-распределение Фишера.