Тема 4. Средние величины.
Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчёте на единицу качественно однородной совокупности. В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин. Например, обобщающим показателем доходов рабочих акционерного общества (АО) служит средний доход одного рабочего, определяемый отношением фонда заработной платы и выплат социального характера за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) к численности рабочих АО.
Вычисление среднего значения один из распространенных примеров обобщения; средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае.
Виды средних и способы их вычисления
Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т.д. Перечисленные средние относятся к классу степенных средних.
Помимо степенных средних в статистической практике используются средние структурные, в качестве которых рассматриваются мода и медиана.
Средняя арифметическая
Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общественных явлений характерна аддитивность (суммарность) объемов варьирующего признака, этим определяется область применения средней арифметической и объясняется ее распространенность как обобщающего показателя, например: общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат всех работников, валовой сбор урожая – сумма произведенной продукции со всей посевной площади.
Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются не сгруппированные индивидуальные значения признака):
=
х – значение признака;
n – количество признаков.
Задание 1. Требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд индивидуальных значений признака, шт.:
21;20;20;19;21;19;18;22;19;20;21;20;18;19;20.
Методика решения:
Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес, называется средней взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты).
Средняя арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных величин вычисляется по формуле:
=
х – варианты осредняемого признака;
ƒ – веса этих вариантов.
Задание 2. Имеются следующие данные о распределении рабочих двух заводов по тарифным разрядам:
|
Тарифный разряд |
Число рабочих на заводе |
завод №1 (хƒ) |
завод №2 (хƒ) | |
|
№1 |
№2 | |||
|
1-й |
4 |
2 |
|
|
|
2-й |
13 |
10 |
|
|
|
3-й |
16 |
15 |
|
|
|
4-й |
30 |
30 |
|
|
|
5-й |
20 |
25 |
|
|
|
6-й |
17 |
18 |
|
|
|
Итого |
|
|
|
|
Определите средний тарифный разряд рабочего: 1) по заводу №1; 2) по заводу №2. Сравните полученные результаты
Методика решения:
Вывод:
При вычисление средней арифметической взвешенной в интервальном ряду распределения с закрытыми и открытыми интервалами необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной.
В рядах с открытыми интервалами величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы – величине интервала предыдущий. Дальнейший расчёт аналогичен изложенному выше.
Задание 3. В результате группировки данных по капитальным затратам по леспромхозам получено:
|
Группы леспромхозов по размеру капитальных затрат, тыс. руб. |
Число леспромхозов |
х |
(хƒ) |
|
до-10 |
6 |
|
|
|
10-12 |
8 |
|
|
|
12-14 |
15 |
|
|
|
14-16 |
15 |
|
|
|
16-18 |
10 |
|
|
|
Свыше 18 |
6 |
|
|
|
Итого |
|
|
|
Определите средний размер капитальных затрат на одно хозяйство. Сделайте вывод.
Методика решения:
Вывод:
Определение средней арифметической взвешенной по способу моментов.
Расчеты средней арифметической могут быть громоздкими, если варианты и веса имеют большие значения. Однако использование основных математических свойств средней арифметической взвешенной позволяет значительно упростить вычисления.
Задание 4. Используя данные задачи о времени горения электроламп, рассчитайте среднею арифметическую взвешенную по способу моментов, определив среднее время горения электроламп. Сделайте вывод.
|
Группы электроламп по времени горения, ч |
Число электроламп |
|
|
|
|
|
800-1000 |
20 |
|
|
|
|
|
1000-1200 |
80 |
|
|
|
|
|
1200-1400 |
160 |
|
|
|
|
|
1400-1600 |
90 |
|
|
|
|
|
1600-1800 |
40 |
|
|
|
|
|
1800-2000 |
10 |
|
|
|
|
|
итого |
400 |
|
|
|
|
Методика решения:
Вывод: