Примеры решения задач

Пример 1. Кинетическая энергия электрона равна 0.5 МэВ. Определить длину волны де Бройля.

Решение.Так как кинетическая энергия электрона (0.5 МэВ) почти равна его энергии покоя (0.511 МэВ), то скорость электрона близка к скорости света и, следовательно, задачу нужно решать по формулам релятивистской механики.

Длина волны де Бройля выражается формулой

(1)

где h– постоянная Планка; p– импульс электрона.

Импульс электрона определим из формулы, связывающей энергию частицы с ее импульсом:

(2)

откуда

. (3)

Полная энергия электрона равна сумме его энергии покоя и кинетической энергии

(4)

Поэтому

или

(5)

Подставив в формулу (1) вместо импульса рэлектрона его значение по формуле (5), получим

(6)

При числовом подсчете по формуле (6) нет необходимости выражать энергию покоя и кинетическую энергию в единицах системы СИ. Значения энергии можно взять в мегаэлектрон-вольтах, если предварительно выразить постоянную Планка в мегаэлектрон-вольтах в секунду:

Можно поступить иначе, выразив постоянную Планка hчерез комптоновскую длину волныλ_kэлектрона. Как известно, длина волны Комптона

откуда

(7)

Подставив в формулу (6) вместо hего значение по формуле (7) и учтя, чтоm₀с² = Е₀, получим

(8)

Комптоновская длина волны электрона λ_к = 0.0242Ǻ.Сделав подстановку чисел, получим искомую длину волны де Бройля:

Å =1.42 пм.

Пример 2. Угол рассеяния фотона в результате эффекта Комптона составляет 180. Определить кинетическую энергию электрона отдачи, если энергия фотона до рассеяния равна 0.51 МэВ.

Решение.При эффекте Комптона электрон отдачи получает энергию от фотона

Т = ε₁ – ε₂, (1)

где ε₁– энергия падающего фотона;ε₂– энергия рассеянного фотона.

Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись уравнением Комптона

которое для случая рассеяния под углом Θ = 180примет вид

Выразив длины волн через энергию фотонов, получим

Разделив обе части равенства на hc, найдем

или, приняв во внимание, что m₀с²есть энергия покоя электронаЕ₀,

Отсюда

.

Подставив числовые значения ε₁иЕ₀, получим

МэВ

Подставив значения ε₁иε₂в (1) и произведя вычисления, найдем кинетическую энергию электрона отдачи:

Т = 0.51 – 0.17 = 0.34 МэВ.

Пример 3. Какое наименьшее напряжение надо приложить к рентгеновской трубке, чтобы получить наименьшую длину волны в серии L, если антикатод сделан из железа и постоянная экранирования равна 7.5 (по Мозли)?

Решение.Характеристическое рентгеновское излучение наблюдается всякий раз, когда заполняются места во внутренних слоях электронной оболочки атома, освобожденные электронами вследствие вырывания их бомбардирующими антикатод электронами. Энергия, необходимая для возбуждения какой-либо серии (К, L, М, …), определяется работой вырывания электрона из соответствующего слоя и равна максимальной энергии кванта, соответствующего этой серии.

Так, все линии серии Lпоявляются, если освобождается место во втором от ядра слое – слоеL. Следовательно, наименьшую длину волны или максимальную частоту для этой серии определим по формуле Мозли из условия, чтоn = ∞, k = 2, Z = 26:

где b– постоянная экранирования. Для этой серии у всех элементовbодинакова и равна 7.5 (по Мозли).

Гц.

Из сказанного выше следует, что

eU = hν_max,

В.

При таком напряжении на трубке появятся все линии серии L, и более мягкие, а линии серииKнаблюдаться не будут.

Пример 4. Электрон, имеющий скорость 10⁶ м/с, влетает в камеру Вильсона. Приняв размер зерна фотоэмульсии порядка 10^–6 м, найдите неопределенность в скорости. Сравните V_х и ΔV_х.

Решение.Ширина трека 10^–6м, следовательно, неопределенность в координатеΔх = 10^–6. Используя соотношение неопределенности Гейзенберга, запишем

следовательно,

кг·(м/с).

Из неопределенности импульса определим неточность в скорости:

м/с,

Таким образом, в этом случае можно говорить о траектории частицы в классическом смысле.

Пример 5. Определить возможные значения орбитального момента импульса М_l электрона в возбужденном атоме водорода, если энергия возбуждения ε = 12.09 эВ.

Решение.Орбитальный момент импульсаМ_lэлектрона определяется квантовым числом по формуле

где l– орбитальное квантовое число (l = 0, 1, 2 ,…, n – 1).

Найдем главное квантовое число nс помощью формулы, определяющей собственные значения энергии электрона в атоме водорода:

где n– главное квантовое число (n = 1, 2, 3,…).

Учтем, что при n = 1 E = –13.6эВ. Тогда

.

Энергия возбуждения εесть квант энергии, поглощенный атомом при переходе из основного состояния (n = 1) в возбужденное. Следовательно,

E_n – E₁= ε.

Подставив числовые значения величин, выраженные в электрон-вольтах, получим

откуда n = 3. Следовательно,l = 0, 1, 2.

Теперь найдем возможные значения М_l:

при l = 0 M_l = 0,

при l = 1 M_l = (h/2π)= 1.49  10^–34Джс,

при l = 2 M_l= (h/2π)= 2.60  10^–34Джс.

Пример 6. Первоначально покоившийся атом водорода испустил фотон, длина волны которого соответствует максимальной длине волны в серии Бальмера. Определить скорость V движения атома водорода (h = 6.62  10^–34·Дж  с; М = 1.672  10^–24 г; R = 109677 см^–1).

Решение. По закону сохранения импульса, импульс испущенного фотона равен импульсу атома, поэтому

откуда

Максимальную частоту фотона можно определить, используя формулу Бальмера для случая n = 3(длина волны в этом случае будет максимальной):

Значит, скорость отдачи

В системе СИ

Пример 7. Радиоактивный натрий ₁₁Νa²⁴ распадается, выбрасывая β-частицы. Период полураспада 14,8 ч. Вычислить количество атомов, распавшихся в 1 мг данного радиоактивного препарата:

а) за 10 ч;

б) за 0,01 с.

Решение. а) Число радиоактивных атомов убывает со временем по закону

где Ν– число нераспавшихся радиоактивных атомов черезtсекунд с момента начала отсчета;Ν₀– число радиоактивных атомов к моменту начала отсчета;λ– постоянная радиоактивного распада.

Число распавшихся атомов

(1)

Выразив λчерез период полураспадаТ, преобразуем выражение е^-λt:

После преобразования равенство (1) будет иметь вид

(2)

В нашем случае Ν₀– число атомов в 1 мг₁₁Νa²⁴. В одном килограмм-атоме₁₁Νa²⁴содержится 6.0210²⁶(число Авогадро) атомов; в 1 мг содержится

Подставив числовые значения в формулу (2), получим

атомов.

б) Вторая часть задачи решается аналогично, однако здесь встречаются трудности в вычислении выражения2^–t/T.

Для решения этой части задачи заметим, что при λΔt<<1вместо (2) можно воспользоваться соотношением

ΔN = N₀ λ Δt. (3)

Заменив в формуле (3) λчерези выразивТв секундах, получим

атомов.

Пример 8. Найти активность радона, образовавшегося из m₀ = 1 г радия Ra за одни сутки. Периоды полураспада радия и радона соответственно равны Т₁ = 1.6  10³ лет, Т₂ = 3.8 суток.

Решение. Активность препарата измеряется числом ядер, распадающихся в единицу времени:

,

где dN– число радиоактивных ядер, распадающихся за промежуток времениdt;λ– постоянная радиоактивного распада.

Если радиоизотоп А₁с постоянной распадаλ₁превращается в радиоизотопА₂с постоянной распадаλ₂, то число ядер радиоизотопаА₂изменяется со временем по закону

где N₁(0) – число ядер радиоизотопаА₁ в моментt = 0.

Для искомой активности запишем

Входящие сюда величины выразим через данные m₀,μ,T₁,T₂по формулам

T λ = ln2,

N₀ = N_A (m₀/μ),

где N_A– число Авогадро; m₀– начальная масса препарата;μ– молярная масса изотопа.

Произведя сокращения, имеем

Это общая формула, выражающая закон изменения со временем активности одного радиоизотопа (дочернего), полученного в процессе распада другого (материнского). Формулу можно упростить, если учесть вытекающие из условия соотношения Т₁>>T₂ и T₁>>t. Из первого неравенства следует, что можно пренебречь величиной Т₂ в разности T₁ – T₂. В силу второго неравенства можно принять за единицу первый член, стоящий в скобках. Тогда найдем

Произведя расчет, получим

Ки.