Примеры решения задач

Пример 1. Определить плотность воздуха при давлении 830 мм рт. ст. и температуре 17 С.

Решение. Для решения задачи необходимо перевести данные в единицы международной системы СИ. Давление воздуха равно 830 мм рт. ст. Это значит, что давление воздуха равно давлению у основания ртутного столба высотой 830 мм, а оно рассчитывается по формуле

,

где Р– давление;ρ– плотность жидкости;g– ускорение свободного падения;h– высота столба жидкости.

Переведем температуру в градусы Кельвина:

Молярная масса воздуха

Плотность газа определяется отношением его массы к объему:

.

Из уравнения Менделеева – Клапейрона выразим плотность:

,

Пример 2. В баллоне объемом 40 литров находится кислород при температуре 300 К. Когда часть кислорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на 100 кПа. Определить массу израсходованного кислорода. Температура газа в баллоне не изменилась.

Решение.Массу израсходованного кислорода можно определить как разность масс газа до работы с баллоном и после работы с баллоном:

В общем виде изменение массы газа определяется по формуле

Решая последнее уравнение, мы получим m < 0. Это говорит о том, что масса газа в баллоне уменьшается. В предложенной задаче мы определяем убыль массы газа, а не изменение массы.

Считая кислород в баллоне идеальным газом, мы можем для описания его состояния использовать основное уравнение газового состояния – уравнение Менделеева – Клапейрона

Это уравнение дает возможность выразить значения масс в начальном и конечном состояниях кислорода:

По условию задачи

Определим убыль массы газа:

Масса израсходованного газа m = 0.051кг.

Пример 3. Средняя длина свободного пробега молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Какова средняя арифметическая скорость молекул? Сколько столкновений в секунду испытывает молекула?

Решение. Средняя арифметическая скорость <> молекул определяется по формуле

где – масса одного киломоля газа.

Выразим числовые значения R и  в системе СИ и подставим в формулу:

Число столкновений молекулы в секунду <z> зависит от средней скорости молекулы<> и средней длины ее свободного пробега <l> и выражается формулой

Пример 4. Какое количество теплоты поглощают 200 г водорода, нагреваясь от 0 до 100 С при постоянном давлении? Каков прирост внутренней энергии газа? Какую работу совершает газ?

Решение.Количество теплоты Q, поглощаемое газом при изобарическом нагревании, определяется по формуле

где m– масса нагреваемого газа;с_р– удельная теплоемкость газа при постоянном давлении;T– изменение температуры газа.

Как известно,

,

где i– число степеней свободы молекулы газа;R– универсальная газовая постоянная; – масса одного киломоля газа.

Подставив выражение с_pвQ, получим

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах системы СИ: m = 200г =0.2кг;i = 5, т. к. водород – газ двухатомный.

;

.

Подставим эти значения в формулу Qи произведем вычисление:

Внутренняя энергия газа выражается формулой

Следовательно, изменение внутренней энергии

Подставив сюда числовые значения в системе СИ, получим

Работу расширения газа найдем по формуле, выражающей первое начало термодинамики,

Q = U + A,

откуда

A = Q – U.

Подставив значение QиU, найдем

Работу, совершаемую газом, можно определить также по формуле

Подставив числовые значения, получим

Пример 5. Нагреватель тепловой машины, работающей по циклу Карно, имеет температуру 200 С. Какова температура охладителя, если за счет каждой килокалории тепла, полученной от нагревателя, машина совершает работу 1680 Дж. Потери на трение и теплоотдачу не учитываются.

Решение. Температуру охладителя можно найти, использовав выражение для термического КПД машины, работающей по циклу Карно,

где Т₁– абсолютная температура нагревателя;Т₂– абсолютная температура охладителя.

Отсюда

Т₂= Т₁(1 – ).

Термический КПД тепловой машины есть коэффициент использования теплоты. Он выражает отношение количества теплоты, которое превращено в работу А, к количеству теплотыQ₁, которое получено рабочим телом тепловой машины из внешней среды (от нагревателя), т. е.

Найдем температуру охладителя

Выразим все величины в системе СИ и вычислим температуру охладителя:

Q₁= 1 ккал = = 4.1910³Дж;

Т₁= 200 + 273 = 473К;

.

Пример 6. Найти изменение энтропии при нагревании 100 г воды от 0 до 100 С и последующем превращении воды в пар той же температуры.

Решение. Найдем отдельно изменение энтропиипри нагревании воды и изменение энтропиипри превращении воды в пар. Полное изменение энтропии выразится суммойи.

Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой

При бесконечно малом изменении dTтемпературы нагреваемого тела затрачивается количество теплоты

dQ = mcdT,

где m– масса тела;c– его удельная теплоемкость.

Запишем формулу для вычисления энтропии при нагревании воды:

Вынеся за знак интеграла постоянные величины и произведя интегрирование, получим

Произведем вычисления в системе СИ:

m = 100 г = 0.1 кг;

Т₁=273К;

Т₂=100+273=373К;

При вычислении изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температура Tможет быть вынесена за знак интеграла. Вычислив интеграл, получим

где Q– количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры;

Q = m,

где – удельная теплота парообразования.

Таким образом, изменение энтропии

.

Выразим числовые значения величин в системе СИ:

;

m= 0.1кг;

T= 373K.

Произведем арифметические действия:

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении ее в пар

Пример 7. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре 400 К, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не выше чем на 5 м/с?

Решение. Распределение молекул по относительным скоростям выражается уравнением

Здесь N– полное число молекул газа;f(u) – функция распределения Максвелла;u = υ/υ_в, гдеυ– данная скорость,υ_в– наиболее вероятная скорость.

Поскольку в задаче речь идет о наиболее вероятной скорости, надо считать υ = υ_в. Следовательно,u = 1и уравнение примет более простой вид:

Отсюда найдем ту часть молекул, относительные скорости которых лежат в интервале Δu:

. (1)

Прежде чем производить расчеты по (1), необходимо убедиться в том, что выполняется условие Δu<<u. Так какu = υ/υ_в, то

Δu = Δυ/υ_в. (2)

Чтобы вычислить Δuпо (2), найдем сначала наиболее вероятную скорость по формуле

Подставив это значение в (2) и имея в виду, что Δ υ=10м/с, поскольку в задаче идет речь о скоростях, лежащих в интервале от (υ_в – 5м/с) до (υ_в + 5м/с), получимΔu = 1/182.

Теперь сделаем подстановку в формулу (1):

Δu=

Пример 8. На какой высоте давление воздуха составляет 75 % от давления на уровне моря? Температуру считать постоянной и равной 0 С.

Решение. Воспользуемся барометрической формулой

,

где p– давление на высоте слоя газаh;p₀– давление на высотеh = 0;μ– молярная масса газа;T– его абсолютная температура.

Итак, по условию задачи

p= 3p₀/4=p₀ e^–μgh/RT,

откуда

e^–μgh/RT= 3/4,

–μgh/RT=ln(3/4),

следовательно,

h=(–RTln(3/4))/(μg).

Вычислим результат:

h = (–8.31∙273∙ln(3/4))/(0.029∙9.8) = 2296.4 м.