- •Содержание
- •Лекция 1. Матрицы и определители n-го порядка.
- •1.1. Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами
- •1.2. Умножение матриц
- •1.3 Определителиn-го порядка и их свойства
- •1.4. Обратная матрица
- •Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение
- •2.1. Системыmлинейных уравнений сnнеизвестными. Основные понятия
- •2.2. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными по формулам Крамера
- •2.3. Решение системnлинейных уравнений сnнеизвестными матричным способом
- •2.4. Решение системmлинейных уравнений сnнеизвестными методом Гаусса
- •2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.6. Однородные системы
- •Лекция 3. Решение матричных уравнений
- •Замечания.
- •1) При решении необходимо определить тип матричного уравнения и метод его решения.
- •3.2. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •3.3. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве
- •4.1. Векторы и линейные операции над ними
- •1) ; 2)Если;
- •3) Если; 4)
- •4.2. Проекция вектора на ось
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5 Смешанное произведение векторов
- •Лекция 5. Координатный метод
- •5.1. Системы координат на плоскости
- •5.2.Системы координат в пространстве
- •Лекция 6. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- •6.1. Плоскость в пространстве
- •6.2. Прямая в пространстве
- •6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Лекция 7. Прямая линия на плоскости
- •7.1. Уравнения прямой на плоскости
- •7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка
- •8.1. Кривые второго порядка. Основные понятия
- •8.2. Поверхности второго порядка
- •Лекция 9. Теоретико-множественные понятия в математике
- •9.1. Понятие множества. Круги Эйлера. Операции над множествами
- •9.2. Отношения и отображения как соответствия между элементами множеств. Мощность множества
- •9.3. Множество действительных чиселRи его основные подмножества
- •9.4. Окрестность точки, элементы топологии
- •Лекция 10. Действительные и комплексные числа
- •10.1. Действительные числа и их основные свойства
- •10.2. Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел
- •10.3. Операции с комплексными числами
- •Лекция 11. Многочлены
- •11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители
- •11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби
- •11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших
- •Лекция 12. Линейные пространства
- •12.1. Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств
- •12.2. Подпространство линейного пространства
- •12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств
- •12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации
- •Лекция 13. Линейные операторы
- •13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из х в у
- •13.2. Свойства линейных операторов, действующих из х в х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора
- •13.3. Матрица линейного оператора
- •13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису
- •13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
- •13.6. Линейная модель обмена
- •Лекция 14. Квадратичные формы
- •14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных
- •14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •14.4. Свойства канонических форм. Знакоопределенность
- •Лекция 15. Математические структуры
- •15.1. Понятие структуры
- •15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля
- •15.3. Матричные алгебраические структуры
- •Рекомендуемая литература
5.2.Системы координат в пространстве
Система координат в пространстве – это правило, которое устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками чисел, которые называют координатами заданной точки.
Аффинная система координат в пространстве
Репер < О; ,> в пространстве задает систему координат следующим образом. Каждая точка М определяет вектор, который определяет упорядоченную тройку чисел (х, у, z) равенством +у . Числах,у.z являются координатами точки М, что может быть подчеркнуто записью М=М(х,у.z). Такая система координат называется косоугольной или аффинной системой координат в пространстве. Первая координата точки в такой системе координат называется абсциссой, а вторая – ординатой точки, а третья – аппликатой точки.
Ось, задаваемую точкой О и вектором называютосью абсцисс; ось, задаваемую точкой О и вектором , называютосью ординат;.
ось, задаваемую точкой О и вектором , называютосью аппликат.
Если в репер входит правая тройка векторов, то система координат называется правой. В противном случае она называется левой.
z y
M
z0
yuyyy
x0 x
Цилиндрическая система координат
В пространстве задана цилиндрическая система координат, если заданы плоскость П с полярной осью и ось OZ, проходящая через начало полярной оси – полюс перпендикулярно плоскости П. Обозначим через - орт (единичный вектор), задающий положительное направление осиOZ.
Цилиндрической системой координат каждой точке М ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел ρ, φ, z следующим правилом. Вектор разлагается в сумму:
+ z,
где М1 Эта сумма определяет число z . Числа ( ρ, φ ) – это полярные координаты точки М1, 00φ.
Пусть заданы цилиндрическая и правая декартова системы координат в пространстве, причем полярной осью служит ось абсцисс, а полюс О совмещен с началом О декартовой системы координат, ось OZ, проходящая через полюс , перпендикулярна плоскости П. Тогда между декартовыми координатами (х,у,z) и полярными координатами (ρ,φ,z) точки М в пространстве существует связь: ,
M(ρ,φ,z)
z
M1
0
Cферическая система координат
В пространстве задана сферическая система координат, если заданы плоскость П с полярной осью и ось OZ, проходящая через начало полярной оси – полюс перпендикулярно плоскости П. Обозначим через - орт (единичный вектор), задающий положительное направление осиOZ.
Сферической системой координат каждой точке М ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел следующим правилом. Вектор разлагается в сумму:
+ z,
где М1 Далее сферическая система координат точке М ставит в соответствие три числа , где- расстояние от начала полярной оси до точки М, 0- полярный угол точки М1 , 0φ- угол между радиус-вектороми вектором, 0
Пусть заданы сферическая и правая декартова системы координат в пространстве, причем полярной осью служит ось абсцисс, а полюс О совмещен с началом О декартовой системы координат, ось OZ, проходящая через полюс , перпендикулярна плоскости П. Тогда между декартовыми координатами (х,у,z) и сферическими координатами (ρ,φ,) точки М в пространстве существует связь:
M(ρ,φ,)
M1