35. 6.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Углом между прямой l и плоскостью П называется острый угол между прямойl и проекцией l′ этой прямой l на плоскость П. Рассмотрим

Определим взаимное положение прямой и плоскости.

Угол между прямой и плоскостью определяется по одной из формул

В обоих случаях

1. 

- необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости;

2. –необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Чтобы определить точку пересечения прямой и плоскости необходимо решить систему уравнений прямой и плоскости относительно параметра t:

При этом возможны случаи:

1. , тогда Значение найденного параметраt подставляют в параметрические уравнения прямой и находят координаты (x,y,z) точки пересечения прямой и плоскости;

2. получаем . Уравнение решений не имеет, следовательно прямая и плоскость параллельны;

3. получаем . Уравнение имеет бесконечное множество решений, следовательно, прямая лежит на плоскости.

37. Лекция 7. Прямая линия на плоскости

7.1. Уравнения прямой на плоскости

7.2. Взаимное расположение прямых на плоскости

40. 7.1. Уравнения прямой на плоскости

a) Общее уравнение прямой

Прямую на плоскости можно задать как пересечение двух плоскостей.

Пусть пересекаются плоскости и, тогда

– уравнение прямой, которая лежит в плоскости xоy. Иначе: . Для удобства положим, что, тогда– общее уравнение прямой на плоскости, где– нормальный вектор прямой.

Замечание. 1) Уравнение одновременно определяет плоскость, параллельную осиоz и прямую в плоскости xоy.

2) Расстояние от точки M^*(x^*,y^*) до прямой определяется по формуле

б) Каноническое уравнение прямой

Пусть точка M₀(x₀,y₀)l, M(x,y) – текущая точка прямой и вектор – направляющий вектор прямой, тогда

–каноническое уравнение прямой на плоскости.

в) Параметрические уравнения прямой

Обозначим , тогда:– параметрические уравнения прямой на плоскости.

г) Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две точки M₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂), принадлежащие прямой l. Примем за направляющий вектор , и, используя каноническое уравнение прямой, получим:– уравнение прямой, проходящей через две точки.

д) Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая задана общим уравнением . Если, то прямая не проходит через начало координат и пересекает обе координатные оси. Преобразуем общее уравнение прямой:Положим тогда- уравнение прямой в отрезках, гдеa и b – отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях оx и оy соответственно.

Пример. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой 2x + 4y = 6 от координатного угла.

Решение

Составим уравнение прямой в отрезках:

е) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Определение. Углом наклона прямой l к оси oх называют угол , отсчитываемый от положительного направления осиоx до прямой l в направлении против движения часовой стрелки.

ФОпределение. Угловым коэффициентом прямой l называют тангенс угла наклона прямой l к оси оx; .

Возможны случаи:

1) – острый угол;

2) – тупой угол;

3);

4) Если , то.

Теорема 1. Если l не параллельна оy и проходит через две заданные точки M₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂), то угловой коэффициент вычисляется по формуле: .

Доказательство.

Рассмотрим :

Теорема 2. Если прямая l проходит через точку M₀(0,b) и имеет угловой коэффициент k, тогда её уравнение имеет вид .

Доказательство.

По теореме 1:

-уравнение прямой с угловым коэффициентом, b – начальная ордината.

При переходе от общего уравнения к уравнению с угловым коэффициентом поступают следующим образом:

и

ж) -уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

з) -уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом к.