71. Лекция 13. Линейные операторы

13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из Х в У

13.2. Свойства линейных операторов, действующих из Х в Х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора

13.3. Матрица линейного оператора

13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису

13.5. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

13.6. Линейная модель обмена

73. 13.1. Определение линейного оператора и его основные свойства. Линейное пространство операторов, действующих из х в у

Пусть Х и У – линейные пространства. Элементы этих пространств будем называть векторами.

Определение 1. Оператором по которому каждому вектору хставится в соответствие определенный вектор уи обозначается у =или у =.

Множество Х	Правило	Множество У
Произвольное	Отображение	Произвольное
Векторное пространство	Оператор	Векторное пространство
Нечисловое	Функционал	Числовое
Числовое	Функция	Числовое

Определение 2. Оператор называется линейным, если для любых х₁ и х₂ из множества Х и выполняются соотношения:

1. + (свойство аддитивности),

2) =λ∙(свойство однородности).

Линейный оператор переводит нулевой вектор пространства Х в нулевой вектор пространства У: = 0

Вектор у = называется образом вектора х, а вектор х называется прообразом вектора у.

Пусть илинейные операторы, действующие из Х в У.

Определение 3. Два оператора иназываются равными, если для=.

Определение 4. Суммой двух линейных операторов иназывается линейный оператор, определяемый равенством:

(+.

Определение 5. Произведением линейного оператора на числоназывается линейный оператор λ, определяемый равенством:

(λ=λ∙().

Определение 6. Нулевым оператором называется оператор, для которогодля

Нулевой оператор переводит все элементы из Х в нулевой элемент пространства У.

Определение 7. Противоположным к оператору называется линейный оператор -, определяемый равенством: -.

Множество всех линейных операторов обозначимL(Х,У). Это множество с указанными выше операциями суммы операторов и умножения на скаляр оператора, нулевым оператором и противоположным оператором образует векторное (линейное) пространство.

Примеры линейных операторов

1. Х=У= Rⁿ , Rⁿ отображение у = αх Rⁿ представляет собой умножение вектора на число и является преобразованием подобия;

2. Х- множество матриц-столбцов размера n⤫1,

У- множество матриц-столбцов размера m⤫1,

Отображение У=А∙Х представляет собой умножение матрицы А размера m⤫n на столбцы Х размера n⤫1;

3. Числовая функция у = к∙х.

74. 13.2. Свойства линейных операторов, действующих из х в х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора

Определение1. Линейный оператор называется линейным преобразованием пространства Х.

Изучим подробнее свойства линейных преобразований L(Х,Х).

Определение 2. Единичным или тождественным оператором называется линейный оператор, который ставит в соответствие этот же вектор х и обозначается,

Определение 3. Произведением операторов иL(Х,Х) называется оператор∙, действующий по правилу: (∙.

В общем случае ∙∙.

Свойства

1. λ∙(∙∙;

2. (

3. ;

4. (

Определение 4. Линейный оператор называется обратным для оператораL(Х,Х) , если ∙∙.

Обратный оператор для оператора обозначается символомИз определения следует, что

Если Если операторимеет обратный, то из условияследует, что=и потому х=0.

Линейный оператор L(Х,Х) действует в векторном пространстве Х взаимно однозначно, если для ₁, х₂₁х₂ соответствующие значения у₁ = .

Теорема. Для того, чтобы линейный оператор L(Х,Х) имел обратный , необходимо и достаточно, чтобыдействовал взаимно однозначно их Х в Х.