2.Дифференциальные уравнения

Задача 1.Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в видеj(х, у) = С.)

1.1. 4xdx - 3ydy = 3x^2ydy – 2ху^2dx.	1.2. .
1.3. - уdy = x^2ydy.	1.4. - уdy = x^2ydy.
1.5. 6xdx - 6ydy = 2x^2ydy – 3ху^2dx.	1.6. .
1.7. (е^2^x+ 5)dy + yе^2^xdx = 0.	1.8. .
1.9. 6xdx - 6ydy = 3x^2ydy – 2ху^2dx.	1.10. .
1.11. y(4 + е^x)dy - е^xdx = 0.	1.12. + ху^2 + x = 0.
1.13. 2xdx - 2ydy = x^2ydy – 2ху^2dx.	1.14. .
1.15. (е^x+ 8)dy - yе^xdx = 0.	1.16. .
1.17. 6xdx - ydy = yx^2dy – 3ху^2dx.	1.18. ylny + х=0
1.19. (1 + е^x)=ye^x.	1.20. + ху^2 + x = 0.
1.21. 6xdx - 2ydy = 2yx^2dy – 3ху^2dx.	1.22. y(1 + lny) + х= 0.
1.23. (3 + е^x)y=e^x.	1.24. .
1.25. xdx - ydy = yx^2dy – ху^2dx.	1.26. dx + 4(х^2у + у)dy = 0.
1.27. (1 + е^x)y=e^x.	1.28. 3(x^2y + y)dy + = 0.
1.29 2xdx - ydy = yx^2dy – ху^2dx.	1.30. 2x + 2хy^2 + = 0.

Задача 2.Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

2.1. .	2.2. .
2.3. .	2.4. .
2.5. .	2.6. .
2.7. .	2.8. .
2.9. .	2.10. .
2.11. .	2.12. .
2.13. .	2.14. .
2.15. .	2.16. .
2.17. .	2.18. .
2.19. .	2.20. .
2.21. .	2.22. .
2.23. .	2.24. .
2.25. .	2.26. .
2.27. .	2.28. .
2.29. .	2.30. .

Задача 3.Найти решение задачи Коши.

1. , у(1) = 0.

2. - уctgx = 2xsinx, у(p/2) = 0.

3. + уcosx = sin2x, у(0) = 0.

4. + уtgx = cos²x, у(p/4) = 1/2.

5. =x² + 2x, у(-1) = 3/2.

6. у = е^x(x + 1), у(0) = 1. 7. =xsinx, у() = 1.

8. =sinx, у(p) = .

9. =x², у(1) = 1.

10. , у(0) = 2/3.

11. , у(2) = 4.

12. , у(1) = е.

13. , у(1) = 1.

14. , у(1) = 4.

15. , у(1) = -5/6.

16. , у(1) = 1.

17. , у(1) = 3.

18. , у(1) = 1.

19. , у(1) = 1.

20. + 2ху = -2x³, у(1) = е^-1.

21. , у(0) = 2/3.

22. + ху = -x³, у(0) = 3.

23. , у(0) = 1.

24.

25. , у(0) = 1/2.

26. -ycosx = - sin2x, у(0) = 3.

27. - 4xy = - 4x³, у(0) = -1/2.

28. , у(1) = 1.

29. - 3x²y = x²(1 + x³)/3, у(0) = 0.

30. -ycosx = sin2x, у(0) = -1.

Задача 4.Найти решение задачи Коши.

1. + ху = (1 + х)е^-ху², у(0) = 1.

2. х+ у = 2у²lnx, у(1) = 1/2.

3. 2(х+ у) =xу², у(1) = 2.

4. + 4x³у = 4(x³ + 1)е^-4ху², у(0) = 1.

5. х- у = -у²(lnx + 2)lnx, у(1) = 1.

6. 2(+xу) = (1 + x)e^-xу², у(0) = 2.

7. 3(х+ у) = у²lnx, у(1) = 3.

8. 2+ уcosx = у^-1cosx(1 + sinx), у(0) = 1.

9. + 4x³y = 4у²e^4x(1 – x³), у(0) = -1.

10. 3 , у(0) = -1.

11. 2х- 3y = -(5х² + 3)у³, у(1) = 1/.

12. 3х+ 5у = (4x – 5)у⁴, у(1) = 1.

13. 2 + 3ycosx = e^2x(2 + 3cosx)y^-1, у(0) = 1.

14. 3(x+ у) =xу², у(1) = 3.

15. - у = 2xу², у(0) = 1/2.

16. 2х- 3y = -(20х² + 12)у³, у(1) = 1/2.

17. + 2xy = 2х³у³, у(0) = .

18. х+ у = у²lnx, у(1) = 1.

19. 2+ 3ycosx = (8 + 12cosx)e^2xy^-3, у(0) = 2.

20. 4+x³y = (x³ + 8)e^-2xy², у(0) = 1.

21. 3х- 12y = -(5х² + 3)у³, у(1) = .

22. 2(+ у) =xу², у(0) = 2.

23. +xy = (x - 1)e^xy², у(0) = 1.

24. 2 - 3ycosx = -e^-2x(2 + 3cosx)y^-1, у(0) = 1.

25. - у =xу², у(0) = 1.

26. 2(х+ у) = у²lnx, у(1) = 2.

27. + у =xу², у(0) = 1.

28. + 2уcthx = у²chx, у(1) = 1/sh1.

29. 2(+xy) = (x - 1)e^xy², у(0) = 2.

30. -ytgx = -(2/3)y⁴sinx, у(0) = 1.

Задача 5.Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

1. 3x²e^ydx + (x³e^y – 1)dy = 0.

2. .

3. (3x² + 4у²)dx + (8xy + e^y)dy = 0.

4. .

5. (y² + уsec²х)dx + (2xy + tgx)dy = 0.

6. (3x²y + 2у + 3)dx + (x³ + 2x + 3y²)dy = 0.

7. .

8. [sin2x – 2cos(x + y)]dx – 2cos(x + y)dy = 0.

9. (xy² + x/у²)dx + (x²y – x²/y³)dy = 0.

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. e^ydx + (cosy + xe^y)dy = 0.

20. (y³ + cosx)dx + (3xy² + e^y)dy = 0.

21..8

22. (5xy² – x³)dx + (5x²y - y)dy = 0.

23. [cos(x + y²) + sinx]dx + 2ycos(x + y²)dy = 0.

24. (x² – 4xy – 2y²)dx + (y² – 4xy – 2x²)dy = 0.

25. .

26. .

27. .

28. 2(3xу² + 2x³)dx + 3(2х²у + у²)dy = 0.

29. (3x³ + 6x²у+3xy²)dx + (2х³ + 3х²у)dy = 0.

30. xу²dx + у(х² + у²)dy = 0.

Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12. .
13. .	14. .
15. .	16. .
17. .	18. .
19. .	20. .
21. .	22. .
23. .	24. .
25. .	26. .
27. .	28. .
29. .	30. .

Задача 7.Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12. .
13. .	14. .
15. .	16. .
17. .	18..
19. .	20. .
21. .	22. .
23. .	24. .
25. .	26. .
27. .	28. .
29. .	30. .

Решение типового варианта индивидуального задания №4

Функция нескольких переменных

Задача №1. Найти частные производные и частные дифференциалы следующей функции.

Решение:

;

Задача №2. Вычислить значения частных производных ,,для данной функциив точкес точностью до двух знаков после запятой.

Решение: ;;;;;

Ответ: ;;

Задача №3. Найти полный дифференциал функции .

Решение:

; ;

Ответ:

Задача №4. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S: в точке

Решение:Найдем уравнение касательной плоскости в виде

. У нас ;;. Тогда уравнение касательной плоскости будет иметь вид:или уравнение нормали: принимает вид:

Задача №5. Найти вторые частные производные функции .

Убедиться в том, что

Решение:

Итак,

Задача №6. Исследовать на экстремум функцию

Решение:Используем необходимые условия экстремума функции, чтобы найти стационарные точки

точкастационарная точка функции

Вычислим ,,

; ;

Используя достаточные условия экстремума функции, получаем

экстремум есть, т.к. в точке (1,1) находится максимум функции

Ответ: