2.Дифференциальные уравнения

Задача №1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение:Данное уравнение перепишем в виде:

, далее это дифференциальное уравнение ( в дальнейшем ДУ) первого порядка с разделяющимися переменными, т.е.

или .

Ответ: - общий интеграл данного ДУ.

Задача №2.Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение: Данное уравнение является ДУ первого порядка, однородным, т.к. его можно привести к виду и однородная функция нулевого измеренияи, сделав замену переменных, привести к виду, далее вычисляя интеграл в левой части, найти ответ. У нас

; ;

.Окончательно:

Ответ: - общий интеграл ДУ.

Задача №3.Найти решение задачи Коши ,.

Решение: ДанноеДУ является линейным неоднородным ДУпервого порядка. Решим его методом вариации произвольной постоянной. Сначала решим ДУ однородное, т.е. . Это всегда ДУ с разделяющимися переменными- общие решение однородного линейного ДУ в таком виде будем искать общее решение неоднородного ДУ, где- неизвестная функция,Подставляеми у в исходноеДУ, будем иметь;

общее решение данного ДУ Найдем частное решение, используя начальные условия . Итак, задача Коши решена :найдено частное решение, ДУ, отвечающее начальному условию

Ответ:

Задача №4.Найти решение задачи Коши ,

Решение: Перепишем данноеДУ в виде это уравнение Бернулли. Решаем методом Бернулли:

общее решение исходного ДУ. Решим задачу Коши:

Ответ: - частное решение исходного ДУ, удовлетворяющего начальному условию

Задача №5. Найти общий итеграл дифференциального уравнения

Решение: Данное ДУ перепишем в виде

Проверим, является ли это ДУ в полных дифференциалах. У нас ;;;; так какданное ДУ является ДУпервого порядка, в полных дифференциалах, т.е. имеет вид ,откудаобщий интеграл исходного ДУ. Остается найти функцию, чей полный дифференциал стоит в левой части уравнения и,;

с другой стороны, значит ,

. Наконец, –и общий интеграл имеет вид–, окончательно,.

Ответ: общий интеграл

Задача №6.Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Данное ДУ второго порядка не содержит искомой функций, значит, замена переменных такова: , откуда уравнение принимает вид:или , т.е. становится ДУ I порядка линейным неоднородным, решаем его методом вариации произвольной постоянной. Сначала рассмотрим однородное уравнение:

всегда с разделяющимися переменными:

ищемобщее решение неоднородного ДУв таком же виде, только , т .е.

подставляя в неоднородное ДУ, получаем

. Найдем , выделив сначала целую часть дроби=

получим.Тогда

Ответ:- общее решение исходногоДУвторого порядка.

Задача №7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:Решаем данное дифференциальное уравнение III порядка линейное неоднородное с постоянными коэффициентами также, как и предыдущее.

Сначала имеет характеристическое уравнение,,,, умножение наx вызвано тем, что является простым корнем характеристического уравнения, и число 2 стоит множетелем при x в степени показательной функции . Значит

;

Ответ: