9. Случайные погрешности

Природаифизическаясущностьслучайных и систематиче- скихсоставляющих погрешностиизмерений различны. Однако практически во всех случаях при оценке как систематических (не исключенных остатков), так и случайных погрешностей, обраба- тывают определенный статистический материал, представляю- щий собой совокупность результатов измерений, на основе ком- плекса определенных статистических правил. В общем случае

рассмотрим эти погрешности как случайные величины. Природа

«случайности»уних различна.

Случайные погрешности в результатах измерений являются следствием многочисленных причин, например из-за физических процессов, происходящих в работающем приборе (трения, слу- чайного дрейфа характеристик элементов, шумов), или случай- ных изменений условий измерения, учет которых практически неосуществим. «Случайность» оценок систематических погреш- ностей – результат незнания или технической невозможности (например, ограниченной точности средств аттестации методик измерения) идеального определения их истинных значений. Од- нако влияние случайных погрешностей на конечный результат измерений можно уменьшить увеличением числа измерений. Приведенные ниже вероятностно-статистические модели случай- ных величин справедливы как для случайных и неисключенных систематических составляющих, так и для суммарной погрешно- сти измерений.

Теория погрешностей, использующая математический аппарат теории вероятностей, основывается на аналогии между появлени- ем случайных результатов при многократно повторенных изме- рениях и случайных событий.

Из теории вероятности известно, что для описания случайных величин используют законы ее распределения.

Закон распределения случайной величины устанавливает со- отношение между возможными значениями случайной величины X и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан в виде таблиц, формул, графически. Он дает полную информацию о свойствах случайной величины, позволя- ет оценить ее значение и определить вероятность нахождения ее значения в заданных границах.

Для дискретных и непрерывных (рис. 1.2, а) случайных вели- чин на практике часто применяют закон распределения в виде интегральной функции распределения F(x). Эта функция опреде- ляется вероятностью того, что случайная величина X_i в i опыте примет значение,меньшее некоторого значения х:

F( x ) P( X_i x ) P( X_i x ).

Интегральная функция распределения имеет следующие свой- ства: она неотрицательная, т.е. F(x) > 0; неубывающая, т.е. F(X₂)

> > F(X₂), если X₂ > X₁; изменяется от 0 до 1, т. е.

F(- ∞)=0,F(+∞) = 1.

Важным свойством, объясняющим универсальность и практи- ческую применяемость функции распределения, является то, что вероятность нахождения случайной величины Х в интервале (включая нижнюю границу) от x₁ до x₂ равна разности функций распределения, т.е.:

P( X₁ X X ₂ ) F ( X ₂ ) F ( X₁ ) ^.

(1.9)

Для описания распределения непрерывных случайных вели- чин часто пользуются первой производной функции распределе- ния F'(х), которую называют плотностью распределения. Это связано с тем, что производную функции распределения

p(x) F ^(x) ^{dF (x)}

dx

статистически (экспериментально) значительно

проще определить, чем саму функцию распределения.

Плотность вероятности р(х) (дифференциальная функция рас- пределения) определяется как предел отношения вероятности того, что случайная величина X примет значение внутри беско- нечно малого промежутка от х до х + dx к величине этого проме- жутка dx, когда dx→0:

p(x) lim

dx0

P( x X x dx) dx

(1.10)

Функция распределения выражается через плотность вероят- ности:

x

F(x) P( X x) _P( X )dx .



F(X)

1

P(X)

⁰ X 0

х1 х2 _X

а б

Рис. 1.2. Законы распределения непрерывной случайной величины: а – интегральный; б – дифференциальный

Вероятность попадания случайной величины в заданный ин- тервал (X₁,X₂) определяется как:

x 2

P(x₁ X x₂ ) F (x₂ ) F (x₁ ) _P( X )dx .

x1

Графически эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и прямымиХ=x₁, и Х= x₂ (рис. 1.2, б).

Статистическое описание случайной величины законами рас-

пределения достаточно сложно. На практике ограничиваются числовыми характеристиками законов распределения случайной величины, которые характеризуют определенные свойства этих законов распределения. Среди числовых характеристик случай- ных величин математическое ожидание, мода и медиана являют- ся характеристиками положения случайной величины на число- вой оси.

Математическое ожидание случайной величины (ее сред- нее значение) определяется каксумма произведений всех воз- можных значений дискретной случайной величины Х на вероят- ность этих значений Р:

i n

M X _X _i P_i .

i 1

(1.11)

Для непрерывной случайной величины математическое ожи- дание:



M X _XP(P)dx,



(1.12)

где Р(Х) – плотность распределения вероятностей случайной ве- личины X.

Мода M₀[X] – значение случайной величины X, имеющее у дискретной величины наибольшую вероятность, а у непрерывной

• наибольшую плотность вероятности. Кривую распределения, имеющую один максимум, называют одномодальной (см. рис. 1.2, б), два максимума – двухмодальной, несколько одинаковых максимумов – многомодальной.

Медиана M_в[Х] случайной величины X характеризует такое ее значение, для которого одинаково вероятно, окажется ли случай- ная величина меньше или больше M_в[Х]. В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.

Характеристиками рассеивания случайной величины являются дисперсия и среднеквадратичное отклонение.

Дисперсия случайной величины X – математическое ожида- ние квадрата отклонения случайной величины от ее математиче- скогоожидания. Для дискретной случайной величины дисперсия

n

i

D[ X ] [{X M ( X )}² ] _{X M ( X )}² P ,

(1.13)

i 1

для непрерывной случайной величины:



D[ X ] M[{X M ( X )}² ] 

_{X _i

M ( X )}² P( X )dX .

(1.14)



Среднеквадратичное отклонение случайной величины квад- ратный корень из дисперсии:

[ X ] 

D( X ) .

Кроме рассмотренных характеристик положения и рассеива- ния случайных величин используют ряд вероятностных характе- ристик, каждая из которых описывает то или иное свойство рас- пределения. К таким характеристикам относятся начальные и центральные моменты. Математическое ожидание случайной ве- личины X есть ее первый начальный момент М[Х] = α₁, а диспер- сия – второй центральный момент D[X]=µ₂. Третий центральный момент µ₃ характеризует степень асимметрии (скошенности) кривой распределения относительно математического ожидания. Для удобства за характеристику асимметрии принимают безраз- мерную величину, называемую коэффициентом асимметрии

3

_{A }M [(X M ( X )) ] _.

^S (( X ))³

При одномодальном распределении асимметрия положитель- на (A_S > 0), если мода M₀[X] находится слева от среднего значения М[Х], и отрицательна (A_S < 0), если мода M₀[X] находится справа от среднего значения М[Х] (рис. 1.3). При симметричном распре- деленииA_S = 0 (рис. 1.4, а).

Четвертый центральный момент jх4 численно характеризует островершинность или плосковершинность кривой распределе- ния и определяется безразмерной величиной E_x, называемой экс- цессом:

x

E M [(X M ( X ))⁴ ]/(( X ))⁴ 3.

P(X)

P(X)

A_S>0

A_S<0

0 M_{0 X}

M(X)

а

⁰ M(X) X

M₀

б

Рис. 1.3. Кривые плотности вероятности с положительными (а) и отрицательными (б) коэффициентами асимметрии

^P(X) E_x>0

E_x=0

E_x<0

а б

Рис. 1.4. Кривые плотности вероятности с различными коэффициентами эксцесса

При симметричном одномодальном распределении эксцесс положителен (E_x > 0), если кривая распределения островершинна, и отрицателен (Ех < 0), если кривая плосковершинна. Эксцесс равеннулю (E_x = 0) при нормальном распределении (рис. 1.4, б).

Используя эти три момента, можно построить теоретическую модель закона распределения.

Одним из наиболее часто употребляемых в метрологической практике теоретических законов распределения погрешностей измерения является нормальный закон распределения, обладаю- щий свойствами симметрии и монотонного убывания плотности вероятности:

• равные по абсолютному значению, но противоположные по знаку погрешности встречаются одинаково часто (аксиома сим- метрии);

• малые погрешности встречаются чаще, чем большие; очень большие погрешности не встречаются.

Нормальное распределение центрированной случайной вели- чины (погрешности)при М(Δ) = 0 является одномодальным и описывается выражением

P() 



¹ _e / 2_.

2 2

2

(1.16)

Для нормального закона распределения вероятность нахожде- ния погрешности между значениями X₁ и X₂ определяется разно- стью соответствующих значений функции распределения:

x₂

1 ^{2 2}

P( X ₁

X

₂ ) F ( X

₂ ) F ( X ₁ ) 



_e () / 2_dx.

2_x1

(1.17)

Графически эта вероятность представлена площадью под кри- вой, изображающей плотность вероятности между ординатами, соответствующими абсциссам X₁ и X₂.

Графики плотности (1.16) нормального распределения по- грешности при различных значениях δ приведенына рис. 1.5.

Очевидно что, чем меньше δ, тем круче кривая падает к оси Δ

и тем она островершиннее (δ₁<δ₂< δ₃).

Нормальный закон реализуется в тех случаях, когда погреш- ность измерений обусловливается большим числом случайных факторов (более четырех), каждый из которых вносит свою при- близительно одинаковую с другими долю в общую погрешность. При этом законы распределения составляющих погрешностей могут быть самыми различными (равномерными, треугольными, трапецеидальными, экспоненциальными и др.).

Если x₁= -∞, а x₂= +∞, то вероятность, определенная по (1.17), обратится в единицу, что соответствует площади под кривой (см. рис.1.2).

На практике для выполнения расчетов применяют нормиро- ванную функцию Лапласа, называемую также интегралом веро- ятностей

₁ t ₂ t

(t) 

_e^{t / 2} dt _(t)dt,

где t=x/δ.

2_{0 0}

Тогда расчетную вероятность нахождения погрешности в за- данных границах (X₁, X₂) можно найти, используя табличные зна- чения аргумента функции Лапласа:

P(x₁ x₂ ) (t ₂ ) (t₁ ),

(1.19)

где _t

x_{1 ;} x₂

₁ _

t₂ _.

Формула (1.19) позволяет рассчитать границы интервала (до- верительного интервала), в котором с определенной (до- верительной) вероятностью находится результат измерения (рис. 1.6).

ζ₁

ζ₂

ζ₃

-4 -3 -2 -1

0 1 2 3 ⁴ Δ

Рис. 1.5. Графики плотности нормального распределения погрешности при различных значениях δ

Основными точечными характеристиками погрешности изме- рений, которые оцениваются расчетным путем (до проведения измерений) по характеристикам используемых методов и средств

измерений или по результатам измерений (после осуществления измерительного процесса), являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение.

1

0,5

P(X) 0,4

0,2

а) б)

Рис. 1.6. Нормированные функции распределения: а – интегральная;

б – дифференциальная

Оценкой математического ожидания (МО) случайной величи- ны является среднее арифметическое значение (СКО) измеряемой величины:

n

i

X ¹ _X .

ⁿ i 1

(1.20)

Точечная оценка дисперсии:

i n

D[ X ] 

¹ _( X

X ) ² .

(1.21)

i

n 1 _{i 1}

Для получения характеристики рассеиваниярезультатовво- круг среднего арифметического значения в абсолютных единицах используют среднеквадратичное отклонение

i n

[ X ] 

D( X ) 

¹ _( X

X ) ² .

(1.22)

i

n 1 _{i 1}

Полученные оценки – математическое ожидание и средне- квадратичное отклонение являются случайными величинами, по- этому СКО ^X используют дляоценки разброса ^X :

S

S ^X

i n

1

_( X _i

X ) ² ,

(1.23)

^X _n n(n 1) _{i 1}

а СКО δ[Х] – для оценки разброса δ[Х]:

E_x 1

S_S_X

2 n

, (1.24)

где E_X – численное значение эксцесса.

Точечные оценки, характеризующие параметры распределе- ния в виде чисел, обычно используют при большом объеме вы- борки. С уменьшением объема выборки степень их достоверно- сти уменьшается, поэтому переходят к интервальным оценкам, позволяющим определить интервал (доверительный), в котором с заданной вероятностью (доверительной) находится истинное зна- чение оцениваемого параметра.

Вероятность того, что действительное значение измеряемой ве- личины X находится внутри доверительного интервала ^{( X x2 , X x1 )} , называется надежностью β при заданной точности.

В практике измерений применяют различные значения дове-

рительной вероятности, например: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973 и 0,999. Доверительный интервал и доверительную вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий измерений. Так, например, при нормальном законе распределения случайных по- грешностей со среднеквадратичным отклонением δ часто поль- зуются доверительным интервалом от +3δ до -3δ, для которого доверительная вероятность (по статистическим таблицам значе- ний функции Лапласа) равна 0,9973. Такая доверительная веро- ятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет боль- ше 3δ. Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десятков, появление даже одной случайной погрешности, большей 3δ , маловероятное событие, наличие же двух подобных погрешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все возможные слу-

чайные погрешности измерения, распределенные по нормально- му закону, практически не превышают по абсолютному значению 3δ (правило «трех сигм»). В случае, если погрешность выходит за значение З_ст, то его можно считать «промахом». Для определения

«промаха» используют критерии «трех сигм» – Смирнова, Райта,

Романовского, Шовенэ и др.