10. Обработка результатов измерений

Прямые многократные измерения. Точно оценить действи- тельное значение измеряемой величины можно лишь путем ее многократных измерений и соответствующей обработки их ре- зультатов. Правильно обработать полученные результаты наблю- дений – значит получить наиболее точную оценку действитель- ного значения измеряемой величины и доверительного интерва- ла, в котором находится ее истинное значение. Обработка должна производиться в соответствии с ГОСТ 8.207–76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Общие положения». В процессе обра- ботки результатов наблюдений необходимо последовательно ре- шить следующие основные задачи:

• определить точечные и интегральные оценки закона распре- делениярезультатов измерений [поформулам (1.20) и (1.22)];

• исключить «промахи» (по одномуиз критериев);

• устранить систематические погрешности измерений (см. разд. 1.8);

• оценить закон распределения по статистическим критериям (используются критерии x₂ – Пирсона, Колмогорова, составной);

• определить доверительные границы неисключенного остатка

систематической составляющей [см. (1.26)], случайной составля-

ющей [см.(1.19)] и общей погрешности результата измерения (см. разд. 1.11);

• записать результат измерения (см. разд. 1.13).

Прямые однократные измерения. Погрешность результата прямого однократного измерения зависит от многих факторов, но в первую очередь определяется, естественно, погрешностью ис- пользуемыхСИ.Поэтому в первомприближениипогрешность результата измерения можно принять равной погрешности, кото- рой в данной точке диапазона измерений характеризуется ис- пользуемое СИ.

В общем случае задача оценки погрешности полученного ре- зультата обычно осуществляется на основе сведений о пределе допускаемой основной погрешности средства измерения Δ_си (по нормативно-технической документации на используемые сред- ства измерений) и известным значениям дополнительных по- грешностей Δ_доп от воздействия влияющих величин. Условно счи- тают, что методические и субъективные погрешности при прове- дении измерения незначимы. Тогда максимальное значение сум- марной погрешности результата измерения (без учета знака) можно найти суммированием составляющих по абсолютной ве- личине:

_| _си

m

| | 

i1

доп

_{| .} (1.25)

Более реальную оценку погрешности можно получить стати- стическим сложением составляющих погрешности:

_k

m

i

_² ,

i 1

(1.26)

где Δ_i; – граница i-й неисключенной составляющей системати- ческой погрешности, включающая в себя погрешности средства, метода, дополнительные погрешности и др.; к – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при

Р = 0,95, коэффициент k = 1,11); m – число неисключенных состав- ляющих.

Результатизмерениязаписывается попервойформезаписи результатов согласно ГОСТ 8.011–72 «Показателиточности изме- рений и формы представления результатов измерений»:

^xi^; _; ^{P 0,95,}

где x_i – результат однократного измерения; Δ_Σ – суммарная по- грешность результата измерений; Р – доверительная вероятность (приР = 0,95 может не указываться).

При проведении измерений в нормальных условиях можно считатьΔ_Σ = Δ_си.

Методика обработки результатов прямых однократных изме- рений приведена в рекомендациях МИ 1552–86 «ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей результатов из- мерений».

Неравноточные измерения. В практике измерений имеют место также и неравноточные измерения, когда измерения одной и той же физической величины проводятся несколькими наблю- дателями различной квалификации и опыта, на приборах разного класса точности или в течение нескольких дней. Полученные значения средних арифметических отдельных выборок отлича- ются друг от друга, поэтому при оценке результата измерения и его погрешности учитывается степень доверия к полученным вы- борочным средним в виде «веса», который устанавливается для каждой серии измерений пропорционально одномуиз параметров (вероятности, числу измерений, величине среднеквадратичного отклонения) либо методом экспертных оценок. Если установлено, что все выборки неравноточных измерений принадлежат одной генеральной совокупности, то определяют статистические пара- метры этой генеральной совокупности и устанавливают границы доверительной вероятности по распределению Стьюдента.

В практике измерений случается, что при нескольких сериях измерений некоторые из них оказываются менее надежными. В этом случае степень доверия оценивается весомданной серии измерений. Чем больше степень доверия к результату, тем боль- ше число, выражающее вес. Среднее взвешенное значение изме- ряемой величины, наиболее близкое к истинному значению, со- ставляет

X P^* X

P^* ...X P^*

_{X }1 1 2 2 m m _, ⁰ P^* P^* P^* ...P^*

(1.27)

1 2 3 m

где

X₁ , X ₂ ,..., X_m

• средние значения для отдельных групп измере-

ний; _P^* _,P^* _,...,P^* – их вес.

1 2 m

В основу вычисления обычно кладут среднеквадратичные по- грешности. Веса соответственных групп измерений считают об- ратно пропорциональными их дисперсиям, т. е. используют зави- симость:

P^* : P^* : P^* : P^* 

1 _: 1 _: 1

: ¹ .

1 2 3

^m 2 2 2 2

1 2 3 m









Среднеквадратичная погрешность средневзвешенного значе- нияS₀ определяется по формуле

S₀ 

1 _,



m

(1.28)

P

*

i

i 1

P

i

где^*

– вес каждого результата измерений; m – число рядов из-

мерений.

Косвенные измерения. При косвенных измерениях значение физической величины z определяется по функциональной зави- симости ее с другими физическими величинами a₁,a₂,…,a_m:

z=f(a₁,a₂,…,a_m). (1.29)

При этом погрешность оценки систематической Δ_c и случай- ной Δ величины z зависит не только от погрешностей результатов измерений a₁,a₂,…,a_m , но и от вида используемой функциональ- ной зависимости (1.29).

Пусть каждая из величин a_j(j=1,2,…,m) измерена с системати- ческой погрешностью Δ_cj. Необходимо оценить значение погреш- ности Δ_z результата косвенного измерения.

Рассматривая z как функцию m переменных a_j, запишем ее полный дифференциал:

dz (df / da₁ )da₁ (df / da₂ )da₂ ...(df / da_m )da_m

или

m

dz _(df / da _j )da _j .

i1

Положив, что погрешности измерений достаточно малы, за- меним дифференциалы соответствующими приращениями:

m

^_c^{z }^{( df / da} _j ^)_c^a _j ^{. (1.30)}

j 1

Каждое слагаемое вида

( df / da _j )_ca _j

представляет собой

частную погрешность результата косвенного измерения, вызван- ную погрешностью Δa_j определения величины a_j. Частные произ- водные df/da_j называют коэффициентами влияния соответствую- щих погрешностей.

Оценим случайную погрешность результатов косвенных изме- рений. Пусть величины a_j измерены со случайными погрешностя-

ми _^_{a j}

, имеющими нулевые математические ожидания

2

_M^_{[ }^_{a j ] 0} и дисперсии _

[ ^]. ^{Запишем выражения для матема-}

^{тического ожидания} M [ ^] ^{и дисперсии} ² [ ^] ^{погрешности :}

^{m }df

M [] _da

_M a_j 0;



j1

^{ } 



 ^j 

2

m ^_df ^

^m df df

2 _{ } 2

^{[ ] }_{da }^

j ^{}_kj

da

 _k_j ,

da

^{j 1}_ j _

^{k 1} k j

где ρ_kj – коэффициент корреляции погрешностей ^_k

и ^_j .

Если погрешности ^_k

и ^_j , некоррелированы, то ρ_kj=0 и

2

^m _df 

_da 

^{2 [] }_^{ 2} j ^.

^j1 j

(1.31)

 

Таким образом, для оценки результата z косвенного измере- ния следует использовать формулу (1.29), а для оценки система- тических и случайных погрешностей – соответственно (1.30) и (1.31).

Заметим, что в общем случае при нелинейной функции ко- эффициенты влияния df/da_j, присутствующие в этих формулах, в свою очередь являются функциями значений величин a_j. Ко- эффициенты влияния обычно оцениваются путем подстановки в выражения частных производных оценок a_j. Следовательно, вместо самихкоэффициентов влияния получают лишь их оценки. Кроме того, иногда коэффициенты влияния определя- ют экспериментально. В том и другом случае они устанавли- ваются с некоторой погрешностью, что является еще одним источником погрешности при обработке результатов косвен- ных измерений.

Суммарную составляющую случайной погрешности косвен- ного измерения можно упростить, если пренебречь погрешностя- ми, имеющими малые значения. Согласно критерию «ничтожной погрешности», если меньшая по значению случайная погреш- ность δ₂ втрое меньше по значению большей по значению δ₁, т.е. δ₂ < 0,3δ₁, то ею можно пренебречь.