7.3 Методы выявления тенденций (метод укрупнения интервалов, метод скользящей средней).

Конечная цель анализа рядов динамики состоит в оценке развития процессов и явлений и определении основной тенденции в их изменении. В некоторых случаях закономерность изменения явления отображается достаточно четко на основе анализа изменения уровней и темпов роста, иногда уровни ряда претерпевают такие резкие изменения, что непосредственно по исходным данным нельзя установить наличие тенденции развития явления. Например, динамика телефонного, телеграфного трафика организаций связи всегда обнаруживает определенные колебания, в результате основное направление в изменении объема оказываемых услуг оказывается скрытым за этими колебаниями.

Ряд динамики социально-экономических явлений находится под влиянием множества факторов эволюционного, осциллятивного (циклического) и случайного характера. Изменения динамического ряда эволюционного характера определяют некое общее направление развития при элиминировании случайных и систематических колебаний и называются тенденцией развития, или трендом. Влияние факторов осциллятивного характера выражается в циклических (конъюнктурных) и сезонных колебаниях, отражающих периодические изменения уровней ряда (рост, максимум, снижение, снова рост и т.д.) в течение какого-то периода времени. Случайные (нерегулярные) колебания являются результатом действия второстепенных факторов или катастроф.

Статистическая наука применяет ряд методов преобразования рядов динамики, позволяющих обнаружить и показать основную тенденцию в развитии явления. Наиболее простым является метод укрупнения периодов (интервалов). Укрупнение периодов является простейшим методом преобразования рядов динамики. Чаще всего им пользуются, когда анализируют данные об изменении явления внутри года: суточные, недельные, месячные.

Другим методом преобразования рядов динамики является их сглаживание с помощью скользящей средней, или, как ее еще называют, подвижной средней. Этот метод состоит в последовательном вычислении средних величин по определенному числу членов ряда динамики, причем при вычислении каждой новой средней отбрасывается один член ряда слева (сверху) и присоединяется один член ряда справа (снизу). Скользящая средняя может быть вычислена по трем, четырем, пяти и т.д. членам ряда динамики. Статистика связи использует метод средних для обнаружения тенденции изменения ряда динамики в силу свойств средней улавливать общие черты и свойства совокупности единиц, давать им обобщенную характеристику.

7.4 Методы выявления тенденций (метод аналитического выравнивания). Выравнивание динамических рядов с сезонными колебаниями нагрузки. Выбор наилучшей аппроксимирующей зависимости. Понятие экстраполяции, интерполяции. Прогнозирование в заданном интервале.

Для отображения тенденции в развитии явлений важное место занимает способ аналитического выравнивания рядов динамики. При этом способе общее направление в развитии явления выражается плавно изменяющейся линией – трендом, характеризующим тенденцию его динамики. Аналитическая формула этой линии устанавливается математическими методами, при этом выбор формы кривой должен быть обоснован теоретическим анализом сущности данного явления и законов его развития.

Выравнивание может быть произведено по прямой или криволинейной зависимости, выражающей функциональную зависимость уровней ряда динамики от времени: = f(t).

Если явление развивается в арифметической прогрессии, т.е. цепные абсолютные приросты относительно стабильны: _i = const, то в качестве тренда берется прямая линия – линейная функция вида = a₀+a₁t.

Если относительно стабильными являются цепные темпы прироста, т.е. уровни ряда растут с какой-то постоянной скоростью, то в качестве тренда принимается экспонента (показательная функция) вида = a₀a₁^t.

При равномерном увеличении (уменьшении) цепных абсолютных приростов, т.е. монотонном изменении уровней ряда с возрастающей (убывающей) скоростью, в качестве аппроксимирующей функции принимается полином второй степени – парабола второго порядка = a₀+a₁t+a₂t².

При моделировании динамических рядов, в которых наблюдается быстрое развитие в начале ряда и затухающее его развитие к концу, т.е. стремление к некоторой предельной величине, применяются логистическая функция вида . При наличии экстремальных значений ряд динамики описываетсякривой Гомперца .

В приведенных уравнениях – значение уровня выравненного ряда;а₀ и а₁ – параметры уравнения; t – показатель времени (дни, месяцы, годы). В статистической практике параметры уравнений интерпретируются следующим образом: a₀ – характеризует средние условия ряда динамики, а₁ – изменение скорости (ускорения), в линейной функции показывает, на сколько изменится уровень ряда при изменении единицы времени на единицу.

Задача аналитического выравнивания сводится к тому, чтобы фактические значения ряда динамики Y заменить теоретическими Y_t, исчисленными на основании уравнения. Параметры уравнений находят различными методами: конечных разностей, наименьших квадратов, гармонического анализа. Для нахождения параметров уравнений методом наименьших квадратов решается система нормальных уравнений. Для уравнения прямой строится следующая система уравнений:

a₀n + a₁t = y,

a₀t + a₁t² = yt ,

где n – число членов ряда; t – показатель времени, обозначаемый порядковыми номерами, начиная с низшего, например: t = 1, 2, 3, 4 ...

Решение системы нормальных уравнений позволяет получить выражение для параметров a₀ и a₁: ;.

Так как в рядах динамики значения t являются показателями времени, то всегда можно им придать такое значение, чтобы их сумма была равна нулю, т.е. t=0. В этом случае система нормальных уравнений принимает вид

y = a₀n ,

yt = a₁t²,

расчет параметров упрощается: a₀=, a₁=.

Для определения параметров показательной функции = a₀a^t₁ сначала по методу наименьших квадратов логарифмируют уровни ряда, по системе нормальных уравнений находят логарифмы а₀ и а₁, которые затем потенцированием приводят к нормальному виду: lg a₀ = ; lg a₁ = (при t=0).

Параметры параболы второго порядка исчисляют следующим образом (при t=0): а₁ = ; параметры а₀ и а₂ находят решением системы:

a₀n + a₂t² = y,

a₀t² + a₂t⁴ = yt².

Наилучшую аппроксимирующую функцию выбирают по размеру:

стандартной ошибки: S = (гдеp – число параметров уравнения) или минимуму остаточной дисперсии: ²_ост = (y_t–)²/n.

Статистическая практика анализа рядов динамики в отрасли показывает, что для:

- выравнивания экономических показателей деятельности организаций, подотраслей и отрасли связи в целом в наибольшей мере подходят уравнения прямой, параболы второго порядка и экспоненты;

- прогнозирования результатов научно-технического прогресса, спроса и предложения новых услуг, средств связи – показательная и логистическая функции.

При анализе изменения объема услуг по месяцам года, дням недели, часам суток содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции, т.е. цикличность в изменении их уровней. Закономерность в колебаниях уровней ряда динамики характеризуется периодической компонентой, которая выявляется с помощью гармонического анализа.

Неравномерность спроса и поступления нагрузки в организациях связи оказывает серьезное влияние на предложения услуг, режим работы, использование средств связи, рабочей силы и резервирование производственных мощностей для передачи информации в часы наибольшей нагрузки (ЧНН). Задача статистики связи – выявить и измерить неравномерность нагрузки.

Внутригодовые колебания, имеющие более или менее регулярный характер, представляют собой сезонную компоненту ряда динамики. Закономерности в изменении уровней ряда динамики по месяцам года называются сезонными колебаниями. Мерой сезонных колебаний являются индексы сезонности I_S.

Индексы сезонности I_S являются мерой сезонных колебаний объема услуг связи, определяются отношением объема услуг за месяц к среднемесячному объему услуг за год: I_S = y_i100/ ,где y_i – объем услуг за i-тый месяц; – среднемесячный объем услуг за год; = y_i/12. Совокупность индексов сезонности I_S за один год или несколько лет образует сезонную волну. В практической деятельности организаций связи индексы сезонности по аналогии с коэффициентами суточной и часовой неравномерности называют коэффициентами месячной неравномерности, показывающими, во сколько раз нагрузка данного месяца больше или меньше среднемесячной нагрузки за год. Средние индексы сезонности рассчитывают двумя способами: на основании месячных индексов сезонности за ряд лет либо абсолютных данных о месячном объеме услуг за все эти годы. Для её оценки применяют различные методы:

1) если изменения ряда имеют определенную тенденцию, то вычисляют сезонную волну фактических уровней ряда y_i по отношению к выравненным по какой-либо функции (уравнению прямой, синусоиды или ряду Фурье): I_s = y_i100/;

2) если ряд не содержит ярко выраженной тенденции, то индексы сезонности рассчитывают по эмпирическим данным без предварительного выравнивания по формуле, соответствующей расчету коэффициентов месячной неравномерности: I_s = y_i100/.

В рядах с тенденцией сезонных колебаний производят аналитическое выравнивание по:

• синусоиде = A∙sin(t+), где t – период колебательного движения (длина волны t = /); A – полуамплитуда колебания, т.е. наибольшее и наименьшее отклонение от оси t;  – начальная фаза колебания. При t = 0 синусоида имеет вид =A∙sin ;

• ряду Фурье ,

где t – период времени (месяц, год); k – номер гармоники ряда Фурье, т.е. число синусоид, k = 1...m.

Параметры ряда Фурье при одной синусоиде (k = 1) и t = 0 находятся следующим образом: a₀ = ; a = cos t; b = sin t , где n – количество месяцев (лет).

Если все колебания членов ряда объясняются сезонными причинами (например, изменения количества посылок определяются временем созревания овощей и фруктов), то при равенстве среднего индекса сезонности = 100% (=I_si/n) уравнение тренда выражают только сезонные колебания нагрузки. Это дает основание использовать полученную аналитическую функцию для планирования производственных мощностей и расстановки кадров в будущем периоде. Поэтому наилучшее с точки зрения отражения сезонных колебаний нагрузки уравнение выбирают по минимуму среднего квадратического отклонения индексов сезонности от 100%:

 = .

В тех случаях, когда в рядах динамики отсутствуют некоторые данные, прибегают к интерполяции, т.е. определению неизвестных уровней внутри данного ряда. При прогнозировании уровней ряда в будущем при предположении сохранения закономерности развития, действующей в прошлом, используется экстраполяция.

При интерпретации считается, что ни выявленная тенденция, ни её характер не претерпели существенных изменений в том промежутке времени, уровень которого не известен.

Применение экстраполяции в прогнозировании базируется на следующих предпосылках:

- развитие исследуемого явления в целом следует описывать плавной кривой;

- общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не должна претерпевать серьёзных изменений в будущем. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, а в прошлое – ретроспективной.

Экстраполяция в общем виде можно представить формулой: ,

где - прогнозируемый уровень,- текущий уровень, Т – период упреждения,- параметр уравнения тренда.

Любой статистический прогноз носит приближенный характер, поэтому целесообразно определять доверительные интервалы к прогнозируемому значению уровня: или

где - средняя квадратическая ошибка тренда,- расчетное значение уровня,

- доверительная величина. Вместо -критерия Е.М. Четыркин предлагает брать коэффициенты (), которые приведены в его книге (Е.М. Четыркин Статистические методы прогнозирования. – М.: Статистика, 1975.).

Величина доверительного интервала ∆У_tможет быть определена также по формулам:

где: α – коэффициент доверия (обычно выбирается 0,05);

t_α– находится по таблице t- критерия Стьюдента (зависит от α и числа степеней свободы v = n – m);

n- число уровней ряда; m - число параметров уравнения (для уравнения прямой m=2).

S_Yt - среднее квадратическое отклонение от тренда;

ŷ_t – расчетное (выравненное) значение уровня.

ỹ_{прогноз} = ŷ_t ± ∆У_t

Статистические методы, реализованные в системе STATISTICA, позволяют построить объективный прогноз данных с вычислением нижних и верхних границ доверительных интервалов с определенной вероятностью (75, 90, 95%).