Landsberg-1985-T3

число их с по:vющью руки получить трудно, та!( как надо

слишком часто ею двигать. МОЖНО воспользоваться небс\1Ь­

ши);! электродвигателем, заставив его вращать простой кри­

вошипный мехаIIИЗ'.!. Установив этот ыехаНliЗ~1 горизонталь­

но и прикреfJ!!В к нему нижний конец шнура, ыожно полу­ чить большое число узлов и пучностей, как это показано

в правой част!! РI!С. 96.

-~~~-} Бегущие {}олны

7lш~--

---- СmОRчая	{jшrнCl	о Узлы СIТIIJЯ'llJtI {fолl'Ы
Рис. 97. ВО3НИКНОRсние	стоячей	волны	в	резу.'Iыате сложения двух
одинакопых		встречных		волн
Каки'.1 образом В	результате сложения двух встречных
б е г у Щ и х в о л н	rroлучаются		чередующиеся узлы и
пучности?

Рис. 97 показывает, как это ПРОI!СХОДИТ. Штриховыми

И ШТРПХПУНI<ТИРНЬ!'.11! ЛИНI!ЯМI! па нем изображены две ВОЛ­

ны, бегущие друг другу навстречу. Помещенные один под

ДРУГИМ рисунки дают картину нроцесса через каждую

восьмую часть периода. За это время бегущие волны пере­

двигаются навстречу друг другу вдоль прямой АВ на одну восьмую длины волны. В каждой точке прямой АВ взята

алгебраическая сумма отклонений от АВ (+вверх,­

вниз), и полученные таким путем точки соединены друг с

124

другом сплошной линией. Таким образом, сплошная кривая изображает результат сложения обеих бегущих волн.

Если проследить от рисунка к рисунку, как ведет себя

сплошная кривая, то мы увидим, что в точках, отмеченных светлыми кружками, она все время проходит через положе­

ние равновесия, т. е. здесь колебаний нет,- это узлы стоя­

чей волны. В промежутках между узлами, наоборот, полу­ чаются пучности, наибольший размах колебаний. Все точ­ ки, лежащие между двумя соседнИАLИ узлами, колеблются

в одинаковой фазе, но при переходе из одного промежутка между узлами к следующему фаза ;,tеняется на 1800.

§ 48. Колебания упругих тел как стоячие волны. Каждая из двух одинаковых бегущих волн, образующих стоячую

волну, переносит энергию в направлении своего распрост­

ранения. Так как эти направления противоположны друг

другу, то в результате переноса энергии в стоячей волне

нет. Энергия остается на месте, переходя из кинетическоЙ

в потенциальную и обратно (это и является главным осно­ ванием, чтобы называть такую волну «стоячей»). Таким

образом, процесс здесь такой же, как и при упругих коле­

баниях, о которых МЫ говорили раньше, например при ко­

лебаниях камертона или зажатой в тиски пластинки. И в

том, и в другом случаях мы имеем дело с гармоническим

колебанием частиц тела, происходящим с известной часто­

той, определяемой размерами и свойствами данного тела, причем отдельные участки этого тела колеблются с раз­ личными амплитудами. Правда, в случае колеблющейся

пластинки мы наблюдали лишь о Д н у точку, остававшую­ ся 13 покое (<<узел» располагался у зажатого конца пластин­ ки), в то время как при колебаниях шнура может образо­

ваться м н о г о узлов. Однако, как показано в следующих

параграфах, и камертон и пластинку можно заставить

колебаться с большей частотой, так что и на них образуется

несколько узлов.

Таким образом, между упругими колебаниями тела и

стоячими волнами в теле нет различия: колебания упругих

тел представляют собой стоячие волны в этих телах.

Получая стоячие волны на шнуре, мы поддерживали

эти волны извне движением руки или кривошипного меха­

низма. Другими словами, это были в ы н у ж Д е н н ы е колебания, их частота была навязана нашим воздействием

и равнялась частоте этого воздействия. Но стоячие волны

могут быть и с в о б о д н ы м и. Ударяя камертон, колокол, обыкновенный стакан, оттягивая и затем отпуская упругую

125

пластинку или натянутую струну, мы возбуждаем колеба­

ния, представляющие собой именно свободные стоячие волны. Конечно, такие колебания постепенно затухают

из-за трения и других потерь энергии.

Мы рассмотрим теперь свободные стоячие волны на при­

мере, позволяющем особенно просто получить и наблю­ дать такие волны,- на колебаниях натянутой струны.

§ 49. Свободные колебания струны. Для опытов со струной удобен прибор, изображенный на рис. 98. Один' конец

струны закреплен, а другой перекинут через блок, и к нему

Рис. 98. Прибор ДJJЯ исследования колебаний струны

можно подвешивать тот или иной груз. Таким образом,

с и л а н а т я ж е н и я с т р у н ы нам известна: она равна

весу груза. Доска, над которой натянута струна, снабжена
а)	t .	шкалой. Это позволяет быст:
		ро определить д л и н у всеи
rЬ';g;~~;;;$Щ		~aTc.f/ н ы или какой-либо ее
	t	Оттянув струну	посереди-
5)		не и отпустив, мы	возбудим

	~~~~~~;;~~~~=т~~ в ней колебание, изображен­
	~$;;;$-$;P:)?;;;;ul		ное на рис. 99, а. На концах
	~		струны получаются узлы, по-
	t	t	середине -	пучность *).
			С помощью этого прибора,
	~~ меняя массу груза, натягиваю­
	[////////////////////f		щего струну, и длину струны
	Рис. 99. Свободные КОJJебання		(перемещая	добавочный	за­
	струны: а)	с одной пучностью;	жим со стороны закрепленно­
	б) С двумя пучностями; в) с тре-
			го конца),	нетрудно экспери­
	мя	пучностями
			ментально	установить,	чем

определяется собственная частота колебания струны. Эти опыты показывают, что частота v колебания струны прямо пропорциональна корню квадратному из силы натяжения F

*) Такая форма колебания получается не мгновенно, но устанав­ ливается очень быстро.

126

струны и обратно пропорциональна длине 1 струны,

т. е.

Что касается коэффициента пропорциональности k. то он

зависит, как оказывается, только от плотности р того мате­

риала, из которого сделана струна, и от толщины струны d,

а именно он равен l/dl/~л:р. Таким образом, собственная

частота *) колебаний струны выражается формулой

1 -vry

v= тd лр .

В струнных инструментах сила натяжения F создает­

ся. конечно, не подвеШIlванием грузов, а растягиванием

струны при накручиваНIIИ одного 113 ее концов на враща­

ющийся стерженек (колок). Поворотом колка, т. е. изме­ нением силы натяжения F, осуществляется и настройка струны на требуемую частоту.

Поступим теперь следующим образом. Оттянем о д н у

половинку струны вверх, а другую­

в н и з с таким расчетом, чтобы средняя точка струны не сместилась. Отпустив одновременно обе оттянутые точки

струнь! (отстоящие от концов струны на четверть ее длины), мы увидим, что в струне возбудится колебание, имеющее.

кроме двух узлов на концах, еще у з е л п о с е р е Д и н е

(рис. 99, б) и, следовательно, две пучности. При таком

свободном колебании звук струны получается в два раза

выше (на октаву выше, как принято говорить в акустике), чем при предыдущем колебании с одной пучностью, т. е.

частота равна теперь 2v. Струна как бы разделилась на

две более короткие струны, натяжение которых прежнее.

Можно возбудить далее колебание с двумя узлами, де­

лящими струну на три равные части, т. е. колебание с тремя пучностями (рис. 99, в). Для этого нужно оттянуть струну

в трех точках, как показано стрелками на рис. 99, 8. Ча­

стота этого колебания равна 3v. Оттягивая струну в несколь­ ких точках, трудно получить колебания с еще большим

числом узлов и пучностей, но такие колебания возможны. Их удается возбудить, например, проводя по струне смыч-

*) Если затухание невелико, то оно почти не влияет на частоту сво­ бодных колебаний (§ 11). Поэтому МЫ говорим все время о с о б с т­

в е н н о й частоте, т. е. о частоте идеальных, совсем незатухающих

свободных колебаний.

127

ком в том месте, где должна получиться пучность, и слегка

придерживая пальцами ближайшие узловые точки. Такие свободные колебания с четырьмя, пятью пучностями И т. д.

имеют частоты 4v,		5v и т. д.
Итак,	у струны	имеется	целый н а б о р к о л е б а­
н и й и соответственно целый			н а б о р с о б с т в е н н ых
ч а с т о т,	к р а т н ы х н а и б о л е е н и з к ой ч а­

с т о т е

0.)

v. Частота v называется основной, колебание с частотой v называется основ­

ным тоном, а колебания с ча­

стотами 2v, 3v и т. д.- обер­ тонами (соответственно пер­

вым, вторым и т. д.).

В струнных музыкальных инструментах колебания струн возбуждаются либо щипком

или рывком пластинкой (гита­ ра, мандолина), либо ударом

молоточка (рояль), либо смыч­ ком (скрипка, виолончель).

Струны совершают при этом

не одно какое-нибудь из

собственных колебаний, а сра­ зу несколько. Одной из при­

	чин того, почему разные ин­
	струменты обладают		различ­
	ным	т е м б р о м	(§ 21),
б)	является как раз то, что обер­

тоны, сопровождающие основ­

Рис. 100. Свободные колебания

на частоте основного тона и

двух первых обертонов: а) пла­

стинки, зажатой в тиски; б) ка-

мертона

ное колебание струны, выра­

жены у разных инструментов

в неодинаковой степени. (Дру­ гие причины различия тембра

связаны с устройство:\<! самого

корпуса инструмента - его

формой, размерами, жест­ костью и т. п.)

Наличие целой совокупнос-

ти собственных колебаний и соответствующей совокупности собственных частот свойст­ венно всем упругим телам. Однако, в отличие от случая коле­ бания струны, частоты обертонов, вообще говоря. не обя­

зательно в целое число раз выше основной частоты.

На рис. 100 схематически показано, как колеблются при основном колебании и двух ближайших обертонах пла-

128

стинка, зажатая в тиски, И камертон. Разумеется,

j{a закрепленных местах всегда получаются узлы, а на сво­

бодных концах - наибольшие амплитуды. Чем выше обер­

тон, тем больше ЧИС.,10 дополнительных узлов.

Говоря ранее о б о д н о й собственной частоте упругих колеба­

ний тела, мы име.nи в виду его о с н о в н у ю частоту и попросту умал­ чивали о существовании более высоких собственных частот. Впрочем, !югда речь шла о колебаниях груза на пружине или о крутильных коле­ баниях диска на проводоке, т. е. об упругих колебаниях систем, у кото­ рых почти вся масса сосредоточена в одном месте (груз, диск), а дефор­ мации и упругие сиды - в другом (пружина, проволока), то для та­ кого выделения основной частоты имелись все основания. Дело в том, ЧТО в таких случаях частоты обертонов, начиная уже с первого, во много раэ выше основной частоты, и поэтому в опытах с основным колебанием

обертоны практически не проявляются.

§ 50. Стоячие волны в пластинках и других протяженных tелах. Стоячие волны могут получаться в телах любой

формы, а не только в таких сильно удлиненных телах, как

струна или шнур. Неподвижные

места стоячей волны - ее узлы­ представляют собой п о в е р х н о с­

т и, рассекающие объем тела на

участки, в середине которых наи­

более сильны колебания (пучности).

Строго говоря, мы и в случае струиы

или шнура имеем тоже узловые поверх­

ности - неподвижиые поперечные сечения.

Но так как протяженность этих сечений очень иевелика по сравнению с ДJl.иной струны или шнура, то мы говорим об У э­

л о в ы х т о ч к а х, рассматривая сами тела как геометрические линии.

,,?! r--			---		~J	u
ф,				-
l'			--		,,
					,	,
,	,	r-..			-~	,
,	,				,,
,	,				,	I
11					,"",
1 ,
1 ,
11
11					'1"
11					'1
"					l'
11
1

. ....J'-.,

Если тело приближается по сво­	~	~
ей форме к геометрической поверх­	-....	"
!:IОСТИ, т. е. представляет собой плас-	Рис. 101. Колебания ста­
тинку (плоскую или изогнутую)	кана (основное колебание)

или оболочку, то в нем узловые

поверхности можно считать у з л о в ы м и л и н и я м и.

На рис. 101 показано, как колеблется стакан, если уда­

рить его по краю. Узловые линии нарисованы жирно, а штриховыми линиями показано (в преувеличенном виде),

как изгибаются стенки стакана при этом - основном - колебании. Так же колеблется и колокол.

Наглядный и красивый способ наблюдения стоячих волн в пластинках придумал в 1787 г. немецкий физик Эрнст Хладни (1756-1827). На пластинку из стекла, металла или

5 Элементарный учебник физики, т. 111

129

дерева, закрепленную в какой-либо одной точке, насыпа·,

ется песок. Стоячие ВОЛНЫ в пластинке возбуждаются тем,

что где-либо по ее краю проводят натертым канифолью

смычком (рис. 102). Песок сбрасывается с пучностей и

собирается на УЗЛОВЫХ лИНИЯХ, образуя так называемые

фигуры Хладна. Эти фигуры

дают, таким образом, картину узловых линий, рассекающпх

новерхность пластинки при

ее колебаниях. Вид фигур за­

ВИСИТ от формы пластинки I! положения закрепленной точ­

КИ, а также от того, в каком месте проводить с~!ычком И

	где придерживать		при	этом
	пластинку пальцами. На рис.
	103 показано несколько при­
	меров фигур Хладни Б кв<щ-
Рис. 102. Получение фигур	ратной пластинке.
Хладни	Пример	стоячих волн в
	объеме тела	дают	нам	коле­

бания воздуха внутри какой-либо твердой (не обязательно

целиком замкнутой) оболочки. 80зьмем прямоугольный де­

ревянный ящик, у которого нет стенки A'B'C'D' (рас. 104).

Если воздух колеблется вдоль ребра АА', то при основно:-.1 колебании (наинизшая частота, наиБО,lьшая длина волны)

Рис. 103. Примеры фигур Хладни. Знаком п л ю с отмечены те пучно­ сти, где пластинка выгнута в данный момент кверху, а знаком м и­ н у с - книзу. Через четверть периода пластинка сде,Iается плоской,

а еще через четверть периода п л юсы прогнутся вниз, а м и н у-

с ы - вверх

мы получаем узловую плоскость на стенке ABCD и пучность в отверстии А'B'C'D'. На длине ящика АА' укладывается,

таким образом, четверть волны (рис. 105, а). В первом обер­

тоне мы имеем две узловые плоскости: одна по-прежнему

на стенке ABCD, где, очевидно, узел должен получаться во

всех случаях, а другая - на расстоянии полволны ОТ ЭТой

130

стенки и четверти волны от

открытого конца, в котором

опять мы имеем пучность.

Вдоль ребра АА' теперь укла­ дывается 3/4 волны (рис.

105, б), т. е. волна втрое ко­

роче, а частота втрое выше

основной. Частота второго обертона будет в пять раз вы­

ше основной (рис. 105, 8),

ит. д.

8

А'

А~--т-----rr

I

./'JP---------,"--~с'

"..."

]}

Рис, !О4. ЯЩИК без одной стенки

~-:::::::::.:.:;-..

..-----------..

- .... -..._------..

Рис. 105. Стоячие волны в ящн­

ке, изображенном на рис. 104: а) основное колебание; б) первый обертон; в) второй обертон

Рис. !О6. Стоячие вол­			Рис. 107. Стоячие волны в трубе, откры­
ны в закрытом ЯЩике:			той с обоих концов: а) основное КОJIеба­
а) основное КОJIебание;			ние; б) первый обертон; 8) второй обертон
б)	первый	обертон;
8)	второй	обертон

1"

Если з а к рЫТ Ь отверстие ящика, то при любых соб­

ственных колебаниях, направленных вдоль ребра АА', узловая плоскость должна будет получаться как на ABCD,

так и на А'B'C'D'. На рис. 106 по\,азаны основное коле­

бание и два первых обертона в этом случае.

Такого же характера стоячие волны получаются в тру­

бах разных сечений. На рис. 107 показаны основное коле­

бание и два первых обертона в круглой Tpyue, о т к р ы­ т о й с о б о и х к о н 11 о в. В этом случае у оБО1lХ концов получаются пучности колебаний.

Колебания воздушных столбов в трубах используются

в духовых музыкальных инструментах (орган, флейта и

т. д.).

§ 51. Резонанс при наличии многих собственных частот.

Мы знаем, что резонансные явления - нарастание ампли­

туды вынужденных колебаний системы - наступают тогда, когда частота силы совпадает с собстпенной частотой систе­

мы. Как будет обстоять дело в том случае, если у системы не одна собственная частота, а целый набор их?

При смотримся внимательнее к вынужденным колеба­ ниям шнура, нижний конец которого привязан к кривошип­ ному механизму (рис. 96). Частоту колебаний этого меха­

низма МОЖНО плавно менять с помощью ПОЛЗУНКОВОГО

рсостата, включенного в цепь электродвигателя, который

двигает кривошипный мехаНИ3:\1. .меняя таким образом час­

тоту силы, мы убеждае~lСЯ, что шшболее отчеТЛflвые узлы и

наиболее раздутые пучности получаются на IIIнуре именно

тогда, lюгда на нем укладывгется целое число пучностей,

т. е. когда частота силы совпадает с !( а к о й - л и б о из с о б (' т в е н н ы х ч а с т О т шнура.

ИТ<JJ<, если собственных частот не одна, а много, то резо­ IЮНСНЬze Я8ления под деЙС!llвuе,н гаРЛlOнuческой силы полу­

чаются при совпадении чштоты силы с любой из собствен­ ных частот системы. К каждой из этих собственных частот

применюю все, что было сказано раньше по отношеНIfЮ к

случаю одной-единственной собственной частоты (§ 13). Такие же резонансные явления, ]шнеЧI!О, мОжно полу­

чить, не ТОЛЬКО меняя частоту силы, но и меняя собственные

частоты системы так, чтобы они по очереди совпздаЛJJ с

частотой силы, остав.ТJяемоЙ неизменной. Возьмем высокий

цилиндрический сосуд (высоты около 50 см) и заставшл зву­

чать над его отверстием камертон (рис. 108). Для опыта следует взять камертон с достаточно высокой частотой, чтобы длина волны в воздухе была не слишком велика, например

132

\1= 1000 Гц (л.=З4 СМ). Желательно также .обеспечить неза· тухающие колебания камертона, например с помощью

прерывателя (рис. 56).

Наливая в сосуд воду, мы услышим, ЧТО звук камертона

при определенных уровнях воды значительно усиливается.

Это как раз те уровни, при которых длина остающегося в

сосуде воздушного столба равна нечетному числу четвертей

длины волны (рис. 105). С частотой ка­

мертона последовательно совпадают

второй обертон воздушного столба

(когда его длина составляет 5"-/4), пер­

вый обертон (при длине столба 3л/4) и основная частота (при длине стол·

ба Л/4).

Усиление звука при резонансе по­

	лучается потому, что сильные							коле­
	бания		воздуха на площади				отверс­
	тия	сосуда		создают	гораздо			солее
	сильную звуковую волну в					окружаю­
	щем	воздухе, чем колеблющиеся нож­
	ки самого камертона (причину							этого
	мы рассмотрим в следующем параг­
	рафе).
	лить звук камертона, его					укрепля­			Рис. 108. Резонанс
									столба воздуха на звук
	ют	на	резонансном		ящике,		о кото­
									камертона
	Именно поэтому, когда хотят уси­
	ром	мы уже		упоминали		выше		(см.

§ 22, рис. 40). При звучании камер-

тона его стержень колеблется вдоль собственного направ­

ления. Будучи укреплен на верхней стенке ящика, он за­

ставляет эту стенку прогибаться вверх и вниз, вследствие

чего воздух то выталкивается из ящика, то втягивается в не­

го. Таким образом, возникают колебания воздушного столба

вящике. Длина последнего берется равной как раз четверти

длины волны, создаваемой камертоном в воздухе. Следова­ тельно, основная частота столба воздуха в ящике, открытом с одной стороны, наС1 роена в резонанс на частоту камертона;

вящике получается сильное колебание, изображенное на рис. 105, а, и из его отверстия излучается гораздо более

сильный звук, чем дает сам камертон.

действие резонаторов Гельмгольца, о которых мы упоминали в § 24, тоже основана на резонансе колебаний воздуха, который заключен

в полости резонатора. Из всех частот, имеющихся в звуковой волие,

падающей на широкое отверстие резонатора (рис. 43), последний силь· нее всего ОТКЛИкается на частоты, равные собственным частотаМ кол,,-

133