Квантовая физика

Кислов А.Н.	Атомная физика

Рассмотрим, как можно вычислить среднюю энергию стоячей волны при классическом предположении, что излучение испускается непрерывно (подход электромагнитной теории света), т.е. энергия стоячей волны может принимать любое значение. Если исходить из статистического подхода, то по определению

E EdW (E) .

0

Здесь dW(Е) – это вероятность того, что значение энергии Е стоячей волны принадлежит интервалу [Е; Е+ dЕ]. Эта величина определяется по формуле

E

dW(E) Ae kbT dE , где нормировочный множитель А находится из условия

dW (E)

0

1

.

В связи с этим

E

k T

x

Ee

dE

E

2

xe

dx

b

E

0

введем переменную

x

k

T

(k

b

T )

0

k

T

E

b

k

T

b

тогда dE k

b

e x dx

b

b

Tdx

e

k T

dE

0

0

(e

x

)

1

0

.

При вычислении ‹Е› провели интегрирование по частям интеграла, стоящего

в числителе дроби:

					e x dx
	xe x dx (xe x )
		0
0 u dv				0
		0

1

.

Итак, для спектральной объемной плотности энергии электромагнитного поля получается выражение

u( ,T )	8 2			T .
		k	b
	c3

Учитывая связь u(ν,Т) с ε(ν,Т), для последней находим следующую формулу:

	( ,T )	2 2	k		T ,	(2.6)
		c 2		b

которая называется формулой Рэлея – Джинса. Проанализируем ее.

1. Формула удовлетворяет термодинамическому закону Вина (2.3).

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 31 из 142

Кислов А.Н.	Атомная физика

2.Она не дает максимума в спектре излучения.

3.Приводит к абсурдному результату: интегральная испускательная способность равна бесконечности ε(Т) = ∞. Этот результат находится в противоречии с опытом, поскольку равновесие между излучением и телом устанавливается при конечных значениях ε(Т).

4.Согласно формуле, в спектре теплового излучения большая часть энергии находится в высокочастотной области. Этот результат назвали «ультрафиолетовая катастрофа».

5.Кроме того, было установлено, что формула Рэлея – Джинса хорошо описывает только низкочастотную область спектра теплового излучения.

Расхождение формулы Рэлея – Джинса с результатами опыта указывало на то, что классическая электромагнитная теория света неприменима для описания коротковолнового (высокочастотного) теплового излучения. При теоретическом изучении теплового излучения необходимо учитывать какиелибо другие закономерности, не совместимые с представлениями классической физики.

2.5.Гипотеза квантов энергии. Формула Планка

иследствия, вытекающие из нее

Склассической точки зрения вывод формулы Рэлея – Джинса (2.6) является безупречным. Однако она не давала максимума в спектре теплового излучения и хорошо описывала его только в области низких частот. Эмпирическая формула Вина (2.5), полученная также с использованием принципов классической физики, давала максимум в спектре теплового излучения, но хорошо согласовывалась с результатами эксперимента только в области высоких частот. Таким образом, к концу XIX века существовали две формулы для вычисления спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела, которые соответствовали экспериментальным данным на ограниченных спектральных участках.

В 1900 г. Планку удалось вначале эмпирически найти формулу для ε(ν,Т), хорошо описывающую тепловое излучение на всем частотном интервале от 0 до ∞, а затем вывести ее теоретически. Однако для этого ему пришлось сделать предположение, противоречащее классическим волновым представлениям об излучении, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается (поглощается) не непрерывно, как считалось при выводе формулы Рэлея – Джинса, а дискретно, в виде отдельных порций с энергией ∆Е кратной некоторой величине Е, которая, в свою очередь, прямо пропорциональна частоте ν излучения (поглощения) Е = hν, где коэффициент пропорциональности h – это универсальная постоянная, называемая постоянной Планка. Ее значение равно h = 6,626·10-34 Дж·с (в СИ).

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 32 из 142

Кислов А.Н.	Атомная физика

Рассмотрим подход Планка более подробно. При выводе своей формулы Планк рассматривал излучающие центры абсолютно черного тела как линейные гармонические осцилляторы с электрическим зарядом, которые могут обмениваться энергией с окружающим их электромагнитным полем. Гипотеза, которую Планк использовал при выводе формулы, формулируется так: осцилляторы могут находиться только в определенных состояниях n, в которых их энергия Еn кратна величине Е = hν , т.е. Еn = nhν (n = 0,1,2,…). При испускании (поглощении) излучения осцилляторы переходят скачком из состояния n в другое состояние n/, при этом изменяется их энергия на величину ∆Е = (n – n/)hν. Важно отметить, что по Планку излучение испускается (поглощается) дискретно, порциями с энергией ∆Е, но оно непрерывно внутри этих порций.

На основании этой гипотезы, пользуясь статистическим методом, Планк вывел формулу для вычисления спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела. По определению среднее значение энергии ‹Е› излучения, с учетом того, что излучение дискретно, равно

E EnWn , n o

где Wn – это вероятность того, что осцилляторы находятся в состоянии n с

энергией Еn, определяется по Больцману как

множитель А находится из условия	Wn 1.
	n 0

		E
		n
Wn Ae		k T
			. Нормировочный
		b

Следовательно, среднее значе-

ние энергии ‹Е› излучения на частоте ν равно

nh

введем

переменную

k T

h

nx

nh e

ne

b

x

и учтем ,

n 0

n 0

d

nx

E

kbT

h

h

ln e

nh

dx

nx

n 0

÷òî

îíà

непрерывна

e

e

kbT

n 0

n 0

ïðè

изменении

n

.

Под знаком логарифма стоит сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем,

равным е-x, который меньше единицы. Эта сумма равна	1	, поэтому
	1 e x

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 33 из 142

Кислов А.Н.	Атомная физика

	E h	d	ln	1
		dx		e
			1

		e	x			h			h
	h
x		e		x		x	1		h
	1				e
									k T	1
								e
									b

.

Отметим, что при стремлении h к нулю, т.е. это случай, когда излучение предполагается непрерывным, среднее значение энергии ‹Е› равняется kbТ, что и получалось при выводе формулы Рэлея – Джинса.

Заменив в формуле Рэлея – Джинса среднее значение энергии ‹Е› на выражение, записанное выше, приходим к формуле Планка для вычисления спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела:

(

Рассмотрим следствия,

	2 h		3	1
,T )					.	(2.7а)
	c	2		h
				k T	1
			e
				b

вытекающие из формулы Планка.

1.Из этой формулы видно, что для фиксированной частоты ν с ростом температуры Т знаменатель дроби убывает, а сама дробь возрастает, следовательно, возрастает и спектральная испускательная способность ε(ν,Т) абсолютно черного тела (рис. 2.2).

2.Все рассмотренные ранее выражения, связанные с законами теплового излучения, могут быть получены с помощью формулы Планка.

а. Вычислив интегральную испускательную способность ε(Т) абсолютно черного тела путем интегрирования формулы Планка (2.7а) в диапазоне частот от 0 до ∞, получим закон Стефана – Больцмана (2.2). Покажем это.

введем

переменную

x

h

2 h

3

d

k

T

(T )

b

c

2

h

k

T

0

k T

1

тогда

d

b

dx

e

b

h

		2 k		b		4	T	4	x		3	dx
		c	2		h		3		e	x		1
								0

.

Определенный интеграл, стоящий в правой части этого выражения, является табличным

x3dx				4
0				15 ,
	e x 1

поэтому

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 34 из 142

Кислов А.Н.										Атомная физика
	2	5	k		4
							4		4
(T )				b		T		T		.
	15c		2	h	3

Заметим, что постоянная Стефана – Больцмана определяется через универсальные постоянные π, kb, с и h.

б. Формула удовлетворяет термодинамическому закону Вина (2.3).

в. Для случая высоких частот или низких температур

h
k	b	T

>> 1 из фор-

мулы Планка легко получить формулу Вина (2.5), пренебрегая в (2.7а) единицей по сравнению с ехр:

	2 h						h
( ,T )				3			k T
					e			.
							b
	c	2

	г. Для случая малых частот или высоких температур								h		<< 1, учитывая
									k	T
									b
	разложение
		h			h
	e	k T	1					,
		b
					k	b	T

формулу Планка преобразуем в формулу Рэлея – Джинса (2.6):

	2		2
( ,T )			k		T
		2		b
	c

.

Отметим, что можно перейти от формулы Планка, записанной через линейные частоты ν, к формуле, записанной через длину волны λ, которую часто используют в практических расчетах. Для этого следует воспользоваться соотношением

( ,T )d ( ,T )d

поскольку энергии излучения, заключенные в волн dλ, равны. Интегрируя это соотношение

,

интервале частот dν и длин

	( , T )d	( , T )d
0	0

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 35 из 142

Кислов А.Н.	Атомная физика

и проводя затем в его левой части замену переменной интегрирования ν на λ = с/ν, получим

		0		c
		( ,T )d	( ,T )		d
				2
	0

После смены пределов интегрирования в правой приходим к равенству

.

части этого выражения

		c
			d
		( ,T ) 2
	0				0
	из которого, с учетом (2.7а), находим
				c	2
		( ,T )	2 h
					5

( ,T )

		1
		hc
	e	k T
		b

d

.

1

,

(2.7б)

Блестящие результаты, достигнутые с помощью гипотезы Планка, были серьезным указанием на то, что законы классической физики неприменимы для описания теплового излучения. Возникала необходимость в создании новой теории, в которой нашла бы место идея о том, что некоторые физические величины изменяются дискретно, а не непрерывно.

2.6.Явление внешнего фотоэффекта и его законы

Кчислу явлений, в которых проявляются не волновые, а корпускулярные свойства излучения, принадлежит внешний фотоэлектрический эффект, или просто фотоэффект. Фотоэффектом называется процесс испускания электронов веществом под действием света.

Это явление было открыто в 1887 г. Герцем, который обнаружил, что проскакивание искры между цинковыми шариками разрядника происходит при меньшем напряжении между ними, если один из шариков осветить ультрафиолетовым светом. Однако Герцу не удалось правильно объяснить это явление. В 1888 г. Гальвакс установил, что причиной этого является появление при облучении свободных зарядов. Фотоэффект был подробно изучен в период с 1888 по 1889 г. Столетовым, который установил ряд важных закономерностей: 1) испускаемые под действием света с поверхности вещества частицы имеют отрицательный знак, 2) наиболее эффективное действие на фотоэффект оказывают ультрафиолетовые лучи, 3) величина испущенного

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 36 из 142

Рис. 2.3

Кислов А.Н.	Атомная физика

телом заряда пропорциональна поглощенной им световой энергии, 4) фотоэффект является безынерционным явлением, т.е. не обнаруживается запаздывание в появлении вылетающих частиц в интервале 10-10 с после начала освещения.

В 1898 г. Ленард и Томсон измерили отношение заряда к массе частиц, появляющихся при фотоэффекте, изучая их отклонение в электрических и магнитных полях. Основываясь на полученных данных, они пришли к выводу, что этими частицами являются электроны.

Основные законы фотоэффекта можно проверить на установке, схема которой показана на рис. 2.3. Свет интенсивности J проникает через кварцевое стекло в откаченную колбу и освещает катод К, изготовленный из исследуемого материала. Испущенные катодом фотоэлектроны перемещаются под действием электрического поля к аноду А. В результате в цепи появляется

фототок Iф, величина которого измеряется гальванометром. Напряжение V между анодом и катодом изменяется потенциометром R и измеряется вольтметром V. Известно, что величина фототока Iф зависит от количества фотоэлектронов, которые под действием света вылетают из катода и попадают на анод. Опыт показывает, что фототок зависит от материала катода и состояния его поверхности.

Экспериментально были установлены четыре закона фотоэффекта.

1. Согласно первому закону, называемому законом Столетова, величина фототока Iф прямо пропорциональна интенсивности J падающего на катод

света: Iф = α J.

На рис. 2.4 представлена линейная зависимость фототока Iф от интенсивности J. Данную зависимость получают следующим образом. Катод освещают монохроматическим светом при постоянных значениях частоты ν и напряжения V между катодом и анодом. В этих условиях измеряют величину фототока Iф при разных значениях интенсивности J падающего света.

2. Второй закон фотоэффекта утверждает, что для каждого вещества катода существует наименьшая

Стр. 37 из 142

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Кислов А.Н.	Атомная физика

частота νкр падающего света, ниже которой фотоэффект не наблюдается. Эта частота называется «красная граница фотоэффекта». Красная граница νкр различна для разных материалов и является их характеристикой.

Данный закон проверяется путем построения спектральной характеристики Iф(ν), т.е. зависимости величины фототока Iф от частоты ν падающего света, при постоянных значениях интенсивности J падающего света и напряжения V между катодом и анодом (рис. 2.5).

3. Третий закон фотоэффекта говорит о том, что максимальная кинетическая энергия Тmax фотоэлектронов (начальная скорость) не зависит от интенсивности J падающего света.

Анализ вольт-амперных характеристик, т.е. зависимостей величины фототока Iф от напряжения V между катодом и анодом, для нескольких значений интенсивности J падающего света при неизменном значении его частоты ν (рис. 2.6), позволяет подтвердить выполнение этого закона. При положительном напряжении V > 0 фототок Iф вначале возрастает с

ростом напряжения V. Затем, начиная с некоторого значения напряжения, фототок, достигнув максимального значения In, которое называется током насыщения, остается неизменным. В этом случае все выбитые из катода фотоэлектроны достигают анода. При отрицательном напряжении V < 0 создается задерживающее поле. Часть электронов, не обладающих достаточной для его преодоления кинетической энергией, не попав на анод, возвращается на катод. По мере увеличения задерживающего поля возрастает его тормозящее действие. При некотором отрицательном значении напряжения V = Vo (запирающее напряжение) все фотоэлектроны, даже имеющие максимальную кинетическую энергию

		mvmax2
	Тmax =		= e│Vo│ ,
		2

возвращаются обратно на катод. Особенностью представленных на рис. 2.6 кривых Iф(V) для разных значений интенсивности J падающего света является то, что значение Vo остается постоянным, а значит, Тmax не зависит от

интенсивности J падающего света.

4. Четвертый закон фотоэффекта утверждает, что максимальная кинетическая энергия Тmax фотоэлектронов (начальная скорость) зависит от ча-

Стр. 38 из 142

Рис. 2.7

Кислов А.Н.	Атомная физика

стоты ν падающего света, причем, зависимость является линейной. Выполнение этого закона можно проверить, построив вольт-амперную

характеристику для фиксированных, но разных значений частот ν падающего света и при его неизменной интенсивности J (рис. 2.7). Из приведенных кривых Iф(V) видно, что максимальная кинетическая энергия Тmax фотоэлектронов, связанная с величиной Vo, изменяется при изменении частоты ν падающего света. Причем, чем больше часто-

та, тем больше кинетическая энергия.

В линейном характере Тmax(ν) можно убедиться, если построить зависи-

мость абсолютной величины запирающего напряжения │Vo│ от частоты ν

Рис. 2.8 (рис. 2.8). Отметим, что угол α наклона прямой не зависит от материала, из ко-

торого изготовлен катод.

2.7.Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

иего экспериментальная проверка

Врамках классического волнового подхода к излучению невозможно объяснить законы фотоэффекта. Согласно волновой теории, электроны в металле, из которого сделан катод, под действием падающей электромагнитной волны совершают вынужденные колебания с амплитудой, пропорциональной амплитуде этой волны. При резонансе между собственными колебаниями электрона и колебаниями подающей волны амплитуда колебаний электрона становится большой, что может привести к разрыву связи электрона с металлом и выходу его наружу с некоторой скоростью. Кинетическая энер-

гия Ткин электрона, определяющая эту скорость, заимствуется у падающей волны, а ее величина находится в прямой зависимости от интенсивности J этой волны. Но это противоречит действительности, поскольку от интенсивности J падающей волны зависит только число выбиваемых фотоэлектронов

(первый закон фотоэффекта), а кинетическая энергия Ткин электронов не зависит от интенсивности J (третий закон). Кроме того, с позиций электромагнитной теории света нельзя объяснить и второй закон фотоэффекта.

В1905 г. Эйнштейн показал, что все основные закономерности фотоэффекта легко объясняются с корпускулярной точки зрения на излучение. Он развил идеи Планка, изложенные в п.2.5. Эйнштейн пришел к выводу, что излучение испускается, распространяется и поглощается только порциями с энергией Е = hν, и ввел термин для такой порции – «квант». В 1926 г. Льюис назвал «квант» фотоном.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 39 из 142

Кислов А.Н.	Атомная физика

По гипотезе Эйнштейна, в монохроматическом свете частоты ν все фотоны имеют одинаковую энергию Е = hν. Поглощение света представляется как поглощение одного фотона одним электроном. При этом фотон передает всю свою энергию электрону (считается, что вероятность поглощения электроном одновременно двух и более фотонов ничтожно мала).

Закон сохранения энергии при поглощении фотона выражается уравнением, которое называется уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

hν = А1 + А2 + Ткин ,

(2.8а)

где А1 – энергия отрыва электрона от атома (энергия ионизации); А2 – работа выхода электрона за пределы поверхности тела; Ткин – кинетическая энергия электрона. Согласно этому уравнению, энергия фотона, поглощенного электроном, тратится на отрыв электрона от атома, работу по выходу электрона за пределы поверхности тела и сообщение электрону кинетической энергии. Металлы характеризуются тем, что у них имеется большое количество свободных электронов, поэтому считается, что А1 = 0. Обозначим А2 через А, тогда для металлов имеем такое уравнение:

hν = А + Ткин .

(2.8б)

Опираясь на квантовый подход к излучению и уравнение Эйнштейна можно следующим образом объяснить законы фотоэффекта.

Первый закон: количество выбитых за единицу времени фотоэлектронов, определяющих величину фототока Iф, должно быть прямо пропорционально количеству падающих за это время фотонов, которые характеризуют интенсивность излучения J. Второй закон: фотоэффект имеет место только при условии, что hν ≥ А (для металла). Это означает, что существует минимальная частота νкр (красная граница) hνкр = А, для которой еще может наблюдаться фотоэффект. Третий и четвертый законы: из уравнения Эйнштейна видно, что кинетическая энергия Тmax электронов не зависит от интенсивности J, а зависит от частоты ν падающего света, причем линейно.

Отметим, что уравнение Эйнштейна допускает экспериментальную проверку. Наиболее точная проверка была выполнена Лукирским. Она заключалась в построении зависимости абсолютной величины запирающего напряжения │Vo│ от частоты ν падающего света:

Vo he Ae .

Данное линейное соотношение получается непосредственно из уравнения Эйнштейна (2.8б). Отношение h/e величины постоянной Планка h к заряду электрона е определяет угол α наклона прямой │VО│= f(ν) (рис. 2.8).

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 40 из 142