Квантовая физика

Кислов А.Н.	Атомная физика

как длина волны де Бройля для них несоизмеримо меньше размеров самих тел.

3. Длину волны де Бройля λ можно выразить через кинетическую энергию Ткин частицы, которой эта волна соответствует.

Для релятивистского случая v ≈ c. Учитывая, что величина импульса р

частицы связана с ее полной энергией Е соотношением

p	1	E	2	m	2	c	4
	c				o

, а

полная энергия Е выражается через кинетическую энергию Ткин (Е = Теин + moc2), после несложных преобразований (3.1) получим для длины волны де Бройля λ следующую формулу

	h			hc
	p		2	2m		c	2	T
		T
					o

Для нерелятивистского случая v << c:

.

hc

h

1

h

h

2m

c

T

2moT

T

2moT

mo v

T

2

2

o

1

2

2m

c

o

.

4. Пространственное распространение волн де Бройля характеризуют фазовая vф и групповая vгр скорости. Найдем связь между ними.

Рассмотрим волну де Бройля свободной частицы, двигающейся вдоль положительного направления координатной оси х. Эта волна представляется в виде плоской монохроматической (гармонической) волны с круговой частотой ω = 2πν и постоянной амплитудой А, и вид этой волны описывается формулой

	(x, t) A cos( t kx) A cos	1	(Et p		x)
				x

,

где k =2π/λ, Е = ħω и рх = ħk, а начальная фаза равна нулю. График функции Ψ,

показывающей распределение смещений всех точек в момент времени t = 0, приведен на рис. 3.3.

Рис. 3.3

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 51 из 142

Кислов А.Н.	Атомная физика

По определению, фазовая скорость vф волны – это скорость перемещения плоскости равной фазы. Она находится из условия постоянства фазы

волны: (ωt – kx) = const. Взяв производную координаты найдем фазовую vф скорость волны:

	v ф	dx				E	.
		dt		k		p
						x

х по времени t,

(3.3)

Групповая vгр скорость – это скорость перемещения определенной амплитуды волны. Для гармонической волны нельзя определить групповую vгр скорость, поэтому рассмотрим волну де Бройля Ψ, не являющуюся гармонической, а представляющую собой суперпозицию двух гармонических волн Ψ1 и Ψ2, распространяющихся вдоль положительного направления оси х с амплитудами А и почти равными частотами ω1 и ω2:

(x, t) 1 (x, t) 2 (x, t) A cos( 1t k1 x) A cos( 2t k2 x) .

Используем формулу сложения косинусов, тогда

2

k

1

k

2

2

k

1

k

2

(x, t) 2A cos(

1

t

x) cos(

1

t

x)

2

2

2

2

òàê êàê

2A cos(

t

k

x) cos(

t k

x) .

2

o

o

o

1

2

2

A

/

Полученный

результат

можно

истолковывать следующим образом.

Множитель А/ – это периодически

медленно меняющаяся амплитуда, а

аргументом второго косинуса явля-

ется фаза волны с частотой ωо

и вол-

новым числом kо.

Таким образом,

имеем волну с частотой ωо и модули-

рованной амплитудой А/. На рис. 3.4

для некоторого момента времени t

изображены две гармонические вол-

ны с мало различающимися частота-

Рис. 3.4

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 52 из 142

Кислов А.Н.	Атомная физика

ми и волна, возникающая в результате их суперпозиции.

Групповая

	волны: (		t
		2

vгр

k 2

скорость находится из условия постоянства амплитуды А/

x)	= const. Взяв производную координаты х по времени t,

определим групповую vгр скорость волны:

v гр	dx					d		dE		.
	dt		k			dk		dp
				k 0					x

Сравним фазовую vф и групповую vгр скорости между собой:

	d		d (v	ô	k)			dv
v гр						vô	k	ô	.
	dk		dk					dk

Учитывая, что волновое число k равно 2π/λ, можно записать

			2		2	dv			dv
	v гр vô			(		ô	) vô		ô	.
					2	d			d

(3.4)

Если в среде, в которой распространяется волна, отсутствует дисперсия, т.е. фазовая vф скорость не зависит от волнового числа k, тогда фазовая vф скорость равна групповой vгр скорости: vф = vгр. Это наблюдается для света в вакууме.

Если среда обладает дисперсией, т.е. vф = f(k), то возможны следующие два случая. При нормальной дисперсии, когда показатель преломления

		c	убывает при росте λ, т.е.
		vô

dvô d

> 0, групповая vгр скорость меньше фа-

зовой vф скорости: vгр < vф. При аномальной дисперсии, когда возрастает

		dv
	при росте λ, т.е.	ô	< 0, групповая vгр скорость больше фазовой vф скорости:
		d

vгр > vф.

3.4. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Свойства микрочастиц своеобразны и обусловлены двойственностью их природы. Вследствие корпускулярно-волнового дуализма природы микроча-

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 53 из 142

Кислов А.Н. Атомная физика

стиц им нельзя приписывать все свойства, присущие волнам или классическим частицам. Например, одно из свойств частиц, подчиняющихся законам классической механики, следующее: всякая частица в любой момент времени t занимает строго определенное место в пространстве, т.е. характеризует-

ся определенными координатами		, и обладает определенным импульсом
	r		p .

Ее движение происходит по некоторой траектории. Возможность одновременного и точного определения положения и скорости является столь характерным свойством классических частиц, что их состояние полностью задает-

ся совокупностью координат		и импульсов
	r		p . Наличие у микрочастиц вол-

новых свойств вносит существенное ограничение на возможность точного

описания их состояния. В мире микрочастиц нет понятия траектории. В заданный момент времени t можно определить точно либо координату r мик-

рочастицы, либо ее импульс p . При этом вторая величина будет совершенно

неизвестна. Ограничение на связь координаты и импульса микрочастицы для определенного момента времени t задается соотношением неопределенности Гейзенберга. Это соотношение было получено в 1927 г. и является следствием существующей двойственности природы частиц микромира.

Для того чтобы получить соотношение неопределенности Гейзенберга, воспользуемся понятием волнового пакета, т.е. ограниченного в пространстве волнового образования. Волновой пакет Ψ, зависящий только от одной пространственной координаты х и времени t, можно получить наложением бесконечного множества гармонических волн, распространяющихся вдоль положительного направления оси х с амплитудами А и почти равными частотами из малого интервала 2Δω около средней частоты ωо:

	k	o	k
	(x, t)		A cos( t kx)dk .
	k	o	k

Для любой среды существует зависимость ω = f(k), так как функцию ω(k) в ряд Тейлора около точки k0 по степеням

ω = vфk.

k k

Разложим k0 и огра-

ничимся двумя первыми членами в этом разложении, считая, что интервал

k	достаточно мал:
	(k) (k		)	d		k .
		o		dk k
					o

Подставим это соотношение в выражение для волнового пакета Ψ и введем новую переменную k k/. Затем, с помощью ряда преобразований, можно привести функцию Ψ к следующему виду:

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 54 из 142

Кислов А.Н.	Атомная физика

	k		d			/		/
A		cos (			t x)k		dk		cos( ot ko x)
			dk
	k			k	o

Вычислив этот простой определенный интеграл, получим

.

			d
	sin (						t x) k
			dk
					k	o
2 A k								cos(	t k	x)
		d						o	o
	(				t		x) k
		dk
				ko
			A		/

.

Из этого выражения видно,

	определяет функция типа	sin

что поведение

	, где	(	d
			dk

модулированной амплитуды А/

t x) k , которая при измене-

ko

нии аргумента ξ ведет себя

	главный максимум:		lim	sin
	осью абсцисс:	sin	0 .

следующим образом. Если ξ → 0, то имеется

1	, а при ξ → ±π, ±2π,… будет пересечение с

На (рис. 3.5) изображен волновой пакет в начальный момент времени t = 0. Важно отметить, что волновой пакет нельзя трактовать как некое материальное образование, моделирующее частицу. Этот термин используется в том смысле, что вероятность обнаружения микрочастицы, локализованной в определенном месте пространства, пропорциональна квадрату амплитуды волнового пакета, соответствующего ей.

Для волнового пакета, представленного на рис. 3.5, первые относительно главного максимума точки пересечения х1 и х2 с осью х будут определяться из условий

х1 k = –π , х2 k = π .

Если за протяженность пакета принять отрезок х = х2 – х1, то приходим к следующему равенству:

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005	Стр. 55 из 142
Рис. 3.5

Кислов А.Н.	Атомная физика

х k = 2π .

Если определить размеры пакета точнее и за его протяженность принять расстояние между следующими симметрично расположенными относительно главного максимума пересечениями с осью х, то получим

х k = 4π .

Таким образом, в общем случае имеем

х k ≥ 2π .

Умножим обе части этого неравенства на постоянную Планка ħ и учтем, что рх = ħk, тогда

х рх ≥ 2πħ = h ,

где х – это область, в которой может быть обнаружена микрочастица, а рх

– изменение в этой области х-й компоненты импульса микрочастицы. Для двух других координат y и z имеем аналогичные неравенства:

yрy ≥ h ,

zрz ≥ h .

Данные три неравенства называются соотношениями неопределенностей Гейзенберга.

Из представленных соотношений следует, что координаты и импульс микрочастицы не могут одновременно иметь определенных значений. Соотношения утверждают, что координаты и проекции импульса микрочастицы могут иметь значения, известные лишь с некоторой степенью неопределенности, и чем точнее известна координата, тем больше неопределенность в значении соответствующей проекции импульса.

Существует подобное неравенство и для таких физических величин, как энергия Е микрочастицы и время t:

Е t ≥ 2πħ = h .

Оно показывает, что чем больше время жизни t микрочастицы в некотором состоянии, тем меньше неопределенность в определении энергии Е микрочастицы в данном состоянии.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 56 из 142

Рис. 4.1

Кислов А.Н.	Атомная физика

Глава 4. Строение атома и теория Бора

4.1. Атомные спектры и их закономерности. Обобщенная формула Бальмера. Комбинационный принцип Рица

Важная экспериментальная информация, используемая при изучении строения атома, была получена из атомных спектров излучения и поглощения. Изолированные отдельные атомы могут испускать (поглощать) электромагнитные волны, причем спектр излучения (поглощения) состоит из отдельных спектральных линий. Такие спектры называются линейчатыми.

Исторически вначале был получен спектр атома водорода в видимой и близкой ультрафиолетовой областях (рис. 4.1). Четыре спектральных линии находятся в видимой части спектра.

При анализе спектра были установлены следующие закономерности: при увеличении частоты ν уменьшаются интенсивность J спектральных линий и расстояние между соседними спектральными линиями. Совокупность спектральных линий, обнаруживающих в своей последовательности такие закономерности, называется спектральной

серией.

Закономерность в расположении спектральных линий в спектре атомарного водорода долго не удавалось выразить математически. В 1885 г. Бальмер эмпирически подобрал формулу, с помощью которой находятся длины волн λ всех спектральных линий в данной области спектра водорода:

		n	2
	3645,6
		2	4
	n

Å ,

где n = 3, 4, 5… . Группа спектральных линий, которую можно получить по этой формуле, называется серией Бальмера. В 1890 г. Ридберг предложил записывать формулу Бальмера в виде

	4	(	1		1	) R(	1		1	) ,	(4.1)
					n 2				n 2
	3645,6		4			22

o

R ( A)

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 57 из 142

Кислов А.Н.	Атомная физика

где

1

– волновое число, используемое в спектроскопии и равное числу

длин волн λ, укладывающихся на единичной длине; R – постоянная Ридберга. Если волновое число выражается в обратных сантиметрах (см-1), то значение постоянной Ридберга R в этих единицах равно 109677,76 см-1 (из экспериментальных спектроскопических измерений).

Из формулы (4.1) видно:

1) при увеличении n разность между волновыми числами соседних спектральных линий уменьшается;

2) при стремлении n к бесконечности (n → ∞) волновые числа спек-

тральных линий серии Бальмера стремятся к пределу

ветствует высокочастотной границе этой серии;

3) при n = 3 получаем низкочастотную границу серии

	R	, который соот-
	4

Бальмера (или го-

ловную спектральную линию), для которой

1

5 36

R

.

Дальнейшие исследования показали, что в спектре атомарного водорода существуют и другие серии, расположенные в невидимых частях спектра. Положение спектральных линий в этих сериях определяется по формулам, аналогичным формуле для серии Бальмера (4.1).

В ультрафиолетовой области спектра водорода находится серия Лайма-

на:

R(	1		1		)	,	n 2,3,...
	2			2
			n
1

В инфракрасной области спектра водорода была обнаружена группа се-

рий.

Серия Пашена:

R(		1					1			)		,	n 4,5,...
								n 2
32
Серия Брэкета:
R(	1							1			)	,	n 5,6,...
								n 2
42
Серия Пфунда:
R(	1					1				)		,	n 6,7,...
52								n 2
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005													Стр. 58 из 142

Кислов А.Н. Атомная физика

Таким образом, волновые числа

всех спектральных линий известных

серий атомарного водорода можно вычислить по формуле, которая называется обобщенной формулой Бальмера:

R(	1
		2
	k

	1		)
		2
	n

,

(4.2)

где k = 1 для серии Лаймана, k = 2 для серии Бальмера, k = 3 для серии Пашена,

k = 4 для серии Брэкета, k = 5 для серии Пфунда, n = k+1, k+2,…

Введем обозначение: Т(n) =

R
n	2

, n = 1, 2, 3,… . Числа Т(n) называются

спектральными термами. В 1908 г. Риц на основе эмпирического подхода сформулировал комбинационный принцип: волновое число любой спектральной линии спектра атомарного водорода можно представить как разность двух термов Т(n) при каких-нибудь двух целых значениях n и k:

= Т(k) – Т(n ) .

Вдругой формулировке комбинационный принцип Рица выглядит так: если известны волновые числа двух спектральных линий одной и той же серии,

то их разность будет волновым числом

спектральной линии другой серии.

Например, известны волновые числа двух первых спектральных линий серии Лаймана:

1 = Т(1) – Т(2) и 2 = Т(1) – Т(3) ,

тогда их разность будет волновым числом первой спектральной линии серии Бальмера:

2 – 1 = Т(2) – Т(3) .

4.2.Модель атома Томсона и ее непригодность для описания

линейчатых оптических спектров

До середины XIX века в науке господствовало убеждение, что атомы являются неделимыми частицами материи. Движение материи понималось

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005

Стр. 59 из 142

Кислов А.Н.	Атомная физика

как механическое перемещение этих частиц. К концу XIX века начали накапливаться сведения, указывающие на сложную структуру атомов. Например, при изучении электрического разряда в газах были открыты электроны, которые, как выяснилось, вырываются из атомов и обладают массой, во много раз меньшей массы атомов. Таким образом, было установлено, что

1)атомы являются сложными системами электрически заряженных частиц,

2)атомы имеют электроны, 3) положительный заряд связан с основной массой атомов. Однако не было информации о распределении положительного заряда внутри атомов.

Первая попытка создания модели атома на основе существующих знаний была сделана в 1902 г. Уильямом Томсоном, а в 1904 г. модель развил Джозеф Джон Томсон. Согласно Томсону, атом представляет собой равномерно заполненную положительным зарядом сферу, внутри которой находятся маленькие по сравнению со сферой отрицательно заряженные электроны, двигающиеся около своих равновесных положений. Число электронов в нейтральном атоме должно быть таким, чтобы их отрицательный заряд компенсировал положительный заряд атома.

Рассмотрим атом водорода, исходя из модели Томсона. По объему Vс сферы радиуса Ro равномерно распределен положительный заряд величины е с объемной плотностью

ρ+

поскольку объем сферы равен

	=	e
		V
		c

V	c

		3e
		4 R

4 R3 o

3

3 o

.

,

Внутри сферы на расстоянии r < Ro			от центра (его равновесное положение)
находится один электрон с зарядом			-е и	массой m (рис. 4.2). Из-за того, что
электрон отклонился от положения равнове-
сия, на него будет действовать сила притяже-
ния F (r), направленная к центру сферы:
	F (r) eE(r) ,			(4.3)
где	E (r) – напряженность электрического по-
ля,	которое создается	положительным		заря-

дом в месте нахождения электрона.

	Рис. 4.2
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 2005	Стр. 60 из 142