Для того чтобы убедиться, что некоторые n векторов e1, e2 ,..., en

образуют один из базисов рассматриваемого n-мерного пространства R, достаточно показать, что векторы e1, e2 ,..., en

линейно независимы, т.е. равенство

1e1	2e2	... n en 0

справедливо лишь при 1= 2 = … = n= 0..

11

Для этого надо перейти к системе линейных однородных уравнений и решить ее. Если же эта система будет иметь бесчисленное множество решений, то векторы e1, e2 ,..., en не образуют базис и являются линейно зависимыми.

12

Замечание. Что собой представляет с математической точки зрения, например, накладная? Из накладной можно, в частности, узнать, что в магазин привезли 300 кг сахарного песку, 400 кг муки, 100 кг печенья и т. д. Что такое {300, 400, 100, …}?

Это арифметический вектор. Его компоненты – числовые графы в накладной.

13

Пример 1. В поваренной книге такой рецепт: Мхали по-грузински.

Выдать: 3 фунта шпината, 5 луковиц, по 1 корню петрушки и сельдерея, 1 ложка зелени укропа, ½ фунта грецких орехов, ½ фунта сливочного масла.

Далее идут указания, что со всем этим следует сделать.

Что перед нами? Опять арифметический вектор: {3; 5; 1; 1; 1; 0,5;0,5}.

14

Пример 2. Металлург решает такую задачу. Имеются три сплава. В одном килограмме первого сплава содержится 3 г хрома, 5 г цинка, 5 г марганца и 2 г никеля. Для второго и третьего сплавов соответствующие добавки имеют вид: 2 г Cr, 1 г Zn, 5 г Mg, 0 г Ni и 0 г Cr, 3 г Zn, 2 г Mg, 1 г Ni. Можно ли из этих сплавов получить новый сплав, в котором добавки будут составлять: 1 г Cr, 3 г Zn, 3 г Mg и 1 г Ni? В каком отношении следует соединить имеющиеся сплавы, чтобы получить сплав требуемого состава?

15

Решение.

Ясно, что при решении этой задачи металлург будет иметь дело с векторами. Исходные сплавы описываются векторами:

x1	x2		x3
= {3; 5; 5; 2},		= {2; 1; 5; 0}, = {0; 3; 2; 1}.
			y
Сплав, который необходимо получить,
задается вектором			={1;3;3;1}.

В каждом векторе первая координата означает количество хрома, вторая–цинка и т.д.

16

Пусть теперь x, y, z - количества 1-го, 2-го и 3-го сплавов соответственно, которые нужно взять, чтобы получить новый сплав. Тогда

имеем

y x x1 y x2 zx3

или

{1;3;3;1}=x{3;5;5;2}+y{2;1;5;0}+z{0;3;2;1}

17

3x 2y 0z 1,

5x y 3z 3,5x 5y 2z 3,

2x 0y z 1.

Решив эту систему 4-х неоднородных линейных уравнений с 3- мя неизвестными получим ответ на поставленный вопрос

18

Пример 3. Пусть в магазине имеется набор из 5 товаров, количество и стоимость (в тыс.

Требуется определить общую стоимость всего товара в магазине.

19

Решение.

Введем в рассмотрение вектор

x={50,150,75,100,200},

координатами которого являются количество i –го товара (i=1,2,3,4,5) и вектор

y ={35,40,70,80,20},

образованный из цен на эти товары. Тогда искомую общую стоимость S можно найти по формуле

S= x y =

=50 35+150 40+75 70+100 80+200 20=24900

.

20