3.3. Квадратичные формы.

Классификация кривых второго порядка

До сих пор векторы использовались для описания линейных объектов. В этом разделе будет рассмотрено, как вектора и матрицы можно использовать для описания нелинейных объектов.

42

Опр. Квадратичной формой в n- мерном пространстве называется скалярное произведение следующего вида:

Q(x1, x2 , , xn ) (x, Аx)

a11

(x1x2 xn ) an1

a1n

ann

	x1
	x2			n	n
			aijxi x j
				i 1	j 1
	xn

где матрица А - симметричная.

43

Опр. Канонической квадратичной формой

наз. квадратичная форма, содержащая только квадраты переменных

Q(x1, x2 , , xn ) (x , x )

1(x1x2 xn ) 0

			x1
	0
					n	2
		x2
					i xi
					i 1
	n
		xn

44

3.3.1. Квадратичная форма в двухмерном пространстве

			a11				a12		x
Q(x, y) (x, Аx) (x y)						a
			a					22	y
				12
(xa ya		xa ya		)	x		a x2			2a xy a			y2
			22									22
11	12	12							11		12
					y

Каноническая квадратичная форма имеет вид:

Q(x* , y* ) 1x*2 2 y*2 ,

где 1 2 = а11 а22 - а12 а21 = det A

45

3.3.2. Классификация кривых второго порядка

Кривые второго порядка: эллипс, гипербола и парабола - задаются квадратичными формами в двухмерном пространстве, причем если

1. 1 2	0	эллипс
2. 1 2	0	гипербола
3. 1 2	0	парабола

46

Пример 1.

Определить тип кривой второго порядка заданной уравнением x2+xy+y2=1.

Решение.		1			1
						2
	А	1
					1
			2
Имеем,	1 2 detA									1				1		1	1	0
														2
											1		1				4
											2

Итак, x2+xy+y2=1 - эллипс.

47

Пример 2.

Определить тип кривой второго порядка, заданной уравнением: xy=1 .

Решение.

	0				1			1	0
1 2					2
		1		0				4
		2

Значит, xy=1 - гипербола.

48