3.2.3.Линейная модель обмена

Вкачестве примера математической модели экономического процесса, приводящейся к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть имеется n стран S1, S2,…, Sn

национальный доход каждой из которых равен соответственно x1, x2,…, xn .

32

Обозначим коэффициентами aij долю национального дохода, которую страна Sj тратит на покупку товаров у страны Si .

Будем считать, что весь национальный доход тратится на покупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

n
aij 1 ( j 1,2, n).	(*)
i 1

33

Рассмотрим матрицу

	a11	a12		a1n
	a21	a22		a2n
						,
A		........	.....	.......
.........
	an1	an 2		ann

которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с (*) сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

34

Для любой страны Si (i=1,2,..,n) выручка от

внутренней и внешней торговли составит:

рi ai1x1 ai2x2 ain xn .

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны , т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:

ði xi , (i 1,2, , n).

Если считать, что pi >xi (i=1,2,..,n), то
получаем систему неравенств	35

a11x1 a12x2 a1n xn x1,a21x1 a22x2 a2n xn x2 ,

.........................................

an1x1 an2x2 ann xn xn

Сложив все неравенства системы, получим после группировки

x1(a11 a21 an1) x2 (a12 a22 an2 )

xn (a1n a2n ann ) x1 x2 xn

36

Учитывая (*), выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству

x1 x2 xn x1 x2 xn

Таким образом, неравенство pi >xi (i=1,2,..,n)

невозможно, и условие

рi xi (i 1,2, , n)

принимает вид pi=xi (i=1,2,..,n).

(С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль).

37

Вводя вектор	x1
	Х x	2
	x3

национальных доходов стран, получим уравнение

A X = X

т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающему собственному значению

38

Пример.

Структурная матрица торговли трех стран S1, S2, S3 имеет вид:

1 3	1 4	1 2
А 1 3 1 2 1 2			.
	1 4	0
1 3

Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли.

39

Решение.

Находим собственный вектор х, отвечающий собственному значению решив уравнение (A-E)X=0 или систему уравнений

2 3		1 4	1 2		x1				0
	1 3	1 2 1 2							0
					x	2
	1 3	1 4	1						0
					x3

методом Гаусса. Найдем х1 = 3/2 с; х2 = 2 с ; х3 = с, т.е. Х = (3/2 с; 2c; c).

40

Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов Х = (3/2с; 2c; c) т.е. при соотношении национальных доходов стран 3/2:2:1 или 3:4:2.

41