Пример 4.

На предприятии имеется шесть цехов. Плановые задания цехов (в млн. руб.) образуют вектор план

x ={200,300,400,500,600,100}. Предположим, что к какому-то моменту

цехи выполнили свои планы соответственно на 20%, 40%, 50%, 70%, 30%, 10%. Определить стоимость S произведенной предприятием продукции на данный момент.

21

Решение.

Если ввести в рассмотрение вектор выполнения плана

y ={0,20; 0,40; 0,50; 0,70; 0,30; 010},

то имеем S= x y =200 0,20+300 0,40+ +400 0,50+500 0,70+ 600 0,30+100 0,10=900.

22

Замечание.

• Следует отметить, что под x , y , z можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством. Линейным пространством является, например, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа n.

23

Легко убедиться, что если x и y - многочлены степени не выше n, то они будут обладать свойствами 1- 8. Заметим для сравнения, что, например, множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу n не является линейным пространством, так как в нем не определена операция сложения элементов, ибо сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени ниже n.

24

А множество многочленов степени не выше n, но с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку в этом множестве не определена операция умножения элемента на число: такие многочлены нельзя умножать на отрицательные числа.

25

Из определения векторного (линейного) пространства, в частности из аксиом 1-8, вытекает существование единственного нулевого вектора, равного произведению произвольного вектора на действительное число 0 и существование для каждого вектора единственного противоположного вектора -, равного произведению этого вектора на действительное число (-1).

26

3.2. Линейные операторы

27

Линейные операторы описывают самые различные объекты практически во всех областях науки и являются одним из фундаментальных понятий матричной алгебры.

Опр. Линейным оператором называется такая квадратная матрица порядка n , под действием которой любой вектор x , принадлежащий пространству Rn,

преобразуется в вектор y , принадлежащий тому же пространству.

28

x R	À y R ,
n			n
ò .å.	Àx	y.

29

3.2.1.Собственные вектора, собственные числа линейного оператора

Опр.Собственным вектором линейного оператора А называется такой вектор , который под действием этого оператора испытывает только масштабное преобразование:

30

Аx(i) i x(i) ,

где - собственные числа, x(i)- собственные векторы.

31