4.2. Классификация траекторий.

Аналогично тому, как это было сделано в одномерном случае при графическом задании потенциальной энергии частицы , классификацию классически допустимых траекторий частицы, движущейся в центральном поле, можно провести на графике эффективной потенциальной энергии . Рассмотрим для этого несколько примеров. В первом примере изучим движение частицы в цилиндрической системе координат, когда на частицу не действуют никакие силы. Выбирая систему координат так, что движение частицы происходит в плоскости имеем

,

откуда следует, что если то и , где и , т. е. траектория частицы представляет собой прямую (рис. 5.4), проходящую через начало координат. Пусть (рис. 6.4), тогда . Траектория, как можно убедиться, является любой прямой, проходящей от начала координат на расстоянии (это минимальное расстояние от «центра поля») и касающейся окружности радиуса .

Найдем в явном виде:

. (16.4)

Направим полярную ось из начала координат к т. е. угол будем отсчитывать от этого направления. Из (16.4) следует, что и уравнение траектории есть уравнение прямой (рис. 7.4), параллельной оси . Движение как при , так и при происходит в неограниченной области, т. е. является инфинитным.

В качестве второго примера рассмотрим движение частицы массы в поле (так называемый трехмерный изотропный гармонический осциллятор), . Очевидно, что если , то задача сводится к задаче одномерного гармонического осциллятора, рассмотренной выше. В этом случае частица будет совершать простое прямолинейное гармоническое колебание. Область движения ограничена, а траектория проходит через начало системы координат (центр поля). Если , то (рис. 8.4) и движение классически допустимо, если только энергия частицы где - минимальное значение эффективной энергии. Здесь определяется условием

.

Движение частицы с полной энергией заключено в области , где - «точки поворота» траектории. Нетрудно показать, что траектория в неявном виде задается интегралом

,

где . Вычисляя интеграл и затем обращая формулу, получим

.

Если полярную ось направить к то ,

.

Рис. 8.4 Рис. 9.4

Траекторией частицы является эллипс, центр которого находится в центре силы. Траектория дважды касается окружностей с радиусами и соответственно. На рис. 9.4 изображен случай, когда полярная ось направлена к т. е..

4.3. Падение на центр поля

Принципиально новая ситуация возникает, если, например, центральное поле имеет вид

.

Пусть тогда имеет вид, как на рис. 10.4. В точке имеет абсолютный максимум, а в точке - относительный минимум. Будем считать, что момент импульса частицы удовлетворяет неравенству . Если это так, то имеет два экстремума, как на рис. 10.4. Заметим, что если , то и , а если , то вообще не имеет экстремумов. Из графика видно, что если то движение происходит в неограниченной области пространства и, в частности, частица может достичь центра поля (ее радиальная координата может стать равной нулю). Такую ситуацию называют падением на центр поля. Следует заметить, что падение на центр поля возможно при любой энергии, если частица в начальный момент времени находится левее точки (разумеется, в классически доступной области).

Рис. 10.4 Рис. 11.4

Рис. 12.4

Рис. 13.4

Получим условие падения частицы на центр поля в общем случае. Из (14.4) следует, что в классически доступной области движения должно выполняться неравенство

. (17.4)

При падении на центр поля и, значит, так как ограничена, то

. (18.4)

Очевидно, если потенциальная энергия при малых ведет себя подобно степенной функции , то это условие выполняется при , если ; при , если .

Вернемся к нашей задаче. Если энергия частицы равна то качественно траектория имеет вид, как на рис. 11.4, где изображен случай . Вообще, чем ближе к нулю при фиксированном , тем меньше искривлена траектория (тем дальше от центра проходит частица и, следовательно, тем меньше она взаимодействует с центром). Если энергия частицы равна , где , то скорость частицы в радиальном направлении вблизи уменьшается, и в этом направлении она движется очень медленно. При этом поскольку , то есть конечная величина и радиус-вектор вращается с угловой скоростью . Поэтому частица может достаточно долго вращаться вокруг центра, прежде чем она пройдет интервал значений  (рис. 12.4). При , точно равной , траектория частицы представляет собой либо спираль, приближающуюся к окружности радиуса с центром в центре поля (извне, если , или изнутри, если ), либо окружность радиуса (если ).

Движение по окружности неустойчиво, так как сколь угодно малое изменение начальных условий (т. е. или ) приводит к траектории, удаляющейся от этой окружности при больших (рис. 13.4).

Наконец, при частица совершает финитное движение в области . Траектория в общем случае (т. е. при произвольных начальных условиях) незамкнута. При частица движется по устойчивой орбите - окружности радиуса ; при этом .