2 Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости (сравнения, Даламбера, интегральный)

Пусть a₁ + a₂ + … + a_n + = _n=1^ a_n = S_n – числовой ряд, каждый член которого положителен. Такой ряд называется рядом с положительными членами или просто положительным числовым рядом.

S₁ = a₁ > 0, S₂ = a₁ + a₂> 0, {S_n}- возрастающая числовая последовательность

Признаки сходимости положительных числовых рядов.

Для того, чтобы положительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частных сумм была ограничена.

Признаки сравнения

Пусть заданы два положительных числовых ряда:

u₁ + u₂ + … + u_n + = _n=1^ u_n , u_n > 0 для  n

v₁ + v₂ + … + v_n + = _n=1^ v_n , v_n > 0 для  n

1) Если n  N: u_n  v_n и ряд _n=1^ v_n – сходится, то и ряд _n=1^ u_{n –} сходится.

Если n  N: u_n  v_n и ряд _n=1^ u_n – расходится, то и ряд _n=1^ v_{n –} расходится.

2) Если  lim u_n/v_n = k, то ряды либо одновременно сходятся, либо

^{n   k = const}

одновременно расходятся.

Признак сходимости Даламбера.

Если _n=1^ u_n – положительный ряд, для которого lim u_n+1/u_n = L, то

^{n  }

1. при L < 1 ряд сходится

2. при L > 1 ряд расходится

3. при L = 1 необходимы дополнительные исследования.

Интегральный признак сходимости.

Теорема. Пусть _n=1^u_n - положительный ряд, для которого 1) u_n= f(n); 2) y = f(x) определена для  x  1, непрерывна и возрастает, тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл ₁∫^+f(x)dx, причем если он сходится , то

_n=1^ u_n = ₁∫^+f(x)dx

3 Знакопеременные ряды, ряды с комплексными числами.

Знакочередующиеся ряды – ряды, члены которых имеют чередующие знаки.

Теорема Лейбница Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремяться к нулю, когда n,то 1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.

Доказательство.

Пусть дан ряд а₁-а₂+а₃-а₄+…+(-1)^n-1а_n+… и известно, что а_n>a_n+1 для всех n и a_n0 при n.Рассмотрим частичную сумму ряда с чётным числом членов S_2n= а₁-а₂+а₃-а₄+…+a_2n-1-a_2n= (а₁-а₂)+(а₃-а₄)+…+(a_2n-1-a_2n). В силу первого условия все разности в скобках положительны, поэтому последовательность частичных сумм {S_2n} является возрастающей. Докажем, что она является ограниченной. Для этого представим S_2n в виде

S_2n= а₁-[(а₂-а₃)+(а₄-а₅)+…+(а_2т-1-a_2n-1)+a_2n]. Вы ражение в квадратных скобках положительно, поэтому S_2n<a₁ для любого n, т.е. последовательность {S_n} ограничена.

Итак, последовательность {S_n} возрастающая и ограниченная, следовательно, она имеет предел lim S_2n=S. Так как S_2n+1=S_2n+a_2n+1, и по

^n

условию lim a_2n+1=0, то lim S_2n+1=limS_2n=S.

^{n n n}

Мы доказали, что ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравентвам 0<S<a₁. Докажем теперь второе утверждение. Рассмотрим остаток ряда а₁-а₂+а₃-а₄+…+(-1)^n-1а_n+… с чётным номером 2k: R_2k=a_2k+1- a_2k+2+… Этот ряд является знакочередующимся и он удовлетворяет всем условиям теоремы, поэтому выполняются оценки 0<R_2k<a_2k+1. Что касается остатков ряда с нечётными номерами, то любой из них можно записать в виде

R_2k+1= -a_2k+2+a_2k+3-…=-(a_2k+2-a_2k+3+…). Ряд в скобках снова удовлетворяет условиям теоремы, поэтому 0<-R_2k+1<a_2k+2 или -a_2k+2< R_2k+1<0. Сходимость ряда вместе с неравенствами 0<S<a_1, 0<R_2k<a_2k+1 и -a_2k+2< R_2k+1<0 полностью доказывает теорему.