- •1. Функция, одз
- •2. Свойства функции.
- •3. Обратная функция.
- •4. Сложная функция.
- •5. Основные элементарные функции.
- •6. Предел функции
- •7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •2.Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть снова бесконечно малая функция.
- •8. Свойства предела функции.
- •9. Односторонние пределы.
- •10. Асимптоты функций.
- •11 Монотонные функции.
- •12. Замечательные пределы.
- •13. Формула непрерывных процентов.
- •14 Непрерывность функции в точке.
- •Свойства функций непрерывных в точке
- •15. Основные элементарные функции:
- •16. Теорема о непрерывности сложной функции.
- •17. Теорема о непрерывности обратной функции.
- •18. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их 7классификация.
- •1. Производная функции и ее геометрический смысл.
- •2. Уравнение касательной.
- •6. Понятие функции, дифференцируемой в точке.
- •7. Дифференциал функции в точке
- •8. Приближенные вычисления.
- •9. Эластичность функции и ее свойства.
- •10 Производная сложной и обратной функции.
- •11. Производная основных элементарных функций.
- •12. Правило Лопиталя
- •13 .Производные и дифференциалы высших порядкров.
- •14 Формула Тейлора.
- •15 Условия монотонности функции.
- •16. Условия сущ. Экстремула
- •17. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке.
- •18. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
- •19. Теорема Ферма
- •20. Теорема Ролля
- •21. Теорема Лагранжа
- •22. Теорема Коши (обобщенная теорем о конечных приращениях)
- •23. Свойства выпуклости (вогнутости).
- •3. Интегральное исчисление функций одной переменной.
- •1. Первообразная.
- •2. Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •3 Табличные интегралы.
- •4. Метод замены переменной или метод подстановки
- •5. Метод интегрирования по частям
- •5. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций.
- •6. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.
- •7. Несобственые интегралы с бесконечными пределами.
- •8. Несобственные интегралы от неограниченных ф-й.
- •4. Дифференциалльное исчисление функций нескольких переменных.
- •2 Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.
- •3. Производная по направлению. Градиент.
- •4 Однородные функции. Формула Эйлера.
- •5. Производственные функции и функции полезности. Изокосты, изокванты и линии безразличия.
- •6. Неявные функции
- •7. Теоремы существования решений системы функциональных уравнений.
- •8. Теоремы существования решений функционального уравнения.
- •9 Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
- •10. Наибольшее и наименьшее значения функции на ограниченном замкнутом множестве.
- •11. Метод наименьших квадратов.
- •12. Выпуклые функции в Rn и их свойства.
- •13. Множители Лагранжа и теорема Куна-Таккера.
- •5. Числове и функциональные ряды.
- •1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.
- •2 Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости (сравнения, Даламбера, интегральный)
- •Признаки сравнения
- •3 Знакопеременные ряды, ряды с комплексными числами.
- •4. Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства.
- •5. Условно сходящиеся ряды.
- •6. Ряды с комплексными членами. (cо слов Гончаренко)
- •8. Степенные ряды.
- •9. Теорема Абеля.
- •10. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.
- •11. Теоремы о св-вах степенных рядов.
- •12 Разложение ф-й в степенные ряды. Ряд Маклорена.
- •13. Ряд Тейлора.
- •14. Приложения степенных рядов.
- •15 Матричные степенные ряды и условия их сходимости.
- •6. Дифференциальные уравнения.
- •6.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Модели экономической динамики с непрерывным временем.
- •1 Модель естественного роста (рост при постоянном темпе).
- •2. Логический рост.
- •2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.
- •3. Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные.
- •4. Связь между общим и решением однородной и неоднородной систем.
- •5. Метод Лагранжа вариации постоянной.
- •6 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
- •7 Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы.
- •8. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
- •7. Теория вероятностей.
- •1 Случайные события и предмет теории вероятностей.
- •2. Комбинация событий.
- •3. Формула сложения вероятностей.
- •4. Комбинаторное правило умножения. Размещения, перестановки и сочетания.
- •Размещения. Перестановки, сочетания.
- •5. Классический способ подсчета вероятностей.
- •6. Геометрические вероятности
- •7. Правило сложения вероятностей.
- •8. Условная вероятность. Правило умножения вероятностей
- •9. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •10. Дискретная св и ее закон распределения.
- •11. Числовые хар-ки сдв.
- •12 Биномиальное, Пуассоновское, геометрическое и гиппергеометрическое
- •13 Функция распределения случайной величины.
- •14. Непрерывные случайные величины
- •15. Свойства функции плотности.
- •16. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины
- •17. Непрерывные распределения специального вида (равномерное, показательное, распределение Лапласа)
- •18. Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.
- •8. Математическая статистика.
- •1. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма,
- •2. Эмпирическая ф-я распределения.(э.Ф.Р.)
- •3. Выборочная средняя
- •4. Выборочная дисперсия.
- •5. Статистические оценки: несмещенные, эффективные, состоятельные
- •6. Точность и надежность оценки
- •7. Понятие о критериях согласия. Проверка гипотез о равенстве долей и средних. Проверка гипотезы о виде распределения.
- •8. Распределение 2
- •9. Распределение Стьюдента ( или t-распределение) .
- •10. Распределение f Фишера – Снедекора.
- •11. Проверка аналитических гипотез
6. Дифференциальные уравнения.
6.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Модели экономической динамики с непрерывным временем.
1 Модель естественного роста (рост при постоянном темпе).
Пусть у(t) – интенсивность выпуска продукции некоторого предприятия, отрасли. Мы будем предполагать, что имеет место аксиома о ненасышенности потребителя, т.е. что весь выпущенный предприятием товар будет продан, а также то, что объём продаж не является столь высоким чтобы существенно повлиять на цену товара р , которую ввиду этого мы будем считать фиксированной. Чтобы увеличить интенсивность выпуска у(t), необходимо чтобы чистые инвестиции I(t) (т.е. разность между общим объёмом инвестиций и амортизационными затратами) были больше нуля. Вслучае I(t)= 0 общие инвестиции только лишь показывают затраты на амортизацию, и уровень выпуска продукции остаётся неизменным. Случай I<0 приводит к уменьшению основных фондов и уровня выпуска продукции. Таким образом мы видми, что скорость увеличения интенсивности выпуска продукции является возрастающей функцией от I.
Пусть эта зависимоть выражается прямой пропорциональностью, т.е. имеет место так называемый принцип акселерации.
y=mI (m=const), где 1/m – норма акселерации. Пусть - норма чистых инвестиций, т.е. часть дохода ру, которая тратится на чистые инвестиции, тогда I= py.
Отсюда подставляя выражение для I , получаем y= m ру или y=ку, где к=m р=const. Разделяя переменные в уравнении имеем
Dy/y=kdt. После интегрирования обеих частей находим ln|y|=kt+lnC, или y=Cekt.
Если y(t0)=y0,то C=y0e-kto, т.е. y=y0ek(t-to) – это уравнение называется уравнением естественного роста. Этим уравнением описывается также динамика роста цен при постоянном темпе инфляции, процессы радиоактивного распада и размножения бактерий.
2. Логический рост.
Пусть р=р(у) – убывающая функция (dp/dy <0), т.е. с увеличением выпуска будет происходить насыщение рынка и цена будет падать. Проведя аналогичные рассуждения получим уравнение:
y=kp(y)y,( здесь k=l.) уравнение представляет собой автономное дифференциальное уравнение. Так как k>0, p>0, y>0, то у(t) – возрастающая функция (y>0). Исследуем у(t) на выпуклость. Дифференцируя уравнение по t, получим
y=ky(dp y +p) или y=kyp(dp *y +1), т.е. y=kyp(1-1 ) ,
dy dy p |ey|
где ey(p)= dy * p - эластичность спроса.
dp y
Из этого вытекает, что если спрос эластичен, т.е. |ey|>1, то y>0, т.е. функция спроса – выпуклая функция. Если спрос неэластичен, т.е. |ey|<1, то y<0 и функция спроса – вогнутая функция.
Пусть, например, р(у)=b-y (, b>0), тогда уравнение принимает вид:
y=k(b-y)y. Из чего легко получить, что y=0, если у=0 или у= b/, а также, что у<0 при у= b/2, и у>0 при у> b/2. В данном случае легко получить и явное выражение для y(t). Разделяя переменные в уравнении, находим
dy = kdt, или dy(1+ )= kdt.
y(b-y) b у b-y
Проинтегрировав это соотношение, имеем
Ln|y|-ln|b-y|= kbt+lnC, т.е. y/(b-y)=Cekbt. Отсюда получим y= Cekbt .
1+Cekbt
График этой функции называется логистической кривой. Она также описывает некоторые модели распространения информации, динамику эпидемий, процессы размножения бактерий в ограниченной среде обитания и т.п.
Из графика логистической кривой видно, что при малых t логистический рост схож с естественным ростом, однако при больших t характер роста меряется, темпы роста замедляются и кривая асимптоматически приближается к прямой у=b/. Эта прямая является трационарным решением уравнения y=k(b-y)y и соответственно случаю р(у)=0. Для этого уравнения также существуют решения при у> b/, имеющие графики. Но так как в этом случае р(у)<0, то эти графики не имеют экономической интерпретации.
Более реалистичной является модель, в которой скорость роста зависит не от дохода, а от прибыли. Пусть С(у)= у+ - издержки (, - константы) тогда
у=k(p(y)y-у-). Если p(y)=у,то правая часть уравнения представляет собой квадратный многочлен относительно у с отрицательным коэффициентом перед у2. В этом случае возможны три варианта.
D<0. Следовательно, у<0. Издержки настолько велики, что это приводит к постоянному падению производства и в конце концов к банкротству.
D=0.В этом случае у0 и меется одна стационарная кривая у=у*b/. При этом интегральные кривые, удовлетворяющие начальному условию у(t0)=y0>y*, будут ассимптотически приближаться к у* на +, а интегральные кривые, удовлетворяющие условию у(t0)< у* будут ассимптотически приближаться к у* на .
D>0. В этом случае существует два стационарных решения у=у1, у=у2. (0<y1<y2). При этом у при y1<у<y2 и у< при у<y1 или у>у2.
3. Неоклассическая модель роста.
Пусть Y=F(K,L) – национальный доход, где К – обьём капиталовложений (фондов), L – величина затрат труда, F(K,L) – линейно-однородная производственная функция (F(tK,tL)=tF(K,L)). Пусть f(k) – производительность труда:
F(k)= F(K,L)/L=F(K/L,1)=F(k,1), где k=K/L – фондовооружённость. Как известно, f(k)>0, f(k)<0.
Предполагаем, что:
1. происходит естественный прирост трудовых ресурсов, т.е. LL(=const);
2. Инвестиции направлены как на увеличение производственных фондов, так и на амортизацию, т.е. L=K+K ( - норма амортизации).
Пусть l – норма инвестиций (т.е. I=lY), тогда lY=K+K K=lY-K.
Из определения фондовооружённости вытекает ln k=lnK-lnL.
Дифференцируем эти соотношения по t, получим k/k=K/K-LL. Подставляя значения для L и K , находим k=lY-K - , т.е. k=lYk – ()k = lYK -()k
k K K kL
Учитывая, что f=Y/L, получим K=lf(k)- ()k. – уравнение неоклассического роста.