3.Главное собственное число

Пусть А=(a_ij) – симметричная матрица. Метод максимизации столбцов дает следующее:

Перемножим равенства:

максимальное собственное число матрицы A²(из метода максимизации).

λ=±b– главное собственное число симметричной матрицы А.

§8. Метод вращения

Рассмотрим симметричную матрицу А=(а_ij). Обозначим ортогональную матрицу вращенияU_pq(α):

u_qq=u_pp=c=cosα, -u_pq =u_qp= -s= -sinα, остальные диагональные элементы равны 1, а недиагональные – нулю.

Рассморим вращение матрицы в плоскости O_pq:

Матрица В=AU_pqотличается от А столбцамиb_pиb_q:

b_p=c·a_p+s·a_q

b_q= -s·a_p+c·a_q

b_j=a_j, j≠p,q

Матрица отличается от В р-ой иq-ой строками:

d_pj=c·b_pj+s·b_qj

d_qj= -s·b_pj+c·b_qj

Остальные строки не изменяют.

Тогда,

Разобьем Sна диагональную и недиагональную части:

Заметим:

При элементарном вращении Dнедиагональные элементы а_pi,a_qiи а_ip,a_iq(i≠p,q) меняются так, что попарные суммы квадратов их модулей сохраняются.

Кроме этих элементов вне диагонали меняется элемент а_pq.

Т.е. величина S₂меняется при элементарном вращении настолько, насколько изменится |a_pq|².

Будем подбирать вращения так, чтобы S₂максимально уменьшалась.

Положим d_pq=0:

d_pq=c·b_pq+s·b_qq=c(-s·a_pp+c·a_pq)+s(-s·a_{q p}+c·a_qq)=

αвыберем следующим образом:

1) при а_ppcos2α=0 =>α=π/4

2) иначе