вопро4

Лекция 1.06 Сложное движение

3.1. Сложение скоростей и ускорений при сложном движении точки

Общая постановка задачи о сложном движении точки такова: движение точки определяется наблюдателями, связанными с двумя различными координатными системами, причем эти системы движутся заданным образом относительно друг друга. Каждый наблюдатель определяет кинематические элементы движения: траекторию, скорость и ускорение точки в своей системе координат.

Требуется, зная движение одной системы отсчета по отношению к другой, найти связь между кинематическими элементами точки по отношению к каждой системе в отдельности. В зависимости от содержания стоящей задачи одну из этих систем OXYZ (OX1 X 2 X 2 ) принимают за

основную и называют абсолютной, а движение по отношению к ней и все его

кинематические элементы - абсолютными.
Другую	систему	Oxyz	(Ox1 x2 x2 )

называют относительной и соответственно движение по отношению к этой системе, а также его кинематические элементы – относительными.

Термин "абсолютный" и "относительный" имеют здесь условное значение. Вводится также понятие переносного движения. Переносным движением точки называют движение (по отношению к абсолютной системе) того пункта (места) относительной системы, через который в рассматриваемый

момент времени проходит движущаяся точка. Траекторные вопросы решает
векторное равенство	R(t)= Ro (t)+r(t).	(3.1.1)

Ориентация осей относительной системы координат относительно абсолютной описывается матрицей поворота S(t), поэтому в проекциях на оси абсолютной

и относительной систем координат имеем
R = Ro + Sr, S T R = S T Ro + r.	(3.1.2)

Продифференцируем векторное равенство (1). Правило дифференцирования

	любого вектора	d	=		d ′		+ω× ,		где ω -угловая скорость
		dt			dt
	системы координат, в которой задан дифференцируемый вектор, дает
							′		′
	V = 0 ×Ro			+		d Ro		+ω×r +	d r	.
							dt		dt

Два первых слагаемых определяют скорость того пункта относительной системы координат, где находится в рассматриваемый момент точка, то есть

определяют переносную скорость Ve = Vo +ω×r . (3.13) Относительная производная радиус-вектора по времени определяет скорость

			′
точки в относительной системе координат	V	=	d r	.	(3.1.4)
	r		dt

Итак, абсолютная скорость точки складывается из переносной и относительной

скоростей

V = Ve + Vr .

(3.1.5)

Дифференцирование по времени выражения для вектора абсолютной скорости

дает

′

d

′

′

′

d V

ω

d r

d V

W =

o

+

0 ×V

+

+ω×

ω ×r

+ω

×

+ω×r +

r

+ω×V

=

dt

dt

dt

o

dt

r

′

′

=

W +

d ω

×r +ω×(ω×r)+

d Vr

+ 2ω×V .

o

dt

dt

r

Три первых слагаемых в этом выражении определяют ускорение того места

относительной системы координат, где находится точка.

We = Wo

+ε×r +ω×(ω×r) .

(3.1.6)

Относительная

производная

относительной

скорости

дает

относительное

′

ускорение

W =

d Vr

.

(3.1.7)

r

dt

Последнее слагаемое

Wcor = 2ω×Vr

(3.1.8)

называется кориолисовым ускорением: поворот относительной скорости вместе

с относительной системой координат ω×Vr

и изменение переносной скорости

′

за счет изменения радиус-вектора r в относительной системе

ω×

d r

.

W = We + Wr + Wcor .

dt

Итак, имеем

(3.1.9)

Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного ускорения,

относительного ускорения и кориолисового ускорения. Этот результат

составляет содержание теоремы Г.Кориолиса (1792-1843).

Чтобы определить поле скоростей и ускорений в твердом теле, свяжем с

телом декартову систему координат с началом в некоторой точке тела. Тогда

движение твердого тела будет совпадать с движением введенной системы

координат. Для любой точки твердого тела метод сложного движения дает, что

ее скорость и ускорение равны соответственно переносной скорости и

переносному ускорению. Все точки твердого тела покоятся относительно

системы координат, жестко связанной с твердым телом, поэтому относительные

скорость, ускорение и кориолисово ускорение равны нулю. Итак, движение

твердого тела можно представить как движение некоторой точки твердого тела -

полюса и вращение тела вокруг этого полюса

Vo +ω×r,

W = Wo +ε×r +ω×(ω×r).

По поводу векторов ω и

ε , входящих в

эти

выражения,

следует

отметить, что они единственны и не зависят от выбора полюса. Независимость

ω и ε

от выбора полюса следует из независимости от выбора полюса матрицы

поворота, через компоненты которой они выражаются, а единственность

следует из единственности решения выражений для скорости и ускорения

произвольной

точки

тела

относительно

ω и

ε

либо

из

инвариантности

дифференциальных операций rot,

div и независимости векторов V,

W от

выбора базиса системы координат. Векторы Vo ,

Wo не зависят от координат

текущей точки.

Векторы (ω×r), (ε×r) описывают циркуляцию поля скоростей и

ускорений, поэтому

rot(ω×r)≠ 0, rot(ε×r)≠ 0, div(ω×r)= 0, div(ε×r)= 0.

Вектор [ω×(ω×r)] описывает поле ускорений, направленное к оси

мгновенной угловой скорости, центростремительное ускорение и rot[ω×(ω×r)]= 0, div[ω×(ω×r)]≠ 0.

Вычисления дают

rotV = ×(ω×r)= ω( r)−(ω )r = 3ω−ω = 2ω, rotW = ×(ε×r)= ε( r)−(ε )r = 3ε −ε = 2ε,

divW = [ω×(ω×r)]= [ω(ω r)−rω2 ]= ω2 −3ω2 = −2ω2 .

По поводу конечных перемещений твердого тела имеет место утверждение, составляющее содержание теоремы М.Шаля (1793-1880).

Самое общее перемещение твердого тела можно представить, как поступательное перемещение и конечный поворот вокруг полюса. Направление оси, проходящей через полюс, и угол поворота вокруг нее не зависят от выбора полюса, а направление и длина поступательного перемещения изменяются при переходе к другому полюсу.

Доказательство теоремы основывается на векторном равенстве, справедливом

для любой точки тела,			Rm = Ro +rom ,
где	Rm - радиус-вектор произвольной точки m тела,
	Ro	- радиус-вектор точки o , принятой за полюс,
	rom	- вектор, проведенный из точки o в точку m .

Если в качестве полюса взять какую-либо другую точку a , будем иметь

rom = roa +ram ,	Rm = Ro +roa +ram = Ra +ram .
Перемещение изменилось	Ra = Ro +roa .

Пример. Найти скорость и ускорение любой точки обода колеса радиуса a, катящегося без скольжения по прямолинейному рельсу, если центр колеса имеет скорость Vo и ускорениеWo . Найти радиус кривизны траектории точки

и построить годограф вектора скорости точки.

Принимая за полюс точку контакта обода колеса и рельса, имеем

Vo =ω a , откуда ω =Vo a . Центр

колеса движется прямолинейно. В

системе координат, движущейся

поступательно, имеем неравномерное

вращение колеса вокруг его центра ε =ω =Wo a . Для произвольной

точки обода имеем

V =ω PM = Vao 2acosϕ = 2Vo cosϕ

.

	Годограф вектора скорости есть окружность радиуса Vo .
	Спроектируем равенство			W = Wo + ε×r + ω×(ω×r)				на нормаль к
	траектории W =	V 2	=W sinϕ −ε asinϕ +ω2 acosϕ =			V	2	cosϕ .
						0
		ρ				a
	ν			o
	Отсюда имеем			ρ =	V 2
					= 2a cosϕ = 2 PM .
					Wν

3.2. Сложное движение твердого тела

Общая постановка задачи о сложном движении твердого тела такая же, как и для материальной точки: движение тела определяется наблюдателями, связанными с двумя различными координатными системами, причем эти системы движутся заданным образом относительно друг друга. Каждый наблюдатель определяет кинематические элементы движения: траекторию, скорость, ускорение полюса и ориентацию, угловую скорость, угловое ускорение тела в своей системе отсчета. Задача состоит в определении связи между кинематическими элементами движения твердого тела.

По отношению к абсолютной системе отсчета твердое тело совершает сложное движение : по отношению к движущейся относительной и вместе с относительной системой координат. Кинематическими элементами движения

относительной системы координат являются Ro , Vo , Wo ,Se ,ωe ,εe - параметры переносного движения. Движение твердого тела относительно движущейся относительной системы определяются величинами rc ,(Vc )r ,(Wc )r ,Sr ,ωr ,εr - параметры относительного движения.

		Метод	сложного	движения
		для произвольной		точки	m
		твердого тела дает:
		R = Ro +rom , rom = roc + rcm ,
			V = Ve + Vr ,
			Ve = Vo + ωe ×rom ,
			Vr = (Vc )r +ωr ×rcm .
		Для	наблюдателя		в
		абсолютной		системе
		координат имеем
		V = Vc +ωa ×rcm ,
			где
		Vc = Vo +ωe ×roc +(Vc )r
Итак,	V = Vo +ωe ×roc +(Vc )r +(ωe +ωr )×rcm =
	= Vc +(ωe +ωr )	×rcm .
Сравнивая эти два выражения для скорости точки m , заключаем
	ωa = ωe +ωr .			(3.2.1)

Абсолютное угловое ускорение εa

может быть получено дифференцированием

вектора угловой скорости ωa :

′

′

dωa

dωe

dωr

εa =

=

+

=

d ωe

+ωe ×ωe

+

d ωr

+ ωe ×ωr =

dt

dt

dt

dt

dt

= εe +εr + ωe ×ωa = εe +εr + ωe ×ωr ,

′

′

где

εe

=

d ωe

,

εr

=

d ωr

.

(3.2.2)

dt

dt

Таким образом, имеем

εa

= εe +εr +ωe ×ωr .

(3.2.3)

При вращении твердого тела вокруг неподвижного центра просто решается вопрос о мгновенной оси вращения. Мгновенной осью вращения будет геометрическое место точек тела, имеющих в данный момент нулевую скорость. Положение оси в твердом теле определяется системой уравнений

V = ω×r = 0, ω

r,

x

=

y

=

z

,

(3.2.4)

oxyz

ω

x

ω

y

ω

z

где

система осей, жестко связанная с телом и с началом

в неподвижном центре.

Можно поставить вопрос об определении положения мгновенной оси вращения в неподвижной системе отсчета OXYZ . Это положение определяется системой

уравнений	X		=	Y		=	Z		.	(3.2.5)
	Ω			Ω
		X			Y		Ω	Z

Геометрическое место мгновенных осей вращения в системе отсчета, жестко связанной с твердым телом и в неподвижной системе отсчета, называется соответственно подвижным и неподвижным аксоидом.

При движении вокруг неподвижной точки, называемым регулярной прецессией, тело вращается с постоянной угловой скоростью ωr = const вокруг некоторой своей оси, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью ωe = const вокруг фиксированного в пространстве

направления, сохраняя с ним постоянный угол θ = const . При вращении тела вокруг неподвижного центра подвижный аксоид катится без скольжения по неподвижному аксоиду.

Чтобы получить таблицу направляющих косинусов между осями, связанными с твердым телом и осями абсолютной системы отсчета, достаточно выразить орты

e1 , e2 , e3	через		E1 , E2 , E3 : eα = (sαβ )r iβ = (sαβ )r (sβ s )e Es .
Итак, имеем			sαs = (sαβ )r (sβ s )e	(3.2.6)
Пример.	Методом сложного движения точки найти правило сложения угловых
ускорений твердого тела, совершающего сложное движение.
Метод сложного движения для ускорения точки m дает
We = Wo		+εe ×rm +ωe ×(ωe ×rm ),		Wcor = 2ωe ×[(Vc )r +ωr ×rcm ]
Wr = (Wc		)r +εr ×rcm +ωr ×(ωr ×rcm ).
Полагая		rm	= rc +rcm ,	получим

W = We + Wr + Wcor = Wo

+εe

×rc

+ωe

×(ωe ×rc )+ (Wc )r + 2ωe ×(Vc )r

+

+εe ×rcm +ωe ×(ωe ×rcm )+εr ×rcm +ωr ×(ωr ×rcm )+ 2ωe ×(ωr ×rcm ).

С позиции наблюдателя в абсолютной системе координат имеем

W = W +ε

a

×r +ω

a

×(ω

a

×r ),

c

cm

cm

где

Wc = Wo

+εe ×rc

+ωe

×(ωe

×rc )+ (Wc )r + 2ωe ×(Vc )r

и поскольку

ωa = ωe

+ωr

имеем

ωa ×(ωa ×rcm )=

Итак,

= ωe ×(ωe ×rcm )+ωe ×(ωr ×rcm )+ωr ×(ωe ×rcm )+ωr ×(ωr ×rcm )

W = Wo +εe ×rc + ωe ×(ωe ×rc )+ (Wc )r + 2ωe ×(Vc )r +εa ×rcm +

+ ωe ×(ωe ×rcm )+ ωe ×(ωr ×rcm )+ωr ×

(ωe ×rcm )+ωr ×(ωr ×rcm ).

Сравнивая выражения для ускорения произвольной точки m , подсчитанные

двумя способами, получаем

εa ×rcm = εe ×rcm +εr ×rcm +ωe ×(ωr ×rcm )−ωr ×(ωe ×rcm ).

Два

последних

слагаемых

в

этом выражении

преобразуются

к

виду

ωe ×

(ωr ×rcm )−ωr ×(ωe ×rcm

)= ωr (ωe rcm )−ωe (ωr rcm )=

(ωe ×ωr )×rcm

. Таким образом, имеем

εa

= εe

+εr +ωe

×ωr .

Пример. Конус с углом при вершине 90

градусов катится без скольжения по

плоскости так, что скорость центра основания постоянна и равна V . Найти

скорость и ускорение точек A и B образующих, если длина образующей равна

L .

Введем систему координат Oxyz , плоскость Oxy которой все время совпадает с

неподвижной плоскостью, по которой происходит качение конуса, а плоскость Oyz содержит центр основания конуса.

Угловая скорость этой системы координат

	будет ωe =e3		2V L .	Из	условия,	что
	угловая	скорость		конуса		равна
	ωa = ωe	+ωr	и	направлена		по
	образующей,		касающейся		неподвижной
	плоскости, получаем
Тогда εa = ωe ×ωr = e1 (2V L)2	ωa	= −e2 2V L .
	и далее
VA = VO + ωa ×rOA = −e1 2V ,	VB = VO +ωa ×rOB = 0

WB = WO +εa ×rOB + ωa ×(ωa ×rOB )= e3 4VL 2 .

Ускорение точки контакта конуса с плоскостью направлено по нормали к плоскости. Этот факт не является случайным, поскольку качение происходит без скольжения, скорость точки контакта равна нулю. Через малый интервал времени ∆t скорость станет равной VB ≈ WB ∆t и траектория точки,

касающаяся вектора скорости, будет направлена по нормали к поверхности.

3.3.Теорема Шаля. Плоскопараллельное движение.

Вобщем случае перемещение твердого тела определяется теоремой Моцци: Произвольное перемещение твердого тела в пространстве эквивалентно винтовому движению. Для винтового движения перенос и вращение коммутативны. Доказательство теоремы Моцци состоит в разложении

поступательного перемещения на два: одно T|| , параллельное оси вращения, и другое T , перпендикулярное этой оси. Перенос T и вращение представляют

собой плоское движение, которое можно объединить в одно единственное вращение с новой осью, параллельной прежней оси. Взятые вместе это новое

вращение и T|| образуют винтовое движение.

Для описания перемещения в плоскости удобно использовать комплексные числа r = x +iy . Перенос представим комплексным числом t ,

равносильным преобразованиюr′ = r +t . Вращение на угол θ вокруг точки ro означает преобразование r′−ro = (r −ro )exp(iθ). Если принять T и R за

символы операции переноса и вращения, то для двух последовательных преобразований имеем

	RT :	r′ = ro	+(r +t −ro )exp(iθ),	(3.3.1)
	TR :	r′ = t + ro +(r −ro )exp(iθ).

Это два различных преобразования, то есть перемещение и вращение - некоммутативные преобразования. Чтобы найти неподвижную точку, положим

r′ = r . Тогда

RT : (r −ro )(1 −exp(iθ))= texp(iθ),

TR : (r −ro )(1 −exp(iθ))= t.

Если θ ≠ 0 , то каждое уравнение имеет единственное решение. Отсюда следует, что при каждом жестком плоском перемещении (исключая чистое поступательное перемещение) имеется одна единственная неподвижная точка. Эти точки различны.

Рассмотрение бесконечно малых перемещений, при которых можно пренебречь всеми дифференциалами выше первого порядка, приводит к заключению, что

	бесконечно малые переносы и бесконечно малые вращения коммутативны.
	Полагая	tei θ	=t(1 + iθ +...) t , получаем
	RT :	(r′−ro )= (r +t −ro )exp(iθ) (r −ro )exp(iθ)+t,		(3.3.2)
	TR :	(r′−ro )	= (r −ro )exp(iθ)+t.

Таким образом, всякое перемещение плоской фигуры в своей плоскости, а следовательно, и всякое плоскопараллельное перемещение твердого тела за бесконечно малое время можно представить как совокупность двух перемещений: поступательного перемещения, не зависящего от выбора полюса, и вращательного движения вокруг полюса, угол и направление поворота от выбора полюса не зависят

x′− x = −(y − yo )θ + t X , y′− y =(x − xo )θ +tY .

Вводя обозначения

VOX ∆τ = tX , VOY ∆τ = tY ,	VX ∆τ = x′− x,Vy ∆τ = y′− y,	ω∆τ =θ ,
получаем в векторном виде	Vm = Vo +ω×rom .	(3.3.3)

Если вращение отсутствует, скорости всех точек тела равны скорости полюса - тело совершает мгновенно поступательное движение. Траектории конгруентные кривые. Движение определяется скоростью и ускорением одной точки. При всяком непоступательном движении плоской фигуры существует точка фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю - мгновенный центр скоростей P . Скорости точек плоской фигуры при этом можно рассматривать как скорости, обусловленные вращением тела вокруг его мгновенного центра скоростей, а сам мгновенный центр скоростей как мгновенный центр вращения плоской фигуры. Это утверждение составляет содержание теоремы Эйлера. Всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости может быть осуществлено одним поворотом вокруг некоторого центра.

		Утверждение			теоремы		легко
		иллюстрируется.				Так		как
		скорость			любой		точки
		плоской		фигуры		при		ее
		непоступательном				движении
		обусловлена			её вращением
		вокруг		мгновенного			центра
		скоростей, то центр скоростей
		находится на перпендикуляре
		к скорости точки
VM = ω×rPM , VM rPM	. Условие	VP	= 0	дает		уравнение
для определения вектора rP :	VP = Vo +ω×rP		= 0 .			(3.3.4)

Умножим это уравнение на единичный вектор e , перпендикулярный плоскости

фигуры

e ×Vo + e ×(ω×rP )= e ×Vo + ω(e rP )−rP (e ω)= 0 .

Так

как вектор

rP находится в плоскости фигуры,

а вектор ω перпендикулярен

плоскости фигуры, имеем

r

=

e ×Vo

R

P

= R

o

+

e ×Vo

.

(3.3.5)

P

ω

ω

Эти два выражения дают подвижную и неподвижную центроиды: геометрическое место мгновенных центров скоростей в подвижной, связанной с фигурой, и неподвижной системах координат соответственно.

Для твердого тела проекции скоростей двух его точек на прямую, соединяющую
эти точки, равны	eAB (VB − VA )= eAB (ω×rAB )= 0,
npAB VB	= eAB VB = eAB VA = npAB VA .	(3.3.6)

Ускорение любой точки в плоскопараллельном движении может быть представлено как геометрическая сумма поступательного ускорения, равного ускорению полюса, вращательного ускорения вокруг полюса и центростремительного ускорения к полюсу

W = W +ε×r + ω×(ω×r)= W +ε×r −rω2 .			(3.3.7)
o		o
Вращательное ускорение WBP	= ε×r перпендикулярно центростремительному
W		= −rω2 .
OC

Точку, ускорение которой в рассматриваемый момент равно нулю, называют мгновенным центром ускорений. Ускорение любой точки

плоской фигуры по величине пропорционально ее

расстоянию от мгновенного центра ускорений и направлено под одинаковым для всех точек углом

α (tgα =εω2 ) к радиус-вектору, проведенному из мгновенного центра ускорений в рассматриваемую точку. Условие WQ = 0 дает уравнение для определения вектора rOQ , проведенного из произвольной точки rO в мгновенный центр ускорений rQ .

W = W +ε×r			−r ω2	= 0 .	(3.3.8)
Q	O	OQ	OQ

Умножим векторно это уравнение на вектор углового ускорения, который так

же, как и угловая скорость, перпендикулярен плоскости, в которой происходит

движение

ε×W = ε×W +ε×(ε×r

)−ε×r ω2

=

Q

O

OQ

OQ

= ε×W −r ε2 −ε×r ω2

= 0 .

O

OQ

OQ

Подставим в это равенство выражение для

ε×rOQ

из (8):

ε×W −r

(ε2

+ω4 )+ω2 W = 0 .

O

OQ

O

Итак, rOQ =

ε×W +ω2 W

,

RQ

= RO +

ε×W +ω2

W

O

O

O

O .

(3.3.9)

ε 2

+ω4

ε 2 +ω4

При сложном

плоскопараллельном

движении

твердого тела угловые скорости относительного

и переносного движений коллинеарные, и для

углового ускорения

абсолютного

движения

имеем

εa

= εe

+εr +ωe

×ωr

= εe +εr

(3.3.10)

то-есть

имеем

сумму

двух

векторов

направленных

перпендикулярно

плоскости

фигуры.

Имеется большой класс механизмов, именуемых

эпициклическими

или

планетарными

передачами, в которых тела вращаются

вокруг параллельных осей. Поставим вопрос об

определении мгновенного центра скоростей какого-либо тела такого механизма. Для мгновенного центра скоростей имеем уравнение

VP = Ve + Vr = ωe ×Ro +ω×rP = 0.

Умножение на единичный вектор, перпендикулярный плоскости движения, дает e ×(ωe ×Ro )+e ×(ωa ×rP )= −Ro (e ωe )−rP (e ωa )= 0

или	r = −R	ωe		,R		= R		+ r = R	ωr .		(3.3.11)
	P	o ω	a		P		o	P	o ω	a

Выделим три частных случая сложного вращения твердого тела вокруг параллельных осей:

Два параллельных вектора, равных по величине и направленных в разные стороны, называют парой векторов. Моментом пары называют величину

Mc = re ×ωe +rr ×ωr = (re −rr )×ωe = (3.3.12)

= −Ro ×ωe = ωe ×Ro = Vo .

Момент пары угловых скоростей равен мгновенно поступательной скорости и не зависит от положения точки, относительно которой вычисляется момент.

Задачи определения скоростей и ускорений в эпициклических или планетарных передачах обычно решаются методом остановки, то есть переходят в систему координат , в которой относительные оси вращения тел неподвижны. Для этого

механизму придается вращение с угловой скоростью	− Ω, тогда ''рукоятка''
становится неподвижной, и
(ωi − Ω)ri = (ωj − Ω)rj .	(3.3.13)

Знак минус берется при внешнем зацеплении колес и знак плюс при внутреннем зацеплении.

3.4. Приведение движения к простейшему виду. Центральная ось

Если тело участвует в нескольких поступательных и вращательных движениях, то возникает задача о приведении этой системы векторов к простейшему виду. Мгновенно поступательная скорость при этом трактуется как момент пары угловых скоростей.

Остановимся сначала на классификации векторов. Несвободным или приложенным вектором называется вектор, для которого недопустимо изменение точки приложения. Примером несвободного вектора может служить сила, приложенная к деформируемому телу, напряженность неоднородного поля и т.д.