4.2. Передача энергии по коаксиальной цепи с учетом потерь в проводниках

Выше рассматривался процесс распространения энергии по коаксиальному кабелю идеальной конструкции без учета потерь в проводниках. В реальных условиях проводники имеют конечную проводимость и создают дополнительные потери энергии на джоулево тепло. Эти потери могут быть учтены по закону Умова - Пойнтинга, характеризующему радиальный поток энергии, направленный внутрь коаксиального кабеля.

Можем записать

, (4.4)

где R - активное сопротивление проводника; L - внутренняя индуктивность проводника; E_z - продольная составляющая электрического поля; Н_* - тангенциальная составляющая магнитного поля (сопряженное значение).

Таким образом, для нахождения параметров R и L коаксиальной пары необходимо определить значения Е_z и Н_* на поверхности проводников, решив вышеприведенные уравнения Максвелла.

Полное сопротивление коаксиальной пары складывается из сопротивления внутреннего проводника Z_a=R_a+iL_a сопротивления внешнего проводника Z_б=R_б+iL_б. Кроме того, необходимо учесть внешнюю межпроводниковую индуктивность.

Сопротивление внутреннего проводника может быть определено как сопротивление одиночного проводника, так как электрическое поле внешнего проводника никакого действия на внутренний проводник не оказывает. Так как поле одиночного провода имеет осевую симметрию, то E_z/=0; ²E_z/²=0. Тогда уравнение примет вид

, (4.5)

Решение данного уравнения выражается через цилиндрические функции

, (4.6)

где А и В - постоянные интегрирования; I₀ и K₀ - видоизмененные цилиндрические функции нулевого порядка соответственно первого и второго родов от комплексного аргумента.

При определении постоянных интегрирования A и B исходим из того, что напряженность поля Е_z внутри проводника возрастет с увеличением радиуса r. Поэтому второй член уравнения (4.6), уменьшающийся с увеличением аргумента, не соответствует физике явления. Постоянная интегрирования В принимается равной нулю и

(4.7)

Для нахождения постоянной интегрирования А воспользуемся магнитной составляющей поля Н_ и законом полного тока. На основании (4.1) и (4.7) получим

(4.8)

где I₁ - функция Бесселя первого порядка первого рода.

Согласно закону полного тока тангенциальная составляющая магнитного поля Н_=I/(2r), где I - ток и r - текущий радиус проводника. Приравнивая правые части этих выражений при r= r_a, получим

. (4.9)

Подставив А в выражение Е_z и Н_, получим

. (4.10)

Полное сопротивление провода определится, если в (4.10) подставить значение Е_z и H_ и провести соответствующие преобразования:

, (4.11)

где R_a и L_a - соответственно сопротивление и индуктивность одиночного внутреннего проводника.

Для определения R_a и L_a обычно пользуются заранее рассчитанными таблицами функций F, G, H и Q для различных значений kr (табл. 4.1).

Таб. 4.1.

kr	F(kr)	G(kr)	H(kt)	Q(kr)
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 7.0 10.0 >10.0	0 0.000326 0.00519 0.0258 0.0782 0.1756 0.318 0.492 0.678 0.862 1.042 1.743 2.799	0.000975 0.01519 0.0691 0.1724 0.295 0.405 0.499 0.584 0.669 0.755 1.109 1.641	0.0417 0.042 0.053 0.092 0.169 0.263 0.348 0.416 0.466 0.503 0.530 0.596 0.643 0.750	1 0.9998 0.997 0.937 0.961 0.913 0.945 0.766 0.686 0.616 0.556 0.400 0.286

Таб. 4.2.

Материал проводника	,мм^-1	kr
Медь Алюминий Сталь
Примечание: d=2r – диаметр проводника, мм; f – частота, Гц.

Сопротивление, Ом/км,

, (4.12)

внутренняя индуктивность, Гн/км,

, (4.13)

где R₀ - сопротивление постоянному току одного километра проводника, Ом/км. Значения коэффициентов k и kr для различных проводников приведены в табл. 4.2.

Для высоких частот, представляющих наибольший интерес для коаксиального кабеля, формулы расчета R_a и L_a могут быть представлены в упрощенном виде. При большом значении аргумента, соответствующем ВЧ области передачи (kr_a>5), функции Бесселя можно разложить в асимптотические ряды. Тогда получим

. (4.14)

Пренебрегая вторым членом правой части ввиду его малости и отделив действительную часть от мнимой , получим

; . (4.15)

В пересчете на километр длины с учетом, что для меди _a=₀=410^-7 Гн/м и =57 10⁶ (Ом/м)^-1 для внутреннего медного проводника коаксиального кабеля

, , (4.16)

где R_a Ом/км, и L_а, Гн/км, - соответственно сопротивление и индуктивность внутреннего проводника; r_a -радиус внутреннего проводника, мм.

Для нахождения параметров R_б и L_б внешнего проводника могут быть использованы ранее выведенные исходные уравнения:

, (4.17)

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся граничными условиями на внутренней и внешней поверхностях внешнего проводника. На внутренней поверхности внешнего проводника при r=r_б магнитное поле по условию полного тока H_=I/(2r_б) будет

, (4.18)

На внешней поверхности проводника при r=r_c магнитное поле равно нулю, так как оно обусловлено равными, но противоположно направленными токами, текущими по внутреннему и внешнему проводникам:

, (4.19)

Решая вышеприведенные уравнения с двумя неизвестными, определим постоянные интегрирования А и В и соответственно составляющую поля E_z(r_б).

Магнитная составляющая поля H_(r_б)=I/2r_б. Подставляя это соотношение в (4.19), получим

, (4.20)

или при . Тогда для частот свыше 60 кГц получим

; , (4.21)

Пренебрегая последним членом и приводя значения R_б и L_б к одному километру кабеля, для внешнего проводника из меди имеем

; , (4.22)

где r_б - внутренний радиус внешнего проводника, мм.

Соответственно сопротивления коаксиальной пары, состоящие из сопротивления внутреннего проводника R_a и внешнего проводника R_b будет

, (4.23)

или для медных проводников. Ом/км,

, (4.24)

Для определения общей индуктивности коаксиального кабеля необходимо знать, кроме внутренней индуктивности проводников, также внешнюю межпроводниковую индуктивность L_вш. Последняя обусловлена межпроводниковым магнитным потоком Ф и может быть определена по ранее выведенной формуле (4.13):

. (4.25)

Имея в виду, что , гдеГн/м, получим окончательно, (Гн/км)

. (4.26)

В результате общее сопротивление (Ом/км) и индуктивность (Гн/км) коаксиального кабеля для высокочастотной области (от 60... 100 кГц и выше) будут:

, (4.27)

или для коаксиального кабеля из медных проводников

, (4.28)

для коаксиального кабеля из алюминиевых проводников

(4.29)

В случае, если внутренний проводник медный, а внешний алюминиевый:

(4.30)

Из приведенных формул следует, что при применении обоих алюминиевых проводников вместо медных сопротивление возрастает на 29%, а при замене меди на алюминий только у внешнего проводника сопротивление возрастает всего на 6%. Последний вариант предпочтительней.

В области высоких частот внутренняя индуктивность проводников мала и индуктивность коаксиального кабеля обусловливается лишь внешней индуктивностью , Гн/км.

Электрическое сопротивление коаксиальной пары постоянному току определяется по нижеприведенным формулам. Электрическое сопротивление внутреннего проводника, Ом/км, R=4000/d², где d - диаметр проводника, мм;  - удельное сопротивление металла, Ом-мм²/м. Электрическое сопротивление внешнего проводника, поверх которого наложено n стальных экранных лент, R_b=R_mR_э/(R_м+R_э), где R_m=1000_m/(D+) - сопротивление внешнего медного проводника, Ом/км; R_э=1000_э/(D++_э)_эn - сопротивление экрана, Ом/км; D - внутренний диаметр внешнего проводника, мм;  -толщина ленты внешнего проводника, мм; _э - толщина экранных лент, мм; n - число экранных лент;  -удельное сопротивление металла, равное 0.0178 - для меди марки МТ; 0.01724 - для меди марки ММ; 0.0282 - для алюминия и 0.098 - для стали.