Электродинамика

Пример 1 Два точечных заряда изакреплены на расстояниидруг от друга. Третий зарядQ₃ может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Q₃, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда Q₃ равновесие будет устойчивым?

Решение. Заряд Q₃ будет находиться в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, равна нулю. Поскольку на заряд Q₃ будут действовать только кулоновские силы F₃₁ и F₃₂ со стороны зарядов Q₁ и Q₂, соответственно, то равновесие будет иметь место, если эти силы уравновешивают друг друга.

Выберем в качестве начала отсчёта точку, в которой находится заряд Q₁. Обозначим расстояние между зарядом Q₁ и Q₃ через x. Тогда возможны три случая расположения заряда Q₃ по отношению к зарядам Q₁ и Q₂, которые показаны на рисунке 3.8 (заряд Q₃ показан положительным; если заряд Q₃ отрицателен, направления сил изменятся на противоположные).

В случае а) на заряд Q₃ действуют противоположно направленные силы F₃₁ и F₃₂, равные по величине

и ,

соответственно. Так как , и число с большим знаменателем меньше числа с меньшим знаменателем, то получаем следующую цепочку неравенств:

то есть величина силы F₃₁ всегда больше величины силы F₃₂ , что означает, что в случае а) равновесие невозможно.

В случае б) силы F₃₁ и F₃₂, действующие на заряд Q₃, направлены в одну сторону. Следовательно, и в этом случае равновесие невозможно.

В случае в) на заряд Q₃ действуют противоположно направленные силы F₃₁ и F₃₂, равные по величине

и ,

соответственно. Приравнивая эти силы, получаем уравнение для определения x:

,

откуда следуют два решения:

;

.

Очевидно, второе решение x₂ не удовлетворяет физическому условию, так как . Таким образом, остаётся первое решение, причём величина зарядаQ₃ не играет роли:

.

Определим теперь знак заряда Q₃, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие будет устойчивым, если при смещении заряда Q₃ от положения равновесия, на него начнёт действовать результирующая сила, которая стремится возвратить его в положение равновесия.

Пусть заряд Q₃ положителен. Смещая его вправо на x, получаем следующее соотношение между силами

то есть сила F₃₂, которая направлена в сторону положения равновесия, по величине меньше силы F₃₁. При смещении этого заряда влево, т.е. при , будем иметь

,

то есть сила F₃₂, которая направлена от положения равновесия, по величине меньше силы F₃₁, направленной в сторону положения равновесия. Следовательно, при смещении от положения равновесия вправо или влево положительный заряд Q₃ будет удаляться от него и равновесие будет неустойчивым.

Пусть теперь заряд Q₃ отрицателен. Аналогично смещая его вправо или влево на x, получаем соотношения (1) и (2) между силами, действующими на заряд, но их направления будут противоположными Соотношения (1) и (2) будут теперь означать, что отрицательный заряд стремится вернуться в положение равновесия. Следовательно, положение равновесия будет устойчивым только для отрицательного заряда.

Чтобы определить величину заряда Q₃, рассмотрим силы, действующие, например, на заряд Q₂. Если на заряд Q₂ не действуют другие силы, кроме электростатических, то равновесие заряда Q₂ означает равенство сил

и ,

действующих со стороны зарядов Q₁ и Q₃, соответственно. Из равенства этих сил следует

откуда получаем

Если равновесие зарядов Q₁ и Q₂ поддерживается механическими силами, то равновесие заряда Q₃ будет иметь место при любой его величине.

Ответ: от положительного заряда и от отрицательного заряда; если заряды Q₁ и Q₂ закреплены жёстко, то величина заряда Q₃ несущественна; в противном случае при устойчивом равновесии .

Пример 2 Три точечных заряда Расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой зарядQ₄ нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?

Решение. Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трёх зарядов, например Q₁, находился в равновесии. Заряд Q₁ будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рисунок 3.9):

,

где F₁, F₂, F₃ – силы, с которыми действуют на заряд Q₁ заряды Q₂, Q₃, Q₄, соотвественно;

F – равнодействующая сил F₂ и F₃.

Так как силы F и F₄ направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство можно заменить скалярным:

.

Выразив F через F₂ и F₃ и учитывая, что , получим

.

Применив закон Кулона, и имея в виду, что , найдём

,

откуда

.

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

.

С учётом этого из формулы получим

.

Производя вычисления, находим

.

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Ответ: .

Пример 3 На тонком стержне длиной находится равномерно распределённый электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянииот ближайшего конца находится точечный заряд, который взаимодействует со стержнем с силой. Определить линейную плотность заряда на стержне.

Решение. Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q зависит от линейной плотности  заряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить . При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим в стержне малый участок dr с зарядом (рисунок 3.10). Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда согласно закону Кулона

.

Интегрируя это выражение в пределах отa до l+a, получаем

,

откуда

.

Произведём вычисления:

.

Ответ: .

Пример 4 Два точечных электрических заряда инаходятся в воздухе на расстояниидруг от друга. Определить напряжённостьE и потенциал  поля, создаваемого этими зарядами в точке A, удалённой от заряда Q₁ на расстояние и от зарядаQ₂ на расстояние .

Решение. Результирующее электрическое поле двух зарядов в точке можно определить исходя из принципа суперпозиции полей, согласно которому поле каждого заряда не зависит от присутствия других зарядов. Поэтому напряжённость электрического поля E в точке A равна векторной, или геометрической сумме напряжённостей E₁ и E₂ электрических полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: (см. рисунок 3.11). Величины напряжённостей электрического поля зарядовQ₁ и Q₂ в воздухе ( = 1) в точке A равны:

, .

Так как заряд Q₁ положителен, то вектор E₁ направлен вдоль силовой линии поля от заряда, тогда как вектор E₂ направлен вдоль силовой линии поля к отрицательному заряду Q₂. Величину вектора E можно найти по теореме косинусов:

,

где  – угол между векторами E₁ и E₂. Из теоремы косинусов для треугольника Q₁AQ₂ следует:

,

откуда

.

Следовательно, величина суммарной напряжённости поля равна

В соответствии с принципом суперпозиции потенциал результирующего поля, создаваемого двумя зарядами Q₁ и Q₂, равен алгебраической сумме потенциалов:  = ₁ + ₂. Потенциалы зарядов Q₁ и Q₂ в точке A равны

так что результирующий потенциал равен

Ответ:;.

Пример 5 Точечный заряд находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиуса, равномерно заряженным с поверхностной плотностью. Определить силуF, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра .

Решение. Значение силы F, действующей на точечный заряд Q, находящийся в электрическом поле, определяется по формуле

,

где E – напряжённость поля.

Напряжённость поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра можно найти, используя теорему Гаусса. Для этого окружим цилиндр коаксиальной цилиндрической поверхностью радиусом r и высотой h и замкнём её двумя основаниями S₁ и S₂ (рисунок 3.12). После этого рассчитаем поток вектора напряжённости электрического поля. Он может быть представлен как сумма потоков через два основания S₁ и S₂ и через боковую поверхность S_бок. По теореме Гаусса имеем

,

где – заряд, сосредоточенный на боковой поверхностичасти цилиндра, находящейся внутри замкнутой поверхности.

В силу симметрии задачи напряжённость поля E во всех точках боковой поверхности S_бок имеет одинаковую величину и направлена перпендикулярно оси цилиндра в сторону от неё. Иначе говоря, напряжённость поля E всегда параллельна нормали к элементу площади боковой поверхности. С другой стороны, она перпендикулярна нормалям к элементам поверхностей оснований S₁ и S₂, как это показано на рисунке 3.12. Следовательно, потоки вектора E через основания S₁ и S₂ равны нулю. Поток же через боковую поверхность равен

.

Боковая поверхность части цилиндра, находящейся внутри замкнутой поверхности, равна

.

Подставляя формулы и в , получаем выражение для величины напряжённости электрического поля вне цилиндра на расстоянии от оси цилиндра:

.

Наконец, подставив в , получим силу

.

Произведём вычисления:

.

Ответ: .

Пример 6 . По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределён заряд с линейной плотностью . Определить напряжённостьE и потенциал  электрического поля, создаваемого таким распределённым зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина нити составляет одну треть длины окружности и равна .

Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось Y была бы симметрично расположена относительно концов дуги (рисунок 3.13). На нити выделим элемент длины dl. Заряд , находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Определим напряжённость электрического поля в начале координат. Для этого найдём сначала напряжённость dE поля, создаваемого зарядом dQ:

,

где r – радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, в которой напряжённость поля вычисляется.

Выразим вектор dE через проекции dE_x и dE_y на оси координат:

,

где i и j – единичные векторы направлений (орты).

Напряжённость E найдём посредством интегрирования:

.

Интегрирование ведётся вдоль дуги длиной l.

В силу симметрии

.

Тогда

,

где .

Так как,, то

.

Подставим это выражение dE_y в и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Y, пределы интегрирования возьмём от 0 до /3, а результат удвоим:

.

Выразив радиус R через длину l нити (), получим

.

Из этой формулы видно, что напряжённость поля по направлению совпадает с осью Y.

Найдём потенциал электрического поля в начале координат. Сначала запишем потенциал, создаваемый точечным зарядом dQ в этой точке:

.

Заменим r на R и проведём интегрирование:

.

Так как , то

.

Произведём вычисления по формулам и :

,

.

Ответ: ;.

Пример 7 На пластинах плоского воздушного конденсатора находится заряд . Площадь каждой пластины конденсатора равна. Определить силуF, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле напряжённости E, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на этот заряд действует сила

.

Так как поле однородно, то можно считать, что оно создаётся плоской бесконечной пластиной. Напряжённость такого поля определяется по формуле

,

где  – поверхностная плотность заряда пластины.

Формула примет вид

.

Произведём вычисления:

.

Ответ: .

Пример 8 Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом , равномерно заряженным с линейной плотностью . определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, находящихся на расстоянии и от поверхности цилиндра в средней его части.

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряжённостью поля и изменением потенциала: . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

, или .

Интегрируя это выражение, найдём разность потенциалов между двумя точками, отстоящими на расстояниях r₁ и r₂ от оси цилиндра:

.

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряжённости поля можно воспользоваться формулой напряжённости поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

.

Подставив выражение E в , получим

,

или

.

Произведём вычисления, учитывая, что величины r₁ и r₂, входящие в формулу в виде отношения, можно выразить в сантиметрах (,):

.

Ответ: .

Пример 9 Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью , чтобы скорость его возросла в раза.

Решение. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу A сил электрического поля, затрачиваемую на перемещение электрона. Эта работа определяется произведением заряда e электрона на разность потенциалов U:

.

С другой стороны, работа сил электростатического поля равна изменению кинетической энергии электрона:

,

где T₁ и T₂ – кинетические энергии электрона до и после прохождения ускоряющего поля;

m – масса электрона;

v₁ и v₂ – начальная и конечная скорости электрона.

Приравняв правые части равенств и , получим

,

где .

Отсюда искомая разность потенциалов равна

.

Произведём вычисления:

.

Ответ: .

Пример 10 Конденсатор ёмкостью был заряжен до разности потенциалов . После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором ёмкостью . Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение. Энергия, израсходованная на образование искры

,

где W₁ – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора;

W₂ – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора или батареи конденсаторов ёмкостью C определяется по формуле

.

Выразив в формуле энергии W₁ и W₂ по формуле и приняв во внимание, что общая ёмкость параллельно соединённых конденсаторов равна сумме ёмкостей отдельных конденсаторов, получим

,

где U₂ – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов;

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разеность потенциалов U₂ следующим образом:

.

Подставив выражение U₂ в , найдём

.

Произведём вычисления:

.

Ответ: .

Пример 11 На пластины плоского конденсатора, расстояние между которыми = 3 см, подана разность потенциалов =1 кВ. Пространство между пластинами заполняется диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε = 7). Найти поверхностную плотность связанных (поляризационных) зарядов σ_св. Насколько изменится поверхностная плотность заряда на пластинах при заполнении конденсатора диэлектриком? Задачу решить, если заполнение конденсатора диэлектриком производится: а) до отключения конденсатора от источника напряжения; б) после отключения конденсатора от источника напряжения.

Решение. Введём обозначения: σ₀ – поверхностная плотность зарядов на пластинах конденсатора в отсутствие диэлектрика, σ_д - поверхностная плотность зарядов на пластинах конденсатора в присутствии диэлектрика, σ_св- поверхностная плотность связанных зарядов на диэлектрике. Совместное действие зарядов σ_д и σ_св таково, как будто бы на границе раздела проводника и диэлектрика имеется заряд, распределённый с плотностью

σ = σ_д - σ_св (1).

Таким образом, σ – поверхностная плотность «эффективных» зарядов, т. е. зарядов, определяющих суммарное результирующее поле в диэлектрике. Очевидно, величины σ₀ σ_д и σ связаны с соответствующими напряжённостями поля следующими соотношениями:

в отсутствии диэлектрика (2);

в присутствии диэлектрика (3).

Из (1) имеем σ_св = σ_д - σ или, на основании (3) σ_св = εε₀Е₂ – ε₀Е₂= ε₀(ε-1)Е₂ = ε₀(ε-1).

а) До отключения конденсатора от источника напряжения U₁ =U ₂= U и σ_св = ε₀(ε-1). Изменение поверхностной плотности заряда при заполнении конденсатора диэлектриком Δσ = σ_д - σ₀ = ε₀(ε-1)= σ_св. Произведя вычисления, получим σ_св= Δσ = 17,7 мкКл/м².

Таким образом, благодаря источнику напряжения на пластинах конденсатора появятся добавочные заряды, компенсирующие уменьшение заряда, вызванное поляризацией диэлектрика.

б) После отключения конденсатора от источника напряжения q= const и . Тогда σ_св = ε₀(ε-1). Произведя вычисления, получим σ_св = 2,53 мкКл/м². Так как заряд постоянен, поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора не меняется.

Пример 11 Потенциометр с сопротивлением подключён к батарее, э.д.с. которой и внутреннее сопростивление . Определить: а) показание вольтметра с сопротивлением , соединённого с одной из клемм потенциометра подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; б) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.

Решение. 1. Показание вольтметра, подключённого к точкам A и B (рисунок 3.14), определим по формуле

,

где R₁ – сопротивление параллельно соединённых вольтметра и половины потенциометра;

I₁ – суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразветвлённой части цепи).

Силу токаI₁ найдём по закону Ома для полной цепи:

,

где R_e – сопротивление внешней цепи, равное сумме двух сопротивлений:

.

Сопротивление R₁ найдём по формуле параллельного соединения проводников: , откуда

.

Подставив в выражение R_e из , найдём

.

В данном случае решение задачи в общем виде было бы громоздким. Поэтому удобно вычисления величин провести раздельно:

;

;

.

2. Разность потенциалов между точками A и B при отключённом вольтметре равна произведению силы тока I₂ на половину сопротивления потенциометра:

,

где I₂ – сила тока в цепи при отключённом вольтметре, которую определим по формуле

.

Подставив выражение I₂ в , найдём

.

Произведём вычисления:

.

Ответ: а) ; б).

Пример 12 Сила тока в проводнике с сопротивлением нарастает в течение времени по линейному закону от до (рисунок 3.15). Определить: теплоту Q₁, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q₂ – за вторую, а также найти отношение Q₂/Q₁.

Решение. 1. Закон Джоуля-Ленца в виде справедлив для постоянного тока (). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого интервала времени и записывается в виде

.

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В данном случае

,

где k – коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения силы тока:

.

С учётом формула примет вид

.

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени t, выражение надо проинтегрировать в пределах от t₁ до t₂:

.

Произведём вычисления:

.

.

Следовательно, , т.е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую.

Ответ: ; ; .

Пример 13 Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трёх сопротивлений и гальванометра (рисунок 3.16). В этой цепи ,,, э.д.с. первого элемента. Гальванометр регистрирует силу тока, идущего в направлении, указанном стрелкой. Определить э.д.с.₂ второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Указание. Для расчёта разветвлённых цепей применяются законы Кирхгофа.

1. Перед составлением уравнений следует произвольно выбрать:

а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже;

б) направление обхода контуров.

2. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа токи, входящие в узел, считаются положительными, а выходящие из узла – отрицательными. Число этих уравнений должно быть на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.

3. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует учитывать, что

а) падение напряжения (т.е. произведение IR) входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока на данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура, и со знаком минус – в противном случае;

б) э.д.с. входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае э.д.с. входит в уравнение со знаком минус.

Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбрать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течёт в направлении, противоположном произвольно выбранному.

Решение. Выберем направления токов, как они показаны на рисунке 3.16, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

В цепи два узла – A и F. По первому закону Кирхгофа для узла F имеем:

.

По второму закону Кирхгофа для контура ABCDFA имеем

, или .

Соответственно, для контура AFGHA имеем

.

После подстановки числовых значений в формулы (1), (2), (3) получим систему уравнений

или

,

,

.

Умножая уравнение (4) на 25 и складывая с (5), получим , откуда. Из (6) получаем

.

Ответ: .

Пример 14 Пространство между пластинами плоского конденсатора имеет объём и заполнено водородом, который частично ионизирован. Площадь пластин конденсатора. При каком напряженииU сила тока, протекающего через конденсатор, достигнет значения , если концентрация ионов в газе?

Решение. Напряжение U на пластинах конденсатора связано с напряжённостью E электрического поля и расстоянием между пластинами соотношением

.

Напряжённость поля может быть найдена из выражения для плотности тока

,

где Q – заряд иона;

n – концентрация ионов;

b₊, b_– – подвижности положительных и отрицательных ионов.

Отсюда

.

Так как объём пространства, заключённого между пластинами равен Sd, то

.

Подставив выражение E в формулу , получим

.

Произведём вычисления, учитывая, табличные данные по подвижности ионов ,

Ответ: .