Работа и энергия
Энергия– скалярная физическая величина, являющаяся универсальной количественной мерой различных форм движения и взаимодействия материи. Механическая энергия W – энергия механического движения и взаимодействия. В системе СИ [W] = 1 Дж.
Изменение движения и (или) деформация тела в инерциальной системе отсчета происходит в результате силового взаимодействия этого тела с другими телами. При этом, как правило, происходит переход одного вида энергии в другой. Для характеристики процесса перехода энергии из одного вида в другой и его количественного описания вводится скалярная физическая величина – работасилы. Элементарная работа силы равна
dA= Fdr= F cosαds =Fs ds ,
где α-угол между векторамиFи dr,ds= |dr| - элементарный путь,Fs -проекция силы на векторdr.
Работа силы по перемещению системы из положения 1 в положение 2 равна
.
В поле консервативных сил эта работа равна
,
где
– кинетическая энергия;
U – потенциальная энергия системы, для которой справедливо соотношение
.
Для консервативных систем имеет место закон сохранения полной механической энергии
.
В поле неконсервативных сил эта работа равна
,
где
– работа, затраченная на преодоление
внутренних сил сопротивления, равная
работе сил сопротивления
,
взятой с обратным знаком:
.
Работа сил сопротивления равна разности полных энергий в начальном и конечном состояниях
.
Динамика твердого тела
Для характеристики внешнего действия на тело, приводящего к изменению его вращательного движения, вводится понятие момента силы.
Моментом силы относительно некоторой точки О называется векторная величина
M
, равная векторному произведению
радиуса-вектора r,
проведенного из точки О в точку приложения
силы F,
и вектора этой силы:
.
По модулю М=rFsinα.
Вектор М
всегда перпендикулярен плоскости, в
которой лежат вектора r
и F
(Рис.1)
Рис.1
Моментом импульса частицы относительно некоторой точки О называется векторная величина L, равная векторному произведению радиуса-вектора r , проведенного из точки О в место нахождения этой частицы, и вектора ее импульса p: L=[r×p].
Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки m на квадрат расстояния r от оси
J =mr2.
Момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело. В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокупность точек с малыми массами dm момент инерции определяется интегрированием:
.
Основное уравнение динамики вращательного движения
,
где
– момент импульса;
–момент
сил, действующих на тело, относительно
начала координат;
r – радиус-вектор точки приложения силы;
– угловая скорость вращения в плоскости векторов (r,p);
– угловая скорость вращения в этой же плоскости;
J– момент инерции тела относительно оси вращения.
Собственные моменты инерции некоторых тел массы m:
1) тонкое кольцо, обруч, тонкостенный цилиндр радиуса R
а) относительно оси симметрии
;
б) относительно оси параллельной плоскости кольца, обруча
;
2) тонкий диск, сплошной цилиндр радиуса R
а) относительно оси симметрии
;
б) относительно оси параллельной плоскости тонкого диска
;
3) сплошной шар радиуса R
;
4) тонкий стержень длины L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно оси стержня
.
Закон сохранения момента импульса свободной системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси
,
где J1,J2и1,2– моменты инерции системы и угловые скорости вращения в моменты времениt1иt2, соответственно.
Кинетическая энергия вращающегося тела
.