55

Тема 4. ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В МЕТАЛЛАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ

4.1. Краткие теоретические сведения

Количество энергетических уровней N0E (E), лежащих в интервале от 0 до Е, в кристалле объёмом V определяется выражением

	N0E (E)=	4	π	(2m*n E)32	V .	(4.1)
		3		h3

В соответствии с принципом Паули на каждом энергетическом уровне может находиться по два электрона с разными ориентациями спина. Поэтому число квантовых состояний с энергиями от 0 до Е будет в два раза выше:

	N0E (E)=	8		π	(2m*n E)32	V .	(4.2)
		3			h3
	Для кристалла единичного объёма V						= 1 .

Обозначим через dN число разрешённых состояний, приходящихся на единицу объёма и лежащих в пределах от E до E + dE. Тогда число состояний, приходящихся на единичный интервал энергии dЕ, есть плотность энергетических состояний:

N (E)= dN(E)dE .

С учётом ( 4 . 2 ) плотность состояний будет равна

dN0E (E)		2m*			3	1
					2
	= N (E)= 4π		n			E2 .
dE		h	2

(4.3)

(4.4)

Таким образом, плотность энергетических состояний (уровней) N (E)~ E12 , т. е. увеличивается с ростом Е и возрастает с увеличением m*.

Распределение электронов в металле

Согласно зонной теории, последняя разрешённая зона металла заполнена электронами не полностью. При Т = 0 К электроны последовательно заполняют энергетические уровни с низшего до уровня Ферми. Уровень Ферми отделяет занятые состояния от свободных, т. е. ЕF — это максимальная энергия, которой могут обладать электроны при Т = 0 К.

Выражение (4.2) описывает число разрешённых квантовых состояний для электронов, имеющих энергии от 0 до Е. Следовательно, число элек-

56

тронов в металле также можно определить, используя (4.2):

EF				8			(2m*n EF )32				(4.5)
n = N0		=				π			h3	.
				3
Отсюда
				h2			3n		2 3		(4.6)
EF	=								.
						*
			2mn				8π

Подставляя в (4.6) константы и принимая для металлов n = 1028м-3, получаем оценку для ЕF ≈ 5 эВ. Это очень большая величина. Обычные молекулы газа имели бы такую энергию при Т ≈ 40000°С.

Максимальная скорость фермиэлектронов равна

υ	F	=	2EF	≈106 м/ с	(4.7)
			m*n

и практически не зависит от температуры, так как, например, при 300 К энергия тепловых колебаний решётки 3/2kT оказывается порядка 0.04 эВ, т. е. значительно меньше, чем ЕF. При Т≠0 К часть электронов под действием теплового возбуждения переходит на уровни, лежащие выше EF. Средняя энергия теплового возбуждения одного электрона — порядка kT. Для всех температур, меньших температуры плавления металла, величина kT в сотни раз меньше EF. Поэтому тепловому возбуждению подвергаются только электроны, находящиеся в узком слое уровней энергии толщиной порядка kT, расположенном непосредственно под уровнем Ферми. Большая же часть электронов остается на своих местах, так как для них энергии теплового возбуждения недостаточно, чтобы перескочить на свободный уровень, лежащий выше уровня Ферми, а все уровни с близкими значениями энергии уже заняты другими электронами и их дополнительное заполнение запрещено принципом Паули. Оценим число термически возбужденных электронов ( n ). При T = 0 K в интервале значений энергии от 0 до EF находится N электронов. При T > 0 K тепловому возбуждению подвергаются только электроны, лежащие в полосе kT вблизи уровня Фер-

ми EF . Число электронов, приходящихся на полосу kT, равно kT N . EF

Считая, что возбуждению подвергается половина из них, получаем

n = kTN .	(4.8)
2EF