57
Подставляя	константы	и	полагая,	что	EF ≈5 эВ,
а kT ≈0 , 0 2 5 эВ ( при T = 300°C) ,		получаем, что		n ≈ 0,01 N .

По тем же причинам участвовать в электропроводности могут только электроны с энергией, близкой к уровню Ферми. Различные процессы рассеяния при токопереносе препятствуют переводу ферми-электронов на свободные энергетические уровни, расположенные значительно выше EF, что не позволяет участвовать в электропереносе электронам с низших уровней, поэтому в случае металлов следует различать свободные электроны и электроны проводимости, число которых значительно меньше.

Таким образом, распределение электронов в металле при любой температуре мало отличается от распределения при температуре, равной нулю, т. е. концентрация носителей в металле от температуры практически не зависит.

Концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми в полупроводниках

Число электронов в зоне проводимости с энергиями от Е до Е + dE будет определяться произведением плотности уровней в зоне проводимости на вероятность их заполнения, т. е.

dn = N(E) fМ.Б(E,T)dE ,	(4.9)
где N(E) — плотность квантовых состояний;
fМ.Б.(Е,Т) — функция распределения Максвелла-Больцмана.
Тогда количество электронов в зоне проводимости будет равно
E2
n = ∫N(E) fМ.Б(E,T)dE ,	(4.10)
E1

где Е1 и Е2 — границы зоны проводимости.

Обычно отсчёт энергии электронов в полупроводнике производят от уровня Ес = 0. В качестве верхней границы зоны можно положить Е2 = ∞, так как число электронов, находящихся в зоне, резко уменьшается с увеличением их энергии. Тогда из (4.10) можно получить

2πkTm*

32

E

F

E

F

,

n = 2

n

exp

=

Nc exp

h

2

где

kT

kT

*

3

2

=

2πkTm n

Nc

2

h

2

есть эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

(4.11)

(4.12)

58

В случае акцепторного полупроводника число дырок в валентной зоне определяется аналогично, но при этом вероятность образования дырки в зоне равна 1 – fМ.Б.(Е,Т), где fМ.Б.(Е,Т) — вероятность нахождения электрона на уровне Е при температуре Т. Интегрирование ведется в пределах от минус ∞ до Еv. Тогда соответствующее выражение для дырок имеет вид

E

F

− E

v

p = Nv exp

−

,

(4.13)

kT

где

* 32

Nv

= 2

2πkTmp

(4.14)

h

2

есть эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Если отсчёт энергии

ведется

от

уровня Ес, то

Еv = –Eg , где

Eg — ширина запрещённой зоны полупроводника, то

E

F

+ E

g

p = NV exp

−

.

(4.15)

kT

Формулы (4.11) и (4.15) справедливы как для собственных, так и для примесных полупроводников. Однако значения EF в этих случаях различны.

В собственном полупроводнике носители образуются при переходе электрона из валентной зоны в зону проводимости с образованием пары свободных носителей: электрона и дырки. Концентрации электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне равны, т. е. n = p = ni — собственная концентрация носителей. Очевидно, что ni определяется величиной ширины запрещённой зоны Eg данного полупроводника и его температурой Т.

Перемножим ( 4 . 1 1 ) и ( 4 . 1 5 ) :

				E	g
	n p = Nc Nv exp −						= ni2 .			(4.16)
				kT
	Откуда для собственной концентрации получаем
	1						E	g
	ni = (Nc Nv )	2 exp	−						.	(4.17)
						2kT
	Для заданных значений Eg и Т произведение n· p = ni									2 = const.
	Соотношение
	n p = ni2									(4.18)

носит название закона действующих масс. В случае термодинамического равновесия

59

он справедлив и для примесных полупроводников, устанавливая связь между концен-

трациямиосновныхинеосновныхносителейвлегированномполупроводнике:
nn pn = ni2 ,	(4.19)
np pp =ni2 .	(4.20)

Деля почленно (4.11) на (4.15), логарифмируя полученное выражение и учитывая, чтоln(n/p) = 0 приn = p, можемполучитьвыражениедляопределенияуровняФерми:

	Eg		3	m*p
EF = −		+		kT ln		.	(4.21)
					*
	2		4
				mn

Таким образом, при Т = 0 К уровень Ферми в собственном полупроводнике находится посередине запрещённой зоны, а с увеличением температуры он смещается кверху, если mp* > mn*, или опускается к Ev, если mp* < mn*.

При увеличении температуры кристалла возрастает амплитуда тепловых колебаний атомов решётки, в результате чего усиливается перекрытие волновых функций их электронов. В свою очередь это вызывает увеличение ширины зоны проводимости и валентной зоны и соответственное уменьшение ширины

запрещённой зоны. Изменение Eg с ростом Т описывается соотношением
Eg (T)= Eg (0)−b T ,	(4.22)

где Eg (0) — ширина запрещённой зоны при Т=0 К;

b[ эВ/ К] — коэффициент изменения E g .

Впримесныхполупроводникахносителизарядаобразуютсязасчётионизацииатомов примесиииз-запереходаэлектроновизвалентнойзонывзонупроводимости(рис. 4.1).

Если известен уровень Ферми EF, то определить концентрацию носителей заряда можно, используя полученные ранее формулы (4.11) и (4.15).

	Е	E
	Ed	Ec
	Ed
	Ионы примеси
	Eg		Eg
		Ионы примеси	Ea
	Ev	Ev
	а	б

Рисунок 4.1. Образование носителей заряда в полупроводниках: а — n – типа; б — р – типа

60

Однако положение уровня Ферми в этом случае требует определения. Пусть имеется полупроводник n – типа с концентрацией доноров Nd. При низ-

ких температурах, когда энергия тепловых колебаний ЕТ = 3/2kТ значительно меньше, чем энергия активации атомов примеси Еd, примесные электроны находятся на донорном уровне и зона проводимости полностью свободна. При увеличении температуры кристалла тепловая энергия ЕT, сообщаемая атомам примеси, возрастает и электроны начинают переходить с примесного уровня в зону проводимости, т. е. происходит ионизация атомов донорной примеси. В случае акцепторного полупроводника процесс ионизации примеси ведет к образованию носителей заряда в валентной зоне — дырок. В обоих случаях рост концентрации носителей заряда с изменением температуры происходит по экспоненциальному закону:

	1				E	d
	n = (Nc Nd )	2	exp	−					,	(4.23)
					2kT
	1				E	a
	p = (Nv Na )	2	exp	−					,	(4.24)
					2kT

при этом отсчёт энергии примесного уровня ведется от края зоны.

Влогарифмическом масштабе концентрационные зависимости lnn(T) и lnp(T)

вобласти низких температур представляют собой прямые (рис. 4.2, участок 1).

Положение уровня Ферми при этом для донорного и акцепторного полупроводников определяется соответственно выражениями

Ed

kT

Nc

,

EFn

= −

+

ln

(4.25)

2

2

Nd

Ea

kT

Nv

EFp

= −

+

ln

.

(4.26)

2

2

Na

При температуре T = Ts, соответствующей условию ET = 3/2kTs ≈ Еd, практически вся примесь будет ионизирована и дальнейшее увеличение температуры кристалла вплоть до T = Ti уже не будет влиять на концентрацию носителей — она будет оставаться постоянной и равной концентрации введённой примеси Nd или Na (рис. 4.2, участок 2). В соответствии с (4.11)

		EF
	n = Nd = Nc exp		.	(4.27)
	kTs

Исходя из (4.27), при последующем увеличении температуры изменение EF(T) будет происходить линейно в соответствии с выражением

		Nd
	EF = kT ln		.	(4.28)
		Nc

										61
	При достаточно высоких температурах T > Ti начнется ионизация атомов
	самого кристалла: под действием возрастающей тепловой энергии валентные
	электроны приобретают способность к преодолению запрещённой зоны с об-
	разованием пары носителей — электрона в зоне проводимости и дырки в ва-
	лентной зоне. Процесс увеличения концентрации собственных носителей за-
	ряда, как следует из (4.17), зависит от температуры тоже экспоненциально
	(рис. 4.2, участок 3). Когда концентрация собственных носителей заряда пре-
	высит концентрацию введенной в полупроводник примеси, т. е. при выполне-
	нии условия pi > Nd или ni > Na, проводимость в кристалле станет собственной,
	а уровень Ферми совпадет с EF для собственного полупроводника.
	Так как энергия активации примеси Еd (для акцепторовЕа) составляет около
	0,01 эВ, а энергия тепловых колебаний атомов решёткиЕT при 300 K приблизитель-
	но равна 0,04 эВ, т. е. Еd << ЕT, то в нормальных условиях вся примесь уже полно-
	стью ионизирована. Следовательно, концентрация носителей в примесном полупро-
	водникеприТ= 300 K определяетсяконцентрациейвведеннойпримесиNd или Na.
	Если в полупроводнике одновременно присутствуют как донорная, так и ак-
	цепторная примеси, то полупроводник называется компенсированным. Электро-
	ны донорной примеси, стремясь занять состояния с минимальной энергией, будут
	переходить на акцепторные уровни, ионизируя акцепторы. Тип проводимости при
	этом будет определяться разностью концентраций доноров Nd и акцепторов Nа.
	Если Nd > Nа, то образец n – типа, а если Nd < Nа, то р – типа. При равенстве кон-
	центраций доноров и акцепторов полупроводник называют полностью скомпен-
	сированным. В этом случае проводимость в полупроводнике будет обусловлена
	собственными			носителями за-				ln(n), ln(p)
	ряда,	однако		из-за		большого			3
	количества		ионов			примесей
								2
	электропроводность такого по-
								1
	лупроводника			будет		сущест-
	венно ниже, чем собственного.
	При нормальных условиях							Ts	Ti	T
	энергия, необходимая для об-
								Рисунок 4.2. Зависимость концентрации носителей
	разования		носителей				заряда,
	приобретается			за счёт			тепло-	заряда в легированном полупроводнике
								от температуры:
	вых колебаний атомов. Обме-
								1 – процесс ионизации примеси;
	ниваясь энергией				при		своем	2 – примесь полностью ионизирована;
								3 – переход к собственной концентрации

62

взаимодействии с решёткой в процессе движения, носители заряда находятся в тепловом равновесии с кристаллической решёткой. Поэтому их называют равновесными (стационарными) и обозначают n0, p0.

Появление в полупроводнике свободных носителей заряда может быть связано также с действием внешней энергии. Под действием света, ионизирующих частиц, в процессе инжекции и т. д. в локальном объёме полупроводника возникают избыточные (по сравнению с равновесными) носители заряда ∆n, а полная концентрация носителей в нем становится равной n = n0 + ∆n. В момент генерации избыточные носители не находятся в тепловом равновесии с решёткой и их называют неравновесными.

После прекращения воздействия концентрация неравновесных носителей ∆n вследствие процессов рекомбинации быстро убывает. Среднее время, которое проводит носитель заряда в свободном состоянии, называется временем жизни неравновесных носителей τn. Так как каждый избыточный носитель живёт в среднем τn секунд, то за одну секунду успеет прорекомбинировать ∆n/τn электронов, где ∆n — избыточная концентрация в данный момент времени.

	Тогда скорость рекомбинации неравновесных электронов
	Rn = − d n =		n .				(4.29)
	dt	τn
	Откуда для ∆n ( t ) получаем
	n(t) = n0 exp		−	t		,	(4.30)
				τn

где ∆n 0 — концентрация избыточных электронов в момент выключения внешнего воздействия ( t = 0 ) .

Образование неравновесных носителей заряда в какой-либо области полупроводника ведёт к установлению градиента концентрации носителей заряда в кристалле — для одномерного случая dn/dx. В результате в объёме полупроводника наблюдается процесс диффузии носителей заряда, стремящийся выровнять разность концентрации. Диффузией называют процесс перемещения носителей заряда в направлении убывания их концентрации за счёт собственного теплового хаотического движения. Плот-

ность диффузионного тока jn диф определяется первым законом Фика:
jn	= qDn	dn	,	(4.31)
		dx